Logaritm complex

Logaritmul complex este o funcție analitică obținută prin extinderea logaritmului real la întregul plan complex (cu excepția zero). Există mai multe moduri echivalente de astfel de distribuție. Această funcție este utilizată pe scară largă în analiza complexă . Spre deosebire de cazul real, funcția de logaritm complex este multivalorică .

Definiție și proprietăți

Pentru numerele complexe, logaritmul poate fi definit în același mod ca și pentru numerele reale, adică ca o inversare a unei funcții exponențiale . În practică, se folosește aproape numai logaritmul complex natural, a cărui bază este numărul Euler : este de obicei notat . $e$ $\mathrm {Ln} \,z$

Logaritmul natural al unui număr complex este definit [1] ca o soluție a ecuației $z$ $w$ $e^{w}=z.$

Alte definiții, echivalente cu aceasta, sunt date mai jos.

În domeniul numerelor complexe, soluția acestei ecuații, spre deosebire de cazul real, nu este determinată în mod unic. De exemplu, conform identităţii lui Euler , ; totusi si . Acest lucru se datorează faptului că funcția exponențială de-a lungul axei imaginare este periodică (cu perioadă ) [2] , iar funcția ia aceeași valoare de nenumărate ori. Astfel, funcția logaritmică complexă este multivalorică . $e^{\pi i}=-1$ $e^{-\pi i}=e^{3\pi i}=e^{5\pi i}\dots =-1$ $2\pi$ $w=\mathrm {Ln} \,z$

Complexul zero nu are logaritm deoarece exponentul complex nu ia valoare zero. Diferit de zero poate fi reprezentat în formă exponențială: $z$

z=r\cdot e^{{i(\varphi +2\pi k)}}\;\;,

unde este un întreg arbitrar

k

Apoi se găsește prin formula [3] : $\mathrm {Ln} \,z$

\mathrm {Ln} \,z=\ln r+i\left(\varphi +2\pi k\right)

Iată logaritmul real. Din aceasta rezultă: $\ln \,r=\ln \,|z|$

Logaritmul complex există pentru orice , iar partea sa reală este determinată în mod unic, în timp ce partea imaginară are un număr infinit de valori care diferă printr-un multiplu întreg. $\mathrm {Ln} \,z$ $z\neq 0$ $2\pi .$

Din formula se poate observa că una și numai una dintre valori are o parte imaginară în interval . Această valoare se numește valoarea principală a logaritmului natural complex [1] . Funcția corespunzătoare (deja cu o singură valoare) se numește ramura principală a logaritmului și se notează . Uneori denotă și valoarea logaritmului, care nu se află pe ramura principală. Dacă este un număr real, atunci valoarea principală a logaritmului său coincide cu logaritmul real obișnuit. $(-\pi ,\pi ]$ $\ln\,z$ $\ln\,z$ $z$

De asemenea, din formula de mai sus rezultă că partea reală a logaritmului este determinată după cum urmează prin componentele argumentului:

\operatorname {Re} (\ln(x+iy))={\frac {1}{2}}\ln(x^{2}+y^{2})

Figura arată că partea reală în funcție de componente este simetrică central și depinde doar de distanța până la origine. Se obține prin rotirea graficului logaritmului real în jurul axei verticale. Pe măsură ce se apropie de zero, funcția tinde să $-\infty .$

Logaritmul unui număr negativ se găsește prin formula [3] :

\mathrm {Ln} (-x)=\ln x+i\pi (2k+1)\qquad (x>0,\ k=0,\pm 1,\pm 2\dots )

Exemple de valori pentru logaritmul complex

Iată valoarea principală a logaritmului ( ) și expresia sa generală ( ) pentru unele argumente: $\ln$ $\mathrm{Ln}$

\ln(1)=0;\;\mathrm {Ln} (1)=2k\pi i

\ln(-1)=i\pi ;\;\mathrm {Ln} (-1)=(2k+1)i\pi

\ln(i)=i{\frac {\pi {2});\;\mathrm {Ln} (i)={\frac {1}{2}}i\pi (4k+1 )

Ar trebui să fiți atenți când convertiți logaritmi complecși, ținând cont de faptul că sunt multivalori și, prin urmare, egalitatea acestor expresii nu rezultă din egalitatea logaritmilor oricărei expresii. Un exemplu de raționament eronat :

i\pi =\ln(-1)=\ln((-i)^{2})=2\ln(-i)=2(-i\pi /2)=-i\pi

este o greșeală evidentă.

