Operator integral Fredholm

Operatorul integral Fredholm este un operator integral liniar complet continuu al formei

(Af)(x)=\int _{G}K(x,t)f(t)\,dt,

maparea unui spațiu funcțional la altul. Iată o regiune în spațiul euclidian , este o funcție definită pe un pătrat cartezian , numită nucleul operatorului integral [1] . Pentru continuitatea completă a operatorului , sunt impuse restricții suplimentare asupra nucleului . Cel mai adesea, sunt considerate nucleele continue [2] , -kernels [3] [4] , precum și nucleele polare [2] [5] . Operatorul integral Fredholm și proprietățile sale sunt utilizate în rezolvarea ecuației integrale Fredholm . $G$ $\mathbb {R} ^{n}$ $K(x,t)$ $G\time G$ $A$ $K(x, y)$ $L_{2}$

Proprietăți

Linearitate

Operatorul integral Fredholm este liniar , adică . $A(\alpha f+\beta g)=\alpha Af+\beta Ag$

Continuitate

Un operator integral cu continuu pe [6] kernel , se mapează la (și, în consecință, la și la ) și este mărginit (continuu) și ${\bar {G}}\times {\bar {G}}$ $K(x, y)$ $L_2(G)$ $C(\bara G)$ $C(\bara G)$ $C(\bara G)$ $L_2(G)$ $L_2(G)$

\|Af\|_{C}\leq M{\sqrt {V}}\|f\|_{L_{2}},\quad f\in L_{2}(G),

\|Af\|_{C}\leq MV\|f\|_{C},\quad f\in C({\bar {G)}),

\|Af\|_{L_{2}}\leq MV\|f\|_{L_{2}},\quad f\in L_{2}(G),

Unde

M=\max \limits _{x\in {\bar {G}),\,y\in {\bar {G))}|K(x,y)|,\quad V=\int _{G}dy.

[7] .

Operator integral cu -kernel: $L_{2}$

\int _{G}\int _{G}|K(x,y)|^{2}dx\,dy\leq N^{2}<\infty

se traduce în , este continuă și satisface estimarea: $L_2(G)$ $L_2(G)$

\|Af\|_{L_{2}}\leq N\|f\|_{L_{2}}.

[1] [8]

Există condiții de continuitate pentru operatorii integrali de la până la . [9] $L_{p}$ $L_{q)$

Destul de continuitate

Un operator integral cu un nucleu continuu este complet continuu de la până la , adică ia orice mulțime mărginită într -o mulțime care este precompactă în [10] . Operatorii complet continui sunt remarcabili prin faptul că alternativa Fredholm este valabilă pentru ei . Un operator integral cu un nucleu continuu este limita unei secvențe de operatori de dimensiuni finite cu nuclee degenerate. Afirmații similare sunt adevărate pentru un operator integral cu -kernel. [unsprezece] $K(x, y)$ $L_2(G)$ $C(\bara G)$ $L_2(G)$ $C(\bara G)$ $L_{2}$

Există, de asemenea, condiții suficiente mai slabe pentru continuitatea completă (compacitatea) unui operator integral de la până la . [12] $L_{p}$ $L_{q)$

Operator adjunct

Operatorul adjunct la un operator cu -kernel într-un spațiu Hilbert are forma $A$ $L_{2}$ $L_2(G)$

(A^{*}f)(x)=\int _{G}{\overline {K(y,x)))f(y)\,dy.

Dacă , atunci operatorul integral Fredholm este autoadjunct [1] [11] $K(x,y)={\overline {K(y,x))}$ $A$

Operator invers

Pentru valori suficient de mici , operatorul (unde este operatorul de identitate ) are o formă inversă , unde este operatorul integral Fredholm cu nucleu , rezoluția nucleului [13] . $|\lambda|$ $I-\lambda A$ $eu$ $I+\lambda R$ $R$ $R(x, y, \lambda)$ $K(x, y)$

Vezi și

Note

↑ 1 2 3 Khvedelidze, 1979 .
↑ 1 2 Vladimirov, 1981 , capitolul IV.
↑ Tricomi, 1960 .
↑ Kolmogorov, Fomin, 1976 , capitolul IX.
↑ Manzhirov, Polyanin, 2000 .
↑ - închiderea zonei $\bar G$ $G$
↑ Vladimirov, 1981 , p. 272.
↑ Tricomi, 1960 , § 1.6.
↑ Manzhirov, Polyanin, 2000 , § 9.3-1.
↑ Vladimirov, 1981 , § 19.
↑ 1 2 Kolmogorov, Fomin, 1976 , capitolul IX, § 2.
↑ Manzhirov, Polyanin, 2000 , § 9.3-2.
↑ Vladimirov, 1981 , § 17.

Literatură

Khvedelidze B. V. . Operator integral // Enciclopedie matematică : [în 5 volume] / Cap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Enciclopedia Sovietică, 1979. - T. 2: D - Koo. - 1104 stb. : bolnav. — 150.000 de exemplare.
Vladimirov V.S. Ecuații ale fizicii matematice. a 4-a ed. - M .: Nauka, Ch. ed. Fiz.-Matematică. literatură, 1981. - 512 p.
Tricomi F. Ecuații integrale. Pe. din engleză .. - M . : Izd-vo inostr. literatură, 1960.
Manzhirov A. V., Polyanin A. D. . Manual de ecuații integrale: Metode de rezolvare. - M . : Presa factorială, 2000. - 384 p. - ISBN 5-88688-046-1 .
Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. . Elemente de teoria funcţiilor şi analiză funcţională. — Știința, cap. ed. Fiz.-Matematică. litri. - M. , 1976.