Co-egalizator

Un co- egalizator este o generalizare teoretică categorie a conceptului de factor în raport cu relația de echivalență . Acest concept este dual cu conceptul de egalizator , de unde și numele.

Definiție

Un coegalizator este o definiție de cod a unei diagrame constând din două obiecte, X și Y , și două morfisme paralele f , g : X → Y .

Mai explicit, un coegalizator este un obiect Q împreună cu un morfism q : Y → Q astfel încât q ∘ f = q ∘ g . Mai mult, o pereche ( Q , q ) are proprietatea universală : pentru orice altă pereche ( Q ′, q ′) cu aceeași proprietate, există un morfism unic u : Q → Q ′ care închide următoarea diagramă la una comutativă :

Ca orice construcție universală, un coegalizator, dacă există, este definit până la izomorfism. Se poate arăta că coegalizatorul q este un epimorfism în orice categorie.

Exemple

În categoria mulțimilor, coegalizatorul a două funcții f , g : X → Y este factorul Y prin cea mai slabă relație de echivalență , astfel încât pentru orice , adevărat . $\sim$ $x\în X$ $f(x)\sim g(x)$

În categoria grupelor , situația este foarte asemănătoare: dacă f , g : X → Y sunt homomorfisme de grup, coegalizatorul lor este factorul Y prin închiderea normală a mulțimii: $S=\{f(x)g(x)^{-1}\ |\ x\in X\)$ .

Pentru grupurile abeliene, coegalizatorul este deosebit de simplu. Acesta este pur și simplu grupul de factori Y / im( f − g ) ( nucleul morfismului f − g ).

În categoria spațiilor topologice, cercul poate fi considerat ca un coegalizator a două înglobări ale simplexului standard 0-dimensional în simplexul standard 1-dimensional. $S^{1}$

Co-egalizatoarele pot fi destul de mari: sunt exact doi functori din categoria 1 cu un obiect și un morfism, până la categoria 2 cu două obiecte și exact un morfism non-identic. Coegalizatorul acestor functori este monoidul numerelor naturale prin adunare, considerat ca o categorie cu un singur element. Acest lucru arată că, deși fiecare co-egalizator este epimorf, nu este neapărat surjectiv .

Literatură

McLane S. Capitolul 3. Construcții universale și limite // Categorii pentru matematicianul care lucrează = Categorii pentru matematicianul care lucrează / Per. din engleza. ed. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 68-94. — 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .