Legea cubului pătrat

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 30 ianuarie 2018; verificările necesită 23 de modificări .

Legea pătratului - cub este următorul principiu:

dacă obiectul în mod proporțional (adică folosind o transformare de similaritate ) crește (descrește) în dimensiune, noul său volum va fi proporțional cu cubul factorului de scalare, iar noua sa suprafață va fi proporțională cu pătratul:

v_{2}=v_{1}\left({\frac {\ell _{2}}{\ell _{1}}}\right)^{3},\qquad A_{2}= A_{1}\left({\frac {\ell _{2}}{\ell _{1}}}\right)^{2},

unde: este volumul obiectului original, este noul volum, este suprafața obiectului original, este noua suprafață, este dimensiunea liniară a obiectului original și este noua dimensiune liniară. $v_{1}$ $v_{2}$ $A_{1}$ $A_{2}$ $\ell _{1}$ $\ell _{2}$

De exemplu, un cub cu lungimea laturii de 1 metru are o suprafață de 6 m² și un volum de 1 m³. Dacă lungimea laterală este dublată , suprafața acesteia se va multiplica de patru ori la 24 m², iar volumul său va crește de 8 ori la 8 m³. Acest principiu se aplică tuturor organismelor.

Această lege își găsește aplicarea în tehnologie și biomecanică și se bazează pe recalcularea matematică a dimensiunilor. A fost demonstrat pentru prima dată de Galileo Galilei în 1638 în Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze (" Conversații și dovezi matematice ale două științe noi ").

Tehnica

Dacă un obiect fizic este mărit în dimensiune, menținând aceeași densitate a materialului din care este fabricat, masa lui va crește proporțional cu factorul de creștere a puterii a treia, în timp ce suprafața sa va crește proporțional cu pătratul lui. factorul de scară. Aceasta înseamnă, în special, că, dacă unui segment al suprafeței unui obiect mărit i se acordă aceeași accelerație ca și originalul, mai multă presiune va acționa pe suprafața obiectului mărit .

Luați în considerare un exemplu simplu - un corp cu masă are o accelerație și o suprafață , care este afectată de o forță cu această accelerație. Forța cauzată de accelerație este , iar presiunea pe suprafață este Acum luați în considerare un obiect ale cărui dimensiuni sunt înmulțite cu un factor astfel încât noua sa masă să fie , iar suprafața pe care acționează forța are o nouă zonă, . Atunci noua forță cauzată de accelerație este egală cu și presiunea rezultată pe suprafață: $m$ $A$ $S$ $F=ma$ $T={\tfrac {F}{S}}={\tfrac {ma}{S}}.$ $X$ $m'=x^{3}\cdot m$ $S'=x^{2}\cdot S$ $F'=x^{3}\cdot ma,$

{\begin{aligned}T'&={\frac {F'}{S'}}={\frac {x^{3}\cdot ma}{x^{2}\cdot S}} =\\&=x{\frac {ma}{S}}=x\cdot T.\\\end{aliniat}}

Astfel, cu o creștere a dimensiunii unui obiect menținând în același timp același material din care este compus obiectul (și, prin urmare, densitatea ) și o accelerare, presiunea produsă de acesta pe suprafață va crește cu același factor. Acest lucru arată că atunci când un obiect este mărit, capacitatea sa de a rezista la stres va scădea și va fi mai ușor să-l distrugi în procesul de accelerare.

Acest lucru explică de ce vehiculele mari nu funcționează bine la testele de impact și de ce există limite de înălțime pentru clădirile înalte. De asemenea, cu cât un obiect este mai mare, cu atât celelalte obiecte vor rezista mai puțin la mișcare, făcându-l să încetinească.