Rețineți că valoarea principală a logaritmului este în stânga, iar valoarea din ramura subiacentă ( ) este în dreapta. Motivul erorii este utilizarea neglijentă a proprietății , care, în general vorbind, în cazul complex implică întregul set infinit de valori ale logaritmului, și nu doar valoarea principală. $k=-1$ $\log _{a}{(b^{p})}=p~\log _{a}b$

Funcția logaritmică complexă și suprafața Riemann

În analiza complexă , în loc să se ia în considerare funcțiile cu mai multe valori pe plan complex , s-a luat o decizie diferită: să se considere funcția ca fiind cu o singură valoare, dar definită nu în plan, ci pe o varietate mai complexă , care se numește Riemann. suprafata [4] . Din această categorie aparține și funcția logaritmică complexă: imaginea ei (vezi figura) este formată dintr-un număr infinit de ramuri răsucite în spirală. Această suprafață este continuă și simplu conectată . Singurul zero al funcției (de ordinul întâi) se obține la . Puncte singulare: și (puncte de ramificare de ordine infinită) [5] . $z=1$ $z=0$ $z=\infty$

În virtutea faptului că este pur și simplu conectată, suprafața Riemann a logaritmului este o acoperire universală [6] pentru planul complex fără punct . $0$

Continuare analitică

Logaritmul unui număr complex poate fi definit și ca continuarea analitică a logaritmului real la întregul plan complex . Lăsați curba să înceapă de la unu, să se termine la z, să nu treacă prin zero și să nu traverseze partea negativă a axei reale. Atunci valoarea principală a logaritmului la punctul final al curbei poate fi determinată prin formula [5] : $\Gamma$ $w$ $\Gamma$

\ln z=\int \limits _{\Gamma }{du \over u}

Dacă este o curbă simplă (fără auto-intersecții), atunci pentru numerele care se află pe ea, identitățile logaritmice pot fi aplicate fără teamă, de exemplu: $\Gamma$

\ln(wz)=\ln w+\ln z,~\forall z,w\in \Gamma \colon zw\in \Gamma

Ramura principală a funcției logaritmice este continuă și diferențiabilă pe întregul plan complex , cu excepția părții negative a axei reale, pe care partea imaginară sare la . Dar acest fapt este o consecință a limitării artificiale a părții imaginare a valorii principale de către intervalul . Dacă luăm în considerare toate ramurile funcției, atunci continuitatea are loc în toate punctele cu excepția zero, unde funcția nu este definită. Dacă curbei i se permite să traverseze partea negativă a axei reale, atunci prima astfel de intersecție transferă rezultatul de la ramura principală a valorii la ramura vecină, iar fiecare intersecție ulterioară provoacă o deplasare similară de-a lungul ramurilor funcției logaritmice [5] ] (vezi figura). $2\pi$ $(-\pi ,\pi ]$ $\Gamma$

Din formula de continuare analitică rezultă că pe orice ramură a logaritmului [2] :

{\frac {d}{dz}}\ln z={1 \over z}

Pentru orice cerc care cuprinde un punct : $S$ $0$

\oint \limits _{S}{dz \over z}=2\pi i

Integrala este luată în sens pozitiv (în sens invers acelor de ceasornic ). Această identitate stă la baza teoriei reziduurilor .

De asemenea, se poate defini continuarea analitică a logaritmului complex folosind versiuni ale seriei Mercator cunoscute pentru cazul real:

\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}} {4}}+\puncte

(Rândul 1)

\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)=2\left(x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{ 5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\puncte \right)

(Rândul 2)

Totuși, din forma acestor serii rezultă că la unitate suma seriei este egală cu zero, adică seria se referă numai la ramura principală a funcției multivalorice a logaritmului complex. Raza de convergență a ambelor serii este 1.

Relația cu funcțiile trigonometrice și hiperbolice inverse

Deoarece funcțiile trigonometrice complexe sunt legate de exponențial ( formula lui Euler ), atunci logaritmul complex ca inversul funcției exponențiale este legat de funcțiile trigonometrice inverse [7] [8] :

\operatorname {Arcsin} z=-i\operatorname {Ln} (iz+{\sqrt {1-z^{2}}})

\operatorname {Arccos} z=-i\operatorname {Ln} (z+i{\sqrt {1-z^{2}}})

\operatorname {Arctg} z=-{\frac {i}{2}}\ln {\frac {1+zi}{1-zi}}+k\pi \;(z\neq \pm i)

\operatorname {Arcctg} z=-{\frac {i}{2}}\ln {\frac {zi-1}{zi+1}}+k\pi \;(z\neq \pm i)

Funcțiile hiperbolice pe plan complex pot fi considerate funcții trigonometrice ale argumentului imaginar, deci aici există o legătură cu logaritmul [8] :

\operatorname {Arsh} z=\operatorname {Ln} (z+{\sqrt {z^{2}+1)))

