Afișaj liniar

O mapare liniară este o generalizare a unei funcții numerice liniare (mai precis, o funcție ) în cazul unui set mai general de argumente și valori. Mapările liniare, spre deosebire de mapările neliniare , sunt suficient de bine studiate, ceea ce face posibilă aplicarea cu succes a rezultatelor teoriei generale, deoarece proprietățile lor nu depind de natura mărimilor. $y=kx$

Un operator liniar (transformare) este un caz special de mapare liniară a unui spațiu vectorial în sine. [unu]

Definiție formală

O mapare liniară a unui spațiu vectorial peste un câmp într-un spațiu vectorial peste același câmp ( un operator liniar de la la ) este o mapare $V$ $K$ $W$ $K$ $V$ $W$

f\colon V\la W

satisfacerea condiției de liniaritate [2]

f(x+y)=f(x)+f(y)

f(\alpha x)=\alpha f(x)

pentru toti si . $x,y\in V$ $\alpha \în K$

Dacă și este același spațiu vectorial, atunci nu este doar o mapare liniară, ci o transformare liniară . $V$ $W$ $f$

Dacă numai prima proprietate este adevărată, atunci o astfel de mapare se numește aditiv .

Spațiul mapărilor liniare

Dacă definim operaţiile de adunare şi înmulţire cu un scalar din câmpul principal ca $K$

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)\quad \forall x\in V$
$(kf)(x)=kf(x)\quad \forall x\in V,\forall k\in K$

atunci setul tuturor mapărilor liniare de la la este un spațiu vectorial, care este de obicei notat ca $V$ $W$ ${\mathcal {L}}(V,W)$

Operatori liniari mărginiți. Norma operator

Dacă spații vectoriale și sunt spații topologice liniare , adică pe ele se definesc topologii , față de care operațiile acestor spații sunt continue , atunci se poate defini conceptul de operator mărginit: un operator liniar se numește mărginit dacă ia mulţimi mărginite la cele mărginite (în special, toţi operatorii continui sunt mărginiţi). În special, în spațiile normate , o mulțime este mărginită dacă norma oricăruia dintre elementele sale este mărginită; prin urmare, în acest caz, se spune că un operator este mărginit dacă există un număr N astfel încât . Se poate arăta că, în cazul spațiilor normate, continuitatea și mărginirea operatorilor sunt echivalente. Cea mai mică dintre constantele N care satisface condiția de mai sus se numește norma operatorului : $V$ $W$ $\forall x\in V,\|Ax\|_{W}\leqslant N\|x\|_{V)$

$\|A\|=\sup _{{\|x\|\not =0}}{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}=\sup _{{\|x\ |=1}}{\|Topor\|}.$

Introducerea normei operatorilor ne permite să considerăm spațiul operatorilor liniari ca un spațiu liniar normat (se poate verifica validitatea axiomelor corespunzătoare pentru norma introdusă). Dacă spațiul este Banach , atunci spațiul operatorilor liniari este și Banach. $W$

Operator invers

Un operator se numește inversul unui operator liniar dacă este valabilă următoarea relație: $A^{{-1}}$ $A$ $A^{{-1}}A=AA^{{-1}}=1$

Inversul unui operator liniar este, de asemenea, un operator liniar . Dacă este un operator liniar continuu care mapează un spațiu Banach (sau F-spațiu ) la altul, atunci operatorul invers este, de asemenea, un operator liniar continuu. $A^{{-1}}$ $A$ $A$

Matrice de cartografiere liniară

O matrice de mapare liniară este o matrice care exprimă o mapare liniară într-o anumită bază . Pentru a-l obține este necesar să se influențeze maparea pe vectorii de bază și să se scrie coordonatele vectorilor obținuți (imagini ale vectorilor de bază) în coloanele matricei.

Matricea de afișare este similară cu coordonatele unui vector. În acest caz, acțiunea de mapare asupra unui vector este echivalentă cu înmulțirea unei matrice cu o coloană de coordonate a acestui vector în aceeași bază.

Să alegem o bază . Fie un vector arbitrar. Apoi poate fi extins pe această bază: ${\mathbf {e}}_{k}$ $\mathbf {x}$

{\mathbf {x}}=x^{k}{\mathbf {e}}_{k}

unde sunt coordonatele vectorului în baza aleasă. $x^{k}$ $\mathbf {x}$

Aici și mai jos, se presupune suma peste indici muți .

