Legea lui Darcy

Legea lui Darcy ( Henri Darcy , 1856) este legea filtrării lichidelor și gazelor într-un mediu poros . Din punct de vedere istoric, legea a fost obținută experimental de A. Darcy [1] , dar poate fi obținută prin mediarea ecuațiilor Navier-Stokes care descriu curgerea pe o scară a porilor [2] (în prezent, există dovezi pentru medii poroase cu o valoare periodică [ 3] [4] și aleatoriu [5] microstructură). Exprimă dependența ratei de filtrare a fluidului de gradientul de presiune :

{\vec {u}}=-k{\vec {I)),

unde: - rata de filtrare, - coeficientul de filtrare, - gradientul de presiune [6] . $\vec u$ $k$ ${\vec I}$

În hidrodinamică teoretică

În mecanica fundamentală a continuumului, atunci când se studiază fluxurile de lichide și gaze într-un mediu poros, forma diferențială a legii lui Darcy este utilizată pe scară largă (dată aici pentru mișcarea într- un câmp gravitațional ):

{\vec {u}}=-{\frac {K}{\eta }}\nabla \left(\rho gz+P\right),

unde este presiunea externă, este densitatea fluidului, este vâscozitatea sa dinamică , este accelerația gravitațională , este coordonata verticală, este coeficientul de permeabilitate. $P$ $\rho$ $\eta$ $g$ $z$ $K$

Ecuația balanței puterii

Legea lui Darcy poate fi reprezentată ca o ecuație de echilibrare a forțelor [7] :

-\nabla P-{\frac {\eta }{K}}{\vec {u}}+\rho {\vec {f}}=0,

unde este câmpul de forțe externe, este vâscozitatea dinamică a unui lichid sau gaz, este coeficientul de permeabilitate . Coeficientul de permeabilitate caracterizează capacitatea unui mediu poros de a trece fluidul. $\vec f$ $\eta$ $K = \eta k / \rho g$

Sistemul complet de ecuații de filtrare pentru un fluid incompresibil include și condiția de incompresibilitate :

-\nabla P-{\frac {\eta }{K}}{\vec {u}}+\rho {\vec {f}}=0,

\operatorname {div} {\vec {u}}=0.

Condiția de limită necesară pentru acest model pe suprafețe solide este doar condiția de impenetrabilitate.

Forma potențială de drept

La un coeficient de permeabilitate constant, câmpul de viteză de filtrare are un potențial scalar , ceea ce face posibilă rescrierea sistemului de ecuații de filtrare sub forma ecuației Laplace [6] :

{\vec {u}}=-k\nabla h,\quad \Rightarrow \quad \exists \quad \Phi =kh,

unde este presiunea. $h$

Ecuația Laplace cu condiția la limită rezultă din condiția de incompresibilitate:

\Delta \Phi =0,

\left.{\frac {\partial \Phi {\partial n)}\right|_{S}=\left.\left ({\vec {n)}\cdot \nabla \Phi \right )\right|_{S}=0,

unde este vectorul normal la suprafață. Condiția la limită pe suprafețele solide este condiția ca componenta normală a gradientului să fie egală cu zero . ${\vec {n}}$ $\Phi$

În principiu, în toate ecuațiile de mai sus, câmpul forțelor corpului și gradientul de presiune pot fi combinate, ceea ce se reduce la o simplă renormalizare a presiunii.

Domeniul de aplicabilitate al legii lui Darcy

Legea lui Darcy este aplicabilă la filtrarea lichidelor supuse legii lui Newton a frecării vâscoase (legea Navier-Stokes). Pentru filtrarea fluidelor non-newtoniene (cum ar fi unele uleiuri ), relația dintre gradientul de presiune și rata de filtrare poate fi neliniară sau nealgebrică deloc (cum ar fi diferența).

Pentru fluidele newtoniene, domeniul de aplicare al legii lui Darcy este limitat la ratele de filtrare scăzute ( numerele Reynolds , calculate din dimensiunea caracteristică a porilor, sunt mai mici decât sau de ordinul unității). La viteze mai mari, relația dintre gradientul de presiune și rata de filtrare este neliniară (un bun acord cu datele experimentale este dat de o dependență pătratică - legea de filtrare Forchheimer).

Unități de măsură

Unitatea SI a permeabilității este metrul pătrat . În aplicațiile practice, darcy este adesea folosit ca unitate (1 D ≈ 10 -12 m²).

Note

↑ Darcy Henry. Les fontaines publiques de la ville de Dijon: exposition et application des principes à suivre et des formules à employer dans les questions de distribution d'eau... . - Paris: V. Dalmont, 1856. - VII + 647 p.
↑ Leontiev N.E. Fundamentele teoriei filtrării . - M . : Editura CPI la Facultatea de Mecanică și Matematică a Universității de Stat din Moscova, 2009. - P. 24–29. — 88 p.
↑ Bakhvalov N.S. , Panasenko G.P. Mediarea proceselor în medii periodice. — M .: Nauka, 1984. — S. 164–169. — 352 p.
↑ Sanchez-Palencia E. Mediile neomogene și teoria oscilațiilor / Pre. din engleza. ed. O.A. Oleinik. - M . : Mir, 1984. - S. 176. - 472 p.
↑ Belyaev A.Yu. Medierea problemelor din teoria filtrării . — M .: Nauka, 2004. — S. 76–127. — 200 s.
↑ 1 2 Polubarinova-Kochina P. Ya. Teoria mișcării apelor subterane. Copie de arhivă din 10 martie 2016 la Wayback Machine - M .: Nauka, 1977. - 664 p.
↑ Basniev K. S., Kochina N. I., Maksimov M. V. Hidromecanica subterană: un manual pentru universități. - M.: Nedra, 1993. - 416 p.

Link -uri

Standardul metric al Societății Inginerilor Petrolieri (SPE) .

Vezi și

Darcy este o unitate de măsură pentru permeabilitate .
Porozitate
legea lui Bernoulli