Biomecanica

Dacă mărimea unui animal crește semnificativ, forța sa musculară va fi redusă serios, deoarece secțiunea transversală a mușchilor săi va crește proporțional cu pătratul factorului de scalare , în timp ce masa sa va crește proporțional cu cubul acestuia. factor. Ca urmare, funcțiile cardiovasculare sunt sever limitate. Din acest motiv, de exemplu, insectele pot ridica mult mai mult decât propria lor greutate. Dacă creaturile vii zburătoare cresc în dimensiune, încărcarea aripii lor trebuie să crească și, prin urmare, pentru a menține aceeași portanță , vor trebui să bată cu o frecvență mai mare . Acest lucru nu va fi ușor din cauza faptului că puterea mușchilor va deveni mai mică. Acest lucru explică, de asemenea, de ce un bondar poate avea o dimensiune a corpului mare în comparație cu anvergura aripilor, în timp ce pentru un animal zburător mult mai mare decât un bondar, acest lucru ar fi imposibil. De asemenea, pentru creaturile vii de dimensiuni mici , rezistența aerului pe unitatea de masă este mare și, prin urmare, nu mor atunci când cad de la orice înălțime.

În plus, activitatea sistemului respirator al insectelor depinde de dimensiunea suprafeței corpului. Odată cu creșterea volumului corpului, suprafața sa nu va putea asigura respirația.

Din aceste motive, insectele gigantice, păianjenii și alte animale prezentate în filmele de groază sunt nerealiste, deoarece dimensiuni atât de mari le-ar face să se sufoce și să se prăbușească. Animalele acvatice gigantice ( gigantismul de adâncime ) sunt o excepție, deoarece apa este capabilă să susțină creaturi destul de mari [1] .

J. B. S. Haldane a exprimat următoarea opinie despre giganți [1] :

Să presupunem că există un om-gigant de 60 de picioare înălțime, precum Papa și Giganții Păgâni din basmele copilăriei mele. Astfel de giganți nu sunt doar de 10 ori mai înalți decât o persoană obișnuită, ci de 10 ori mai largi și de 10 ori mai dens, adică greutatea lor totală este de 1000 de ori mai mare decât greutatea unei persoane medii și, prin urmare, este de la 80 la 90 de tone. Secțiunea transversală a oaselor unor astfel de giganți este de 100 de ori mai mare decât secțiunea oaselor unei persoane obișnuite; prin urmare, fiecare centimetru pătrat al osului unui uriaș trebuie să suporte o sarcină de 10 ori mai mare decât centimetrul pătrat al osului unui om obișnuit. Având în vedere că tibia umană se rupe sub o sarcină de 10 ori greutatea sa, tibia uriașilor ar trebui să se rupă cu fiecare pas pe care îl fac. Nu de asta in pozele pe care le mai amintesc sunt aratate asezati?

Procese termice

Legea cubului pătrat se aplică și proceselor termice: suprafața de schimb de căldură crește proporțional cu pătratul mărimii, iar volumul care conține sau generează căldură crește proporțional cu cubul. În consecință, pierderea de căldură pe unitatea de volum a unui obiect scade odată cu creșterea dimensiunii acestuia și, dimpotrivă, crește odată cu scăderea dimensiunii. Prin urmare, de exemplu, energia necesară pentru a încălzi sau răci o unitate de volum a unui depozit scade pe măsură ce dimensiunea depozitului crește.

În tehnologie

Legea are o largă aplicare în tehnologie. De exemplu, este motivul pentru care, pentru a crea aeronave cu o sarcină utilă de două ori, ar fi inutil să se dubleze pur și simplu proporțional toate dimensiunile pieselor sale - interdicția de scalare directă este impusă de legea cubului pătrat.

Mașini electrice

Dacă presupunem că la scalarea unei mașini electrice , densitatea curentului , inducția magnetică și viteza de rotație sunt păstrate , atunci cu o creștere a tuturor dimensiunilor de un ori , puterea curentului va deveni de 2 ori mai mare (proporțional cu aria secțiunii transversale). a conductoarelor). Fluxul magnetic va crește, de asemenea, de 2 ori (proporțional cu aria secțiunii transversale a circuitului magnetic ), datorită faptului că EMF indus în înfășurări va crește, de asemenea, de 2 ori .

Adică, atât puterea curentului, cât și tensiunea (EMF) vor crește de 2 ori, datorită faptului că puterea electrică (egală cu produsul dintre puterea curentului și tensiunea) va crește de 4 ori . În acest caz, pierderile de căldură vor crește doar de 3 ori (proporțional cu volumul conductorilor la o densitate de curent constantă).

Astfel, odată cu creșterea dimensiunii unei mașini electrice, puterea sa specifică (pe unitatea de masă) crește proporțional și pierderea de căldură specifică (pe unitatea de masă) nu se modifică, ceea ce înseamnă că eficiența crește . În același timp, îndepărtarea căldurii devine mai complicată, deoarece fluxul de căldură specific prin toate suprafețele crește proporțional.

Toate acestea sunt valabile pentru transformatoare (la o frecvență constantă a curentului ).

Motoare cu ardere internă

Dacă pur și simplu creștem toate dimensiunile motorului cu ardere internă cu un factor la o viteză de rotație constantă, atunci masa pieselor în mișcare va crește cu un factor de a 3 , iar accelerația cu care se mișcă va crește cu un factor. Prin urmare, toate forțele de inerție[ clarifica ] va crește de 4 ori , iar din moment ce aria suprafețelor de frecare va crește doar de 2 ori , sarcina specifică asupra acestora va crește de 2 ori , ceea ce va duce la uzura rapidă a acestora. În plus, viteza de mișcare a gazelor prin supape va crește de câteva ori, ceea ce va crește semnificativ rezistența gaz-dinamică și va înrăutăți umplerea cilindrilor.

Prin urmare, cu o creștere proporțională a motorului cu ardere internă, este necesară reducerea proporțională a turației (mentinând neschimbată viteza medie a pistonului). Apoi, sarcina specifică pe suprafețele de frecare și viteza gazelor prin supape rămân neschimbate. Cu toate acestea, puterea specifică (pe unitate de masă) și puterea litrilor sunt reduse proporțional. Această „ponderare” a motorului poate fi rezolvată prin creșterea numărului de cilindri, dar acest lucru complică proiectarea acestuia.

Constructii navale

Aproximativ, putem presupune că rezistența la mișcarea navei (la o viteză constantă) este proporțională cu aria secțiunii transversale a carenei la mijlocul navei . Astfel, cu o creștere a tuturor dimensiunilor vasului de un ori, masa acestuia va crește de 3 ori , iar rezistența la mișcare va crește doar de 2 ori. În consecință, în ceea ce privește consumul de combustibil pe unitatea de masă, navele mai mari sunt mai economice. În plus, dacă ponderea rezervelor de combustibil în masa totală a navei este neschimbată, atunci intervalul de croazieră fără realimentare va crește, de asemenea, de câteva ori.

Din același motiv, eficiența consumului de combustibil și raza de zbor ale aeronavelor cresc proporțional cu dimensiunea lor (spre deosebire de aeronave , în care acești parametri sunt determinați în principal de calitatea lor aerodinamică ).

Pentru o navă cu vele , rezistența la momentul de răsturnare creat de pânze este importantă . Cu o creștere a tuturor dimensiunilor navei de o ori, aria pânzelor va crește de 2 ori , iar momentul de răsturnare al forței creat de acestea va crește de 3 ori (deoarece brațul forței va crește cresc de asemenea de o ori). În același timp, momentul care egalizează ruliu și apare din cauza carenei în timpul ruliului va crește de 4 ori (masa carenei și a apei deplasate va crește de 3 ori , în timp ce brațul forței va crește cresc de o ori). Prin urmare, la scară geometrică simplă, navele mari cu vele sunt mai rezistente la călcâiul creat de momentul navigării. Din acest motiv, bărcile cu pânze mari nu au nevoie de chilele de balast dezvoltate tipice iahturilor cu vele mici . Pe de altă parte, pe o navă mai mare, dacă designul este păstrat același, este posibil să puneți pânze de o suprafață disproporționat mai mare și, în consecință, să obțineți o creștere a vitezei.

Vezi și

Note

↑ 1 2 J. B. S. Haldane Despre oportunitatea dimensiunii Arhivat 22 mai 2021 la Wayback Machine

Link -uri

Wayne Throop. Sauropode, elefanți, halterofili: probleme diverse .
„World Builders: Limitele dimensiunii animalelor - raport dimensiunea volumului” . (Engleză)
Michael C. LaBarbera. „Biologia monștrilor B-Movie ”