Fie o mapare liniară arbitrară. Acționăm de ambele părți ale egalității anterioare, obținem $\mathbf {A}$

{\mathbf {Ax}}=x^{k}{\mathbf {Ae}}_{k}

De asemenea, extindem vectorii în baza aleasă, obținem ${\mathbf {Ae}}_{k}$

{\mathbf {Ae}}_{k}=a_{k}^{j}{\mathbf {e}}_{j}

unde este coordonata --lea a vectorului --lea din . $a_{k}^{j}$ $j$ $k$ ${\mathbf {Ae}}_{k}$

Înlocuind expansiunea în formula anterioară, obținem

{\mathbf {Ax}}=x^{k}a_{k}^{j}{\mathbf {e}}_{j}=(a_{k}^{j}x^{k}){\ mathbf {e}}_{j}

Expresia , cuprinsă între paranteze, nu este altceva decât o formulă de înmulțire a unei matrice cu o coloană și, astfel, matricea, atunci când este înmulțită cu o coloană , are ca rezultat coordonatele vectorului , care au apărut din acțiunea operatorului. pe vectorul , care trebuia să fie obținut. $a_{k}^{j}x^{k}$ $a_{k}^{j}$ $x^{k}$ ${\mathbf {Topor))$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {x}$

Comentariu: Dacă schimbăm o pereche de coloane sau rânduri în matricea rezultată, atunci, în general, vom obține o altă matrice corespunzătoare aceluiași set de elemente de bază. Cu alte cuvinte, se presupune că ordinea elementelor de bază este strict ordonată. ${\mathbf {e}}_{k}$

Exemplu de transformare

Luați în considerare, ca exemplu, o matrice 2×2 de următoarea formă

{\mathbf A}={\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}\,

poate fi considerată ca matricea de transformare a unui pătrat unitar într-un paralelogram cu vârfuri , , , și . Paralelogramul prezentat în figura din dreapta se obține prin înmulțirea matricei A cu fiecare vector coloană și . Acești vectori corespund vârfurilor pătratului unității. $(0, 0)$ $(a,b)$ $(a+c,b+d)$ $(c,d)$ ${\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix)),{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix)),{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix))$ ${\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix))$

Următorul tabel oferă exemple de matrice 2 × 2 peste numere reale cu transformările liniare R2 corespunzătoare . Culoarea albastră indică grila de coordonate inițială, iar cea verde este cea transformată. Originea coordonatelor este marcată cu un punct negru. $(0, 0)$

Deplasare orizontală (m=1,25)	Reflexia orizontala	compresie [ termen necunoscut ] (r=3/2)	Omotezie (3/2)	Rotație (π/6 R = 30° )
${\begin{bmatrix}1&1,25\\0&1\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix))$	${\begin{bmatrix}3/2&0\\0&2/3\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}3/2&0\\0&3/2\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}\cos(\pi /6^{{R)))&-\sin(\pi /6^{{R)))\\\sin(\pi /6^{{R} })&\cos(\pi /6^{{R}})\end{bmatrix}}$

Cazuri speciale importante

O formă liniară este o mapare liniară pentru care: $W=K$
$f\colon V\la K$
Endomorfismul liniar este o mapare liniară pentru care(operator): $V=W$
$f\colon V\la V$
Operatorul de identitate (operatorul de identitate) este un operatorcare mapează fiecare element al spațiului în sine; norma unui astfel de operator este egală cu unu (pentru spații normate) $x\mapsto x$
Maparea nulă este un operator care convertește fiecare elementîn elementul nul. $V$ $W$
Un proiector este un operator care atribuie fiecăruiaproiecția sa pe un subspațiu. $X$
Maparea conjugată la o mapareeste o maparepe, dată de relația. $A\în L(V)$ $A^{*}$ $V^*$ $A^*f(x) := f(Ax)$
Un operator auto-adjunct este un operator pe un spațiu Hilbert care coincide cu operatorul său adjunct. Uneori, astfel de operatori sunt numiți Hermitian hipermaximal .
Un operator hermitian (sau simetric) este un operatordefinit pe un subspațiu al unui spațiu Hilbert astfel încâtpentru toate perechiledin domeniul definiției. Pentru operatorii definiți de pretutindeni, această proprietate coincide cu auto-adăpostirea. $A$ $(Ax,y)=(x,Ay)$ $X y$ $A$
Un operator unitar este un operator al cărui domeniu de definire și interval de valori este întregul spațiu care păstrează produsul scalar; în special, operatorul unitar păstrează norma oricărui vector. Operatorul unitar invers este același cu operatorul adjunct; norma unui operator unitar este 1; în cazul unui câmp real K , operatorul unitar se numeşte ortogonal . $(Ax,Ay)=(x,y)$ $\|Ax\|={\sqrt {(Ax,Ax)}}={\sqrt {(x,x)}}=\|x\|$ $A^{{-1}}=A^{*}$

Concepte înrudite

Nucleul unei mapări liniareeste submulțimeacare se mapează la zero: $f\colon V\la W$ $V$ ${\mbox{Ker}}\,f=\{x\in V\mid f(x)=0\}$

Nucleul unei mapări liniare formează un subspațiu într-un spațiu liniar .

