Metrica Gromov-Hausdorff

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 9 octombrie 2022; verificarea necesită 1 editare .

Metrica Gromov-Hausdorff este o modalitate de a determina distanța dintre două spații metrice compacte . Mai precis, este o metrică pe setul de clase izometrice de spații metrice compacte.

Această metrică a fost introdusă de Edwards în 1975 [1] [2] și apoi redescoperită și generalizată de M. L. Gromov în 1981 [3] . Gromov a folosit această metrică în demonstrarea teoremei asupra grupurilor de creștere polinomială .

Definiție

Distanța Gromov-Hausdorff dintre clasele izometrice de spații metrice compacte și este definită ca cea mai mică infimă dintre distanțele Hausdorff dintre imaginile lor sub înglobări izometrice la nivel global și într-un spațiu metric comun . În acest caz, infimumul este luat atât peste toate înglobările izometrice la nivel global, cât și peste toate spațiile . $X$ $Y$ $X\hookrightarrow Z$ $Y\hookrightarrow Z$ $Z$ $Z$

În mod echivalent, se poate defini distanța Gromov-Hausdorff ca fiind cea mai mică infimă dintre distanțele Hausdorff între și într-o uniune disjunsă echipată cu o metrică astfel încât restricția pe să coincidă cu metrica pe și restricția pe să coincidă cu metrica pe . În acest caz, limita inferioară exactă este preluată peste toate aceste valori . $X$ $Y$ $X\sqcup Y$ $\rho$ $\rho$ $X$ $X$ $\rho$ $Y$ $Y$ $\rho$

Comentarii

Adesea, cuvintele „clasă izometrică” sunt omise, adică în loc de „distanța Gromov-Hausdorff dintre clasele izometrice și „se spun „distanța Gromov-Hausdorff între și ”. $X$ $Y$ $X$ $Y$
Distanța dintre clasele izometrice și este de obicei notată cu sau . $X$ $Y$ $d_{GH}(X,Y)$ $|X,Y|_{GH}$
Setul de clase izometrice de spații metrice compacte echipate cu metrica Gromov-Hausdorff este de obicei notat , sau . $GH$ ${\mathcal {M}}$ $\mathfrak{M}$
O clasă adecvată de spații metrice considerate până la izometrii se notează cu . ${\mathcal {GH)}$

Definiții înrudite

O secvență de clase izometrice de spații metrice compacte converge către o clasă izometrică a unui spațiu metric compact dacă $X_n$ ${\displaystyle X_{\infty ))$ $d_{GH}(X_{n},X_{\infty })\la 0$ $n\la\infty$

Proprietăți

Spațiul metric este conectat la cale , complet , separabil . $GH$
- Mai mult, este o
geodezică [4] ; adică oricare două dintre punctele sale sunt conectate printr-o curbă cea mai scurtă, a cărei lungime este egală cu distanța dintre aceste puncte. $M$

Spațiul Gromov-Hausdorff este neomogen la nivel global; adică grupul său de izometrie este banal [5] , dar la nivel local există multe izometrii netriviale [6] .

GH

Spațiul este izometric față de spațiul de congruență a claselor de submulțimi compacte ale spațiului Urysohn cu metrica Hausdorff până la mișcare . [7]

GH

{\mathcal {U}}

{\mathcal {U}}

Orice familie de spații metrice mărginite complet uniform este relativ compactă în metrica Gromov-Hausdorff.

Se spune că o familie de spații metrice este mărginită complet uniform dacă diametrele tuturor spațiilor din această familie sunt mărginite de aceeași constantă și pentru oricare există un număr întreg pozitiv astfel încât orice spațiu din admite o rețea de cel mult puncte. $X$ $\varepsilon >0$ $N(\varepsilon)$ $X$ $\varepsilon$ $N(\varepsilon)$
Această proprietate, în special, implică teorema de compactitate a lui Gromov , care este analogă cu teorema de alegere a lui Blaschke pentru metrica Hausdorff.

Variații și generalizări

În definiție, este posibil să înlocuim compactitatea cu caracterul finit al diametrului, dar în acest caz vom defini metrica pe o clasă de obiecte (și nu pe o mulțime). Adică, formal vorbind, clasa tuturor claselor izometrice de spații metrice cu diametru finit , echipate cu metrica Gromov-Hausdorff, nu este un spațiu metric.
Dacă permitem metricii să ia valoarea , atunci putem refuza și caracterul finit al diametrului. $\infty$

Note

↑ D. Edwards, „ The Structure of Superspace Archived 4 martie 2016 at the Wayback Machine ”, în „Studies in Topology”, Academic Press, 1975
↑ A. Tuzhilin, „ Cine a inventat distanța Gromov-Hausdorff?” Arhivat 20 decembrie 2016 la Wayback Machine (2016)", arXiv: 1612.00728
↑ M. Gromov, Groups of Polynomial growth and Expanding Maps, Publications mathematiques IHÉ.S. , 53, 1981 Arhivat 29 noiembrie 2016.
↑ A. Ivanov, N. Nikolaeva, A. Tuzhilin (2015), The Gromov–Hausdorff Metric on the Space of Compact Metric Spaces is Strictly Intrinsic , arXiv:1504.03830 , < http://arxiv.org/pdf/1504.03830.pdf >
↑ A. Ivanov, A. Tuzhilin (2018), The Isometry Group of Gromov–Hausdorff Space , arXiv:1806.02100 , < https://arxiv.org/pdf/1806.02100.pdf > Arhivat 13 iunie 2018 la Wayback Machine
↑ A. Ivanov, A. Tuzhilin (2015), Local Structure of Gromov–Hausdorff Space near Finite Metric Spaces in General Position , arXiv:1611.04484 , < https://arxiv.org/pdf/1611.04484.pdf > Arhivat la 13 iunie 2018 la Wayback Machine
↑ A. Petrunin. Geometrie metrică pură : prelegeri introductive . — 2020. arXiv : 2007.09846

Literatură

M. Gromov . Structures métriques pour les variétés riemanniennes, editată de Lafontaine și Pierre Pansu, 1981.
M. Gromov. Structuri metrice pentru spații riemanniene și non-riemanniene , Birkhäuser (1999). ISBN 0-8176-3898-9 (traducere cu conținut suplimentar).
Burago D. Yu., Burago Yu. D., Ivanov S. V. Un curs de geometrie metrică. - M., Izhevsk: Institutul de Cercetare Informatică, 2004. - 512 p. — ISBN 5-93972-300-4 .