- sinus hiperbolic invers

\operatorname {Arch} z=\operatorname {Ln} \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)

este cosinusul hiperbolic invers

\operatorname {Arth} z={\frac {1}{2}}\operatorname {Ln} \left({\frac {1+z}{1-z}}\right)

este tangenta hiperbolică inversă

\operatorname {Arcth} z={\frac {1}{2}}\operatorname {Ln} \left({\frac {z+1}{z-1}}\right)

este cotangenta hiperbolică inversă

Contur istoric

Primele încercări de a extinde logaritmii la numere complexe au fost făcute la începutul secolelor XVII-XVIII de către Leibniz și Johann Bernoulli , dar nu au reușit să creeze o teorie holistică, în primul rând din cauza faptului că conceptul de logaritm în sine nu era încă clar. definit [9] . Discuția pe această temă a avut loc mai întâi între Leibniz și Bernoulli, iar la mijlocul secolului al XVIII-lea între d'Alembert și Euler. Bernoulli și d'Alembert credeau că ar trebui să se definească , în timp ce Leibniz a susținut că logaritmul unui număr negativ este un număr imaginar [9] . Teoria completă a logaritmilor numerelor negative și complexe a fost publicată de Euler în 1747-1751 și nu este în esență diferită de cea modernă [10] . Deși controversa a continuat (d'Alembert și-a apărat punctul de vedere și l-a argumentat în detaliu într-un articol din Enciclopedia sa și în alte lucrări), abordarea lui Euler până la sfârșitul secolului al XVIII-lea a primit recunoaștere universală. $\log(-x)=\log(x)$

În secolul al XIX-lea, odată cu dezvoltarea analizei complexe , studiul logaritmului complex a stimulat noi descoperiri. Gauss a dezvoltat în 1811 o teorie completă a polisemiei funcției logaritmice [11] , definită ca integrală a lui . Riemann , bazându-se pe fapte deja cunoscute despre aceasta și funcții similare, a construit o teorie generală a suprafețelor Riemann . ${\frac {1}{z))$

Dezvoltarea teoriei mapărilor conformale a arătat că proiecția Mercator în cartografie , care a apărut chiar înainte de descoperirea logaritmilor (1550), poate fi descrisă ca un logaritm complex [12] .

Literatură

Teoria logaritmilor

Korn G., Korn T. Manual de matematică (pentru cercetători și ingineri) . - M . : Nauka, 1973. - 720 p.
Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teoria funcțiilor unei variabile complexe. — M .: Nauka, 1967. — 304 p.
Fikhtengol's G. M. Curs de calcul diferențial și integral. - ed. al 6-lea. — M .: Nauka, 1966. — 680 p.

Istoria logaritmilor

Matematica secolului al XVIII-lea // Istoria matematicii / Editat de A.P. Yushkevich , în trei volume. - M . : Nauka, 1972. - T. III.
Kolmogorov A. N., Iuşkevici A. P. (ed.). Matematica secolului al XIX-lea. Geometrie. Teoria funcţiilor analitice. - M . : Nauka, 1981. - T. II.

Note

↑ 1 2 Funcție logaritmică. // Enciclopedie matematică (în 5 volume) . - M . : Enciclopedia Sovietică , 1982. - T. 3.
↑ 1 2 Fikhtengolts G. M. Curs de calcul diferențial și integral, 1966 , Volumul II, pp. 520-522 ..
↑ 1 2 Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1973 , p. 623..
↑ Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teoria funcțiilor unei variabile complexe, 1967 , p. 92-94..
↑ 1 2 3 Sveșnikov A. G., Tikhonov A. N. Teoria funcțiilor unei variabile complexe, 1967 , p. 45-46, 99-100..
↑ Boltyansky V. G. , Efremovici V. A. Topologie vizuală . - M . : Nauka, 1982. - S. 112. - (Biblioteca Quantum, numărul 21).
↑ Fikhtengolts G. M. Curs de calcul diferențial și integral, 1966 , Volumul II, pp. 522-526..
↑ 1 2 Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1973 , p. 624..
↑ 1 2 Istoria matematicii, Volumul III, 1972 , p. 325-328..
↑ Rybnikov K. A. Istoria matematicii. În două volume. - M .: Ed. Universitatea de Stat din Moscova, 1963. - T. II. - S. 27, 230-231 ..
↑ Matematica secolului al XIX-lea. Volumul II: Geometrie. Teoria funcţiilor analitice, 1981 , p. 122-123..
↑ Klein F. Matematică elementară dintr-un punct de vedere superior . - M . : Nauka, 1987. - T. II. Geometrie. - S. 159-161. — 416 p.