V

Următorul subset se numește imaginea unei mapări liniare : $f$ $W$ ${\mbox{Im}}\,f=\{f(x)\in W\mid x\in V\}$

Imaginea unei mapări liniare formează un subspațiu într-un spațiu liniar .

W

Imaginea unei submulțimi [3] în raport cu transformarea liniară A se numește mulțime . $M\subset V$ $AM=\{Ax:x\în M\}$

O mapare de la un produs direct al spațiilor liniare și la un spațiu liniar se spune că este biliniară dacă este liniară în ambele argumente. O mapare directă a produsului a mai multor spații liniare este numită multiliniară dacă este liniară în toate argumentele sale. $f\colon V\time U\to W$ $V$ $W$ $U$ $f\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\la B$
Un operator se numește liniar neomogen (sau afin ) dacă are forma ${\tilde L}$ ${\tilde L}=L+v$

unde este un operator liniar și este un vector.

L

v

Lasă . Se spune că un subspațiu este invariant sub o mapare liniară dacă [4] . $A:V la V$ $M\subset V$ $\forall x\in M,Ax\in M$

Criteriul invarianței. Fie un subspațiu care se descompune într-o sumă directă : . Atunci este invariant sub o mapare liniară dacă și numai dacă , unde este o proiecție pe subspațiu .

M\subset X

X

X=M\oplus N

M

A

P_{M}AP_{M}=AP_{M}

P.M}

M

Factori-operatori [5] . Fie un operator liniar și fie un invariant subspațial sub acest operator. Formăm un spațiu coeficient prin subspațiul . Atunci un operator cât este un operator care acționează conform regulii: , unde este o clasă din spațiul cât conține . $A:V la V$ $M$ $V/\,{\overset {M}{\sim }}$ $M$ $A^+$ $V/\,{\overset {M}{\sim }}$ $\forall x^{+}\in V/\,{\overset {M}{\sim )),A^{+}x^{+}=[Ax]$ $[Topor]$ $Topor$
O mapare duală în sens invers este dată între spații duale .

Exemple

Exemple de operatori liniari omogene:

operator de diferenţiere: ; $L\{x(\cdot )\}=y(t)={\frac {dx(t)}{dt))$
operator de integrare: ; $y(t)=\int \limits _{0}^{t}\!x(\tau )\,d\tau$
operator de înmulţire cu o anumită funcţie ; $\varphi (t)\colon y(t)=\varphi (t)x(t)$
operator de integrare cu o „greutate” dată $\varphi (t)\colon y(t)=\int \limits _{0}^{t}\!x(\tau ){\varphi }(\tau )\,d\tau$
operator pentru preluarea valorii funcției într-un anumit punct : [6] ; $f$ $x_{0}$ $L\{f\}=f(x_{0})$
operator de multiplicare vector-matrice: ; $b=Ax$
operator de rotație vectorială .

Exemple de operatori liniari neomogeni:

Orice transformare afină ;
$y(t)={\frac {dx(t)}{dt}}+\varphi (t)$ ;
$y(t)=\int \limits _{0}^{t}\!x(\tau )\,d\tau +\varphi _{1}(t)$ ;
$y(t)=\varphi _{1}(t)x(t)+\varphi _{2}(t)$ ;

unde , , sunt funcții bine definite și este o funcție transformată de operator. $\varphi (t)$ $\varphi _{1}(t)$ $\varphi _{2}(t)$ $x(t)$

Note

↑ E.B. Vinberg. Curs de algebră. - MTSNMO, 2013. - S. 234. - 590 p. — ISBN 978-5-4439-0209-8 , BBC 22.14.
↑ Shilov, 1961 , p. 203.
↑ M nu trebuie să fie un subspațiu.
↑ Sau: . $AM\subset M$
↑ Utilizați și operatori de factor de ortografie .
↑ Uneori denumit $\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}\!f(x){\delta }(x-x_{0})\,dx$

Vezi și

Literatură

Shilov G.E. Analiza matematică. Curs special. — M .: Nauka, 1961. — 436 p.