Secțiuni conice circumscrise și înscrise

Secțiunea conică circumscrisă sau conica circumscrisă pentru un triunghi este secțiunea conică care trece prin cele trei vârfuri ale triunghiului [1] , iar secțiunea conică înscrisă sau conica înscrisă este secțiunea conică înscrisă în triunghi, adică. referitor la laturile unui triunghi (poate nu laturile în sine, ci prelungirile lor ) [2]

Să fie date trei puncte distincte A,B,C care nu se află pe aceeași linie dreaptă și să fie ΔABC un triunghi având aceste puncte ca vârfuri. De obicei, se presupune că o literă, de exemplu A , denotă nu numai vârful A , ci și unghiul BAC adiacent acestuia . Fie a = | BC |, b = | CA |, c = | AB | sunt lungimile laturilor triunghiului Δ ABC .

În coordonate triliniare, secțiunea conică circumscrisă este locul punctelor X = x : y : z care satisface ecuația

uyz + vzx + wxy = 0,

pentru un anumit punct u:v:w . Conjugarea izogonală a oricărui punct din X pe o altă secțiune decât A,B,C este un punct pe linie

ux + vy + wz = 0.

Această dreaptă are 0,1 sau 2 puncte comune cu cercul circumscris triunghiului ΔABC , în funcție de faptul că secțiunea conică este o elipsă, o parabolă sau o hiperbolă.

Secțiunea conică înscrisă atinge trei drepte care trec prin vârfurile triunghiului ΔABC (prelungiri ale laturilor) și este dată de ecuația

u 2 x 2 + v 2 y 2 + w 2 z 2 − 2 vwyz − 2 wuzx − 2 uvxy = 0.

Centre și linii tangente

Conic descris

Centrul secțiunii conice circumscrise este punctul

u (− au + bv + cw ) : v ( au − bv + cw ) : w ( au + bv − cw ).

Dreptele tangente la conică în punctele A, B și C sunt date de ecuații

wv + vz = 0, uz + wx = 0, vx + uy = 0.

Conică înscrisă

Centrul unei secțiuni conice înscrise este un punct

cy + bz : az + cx : bx + ay .

Tangentele la această conică sunt laturile triunghiului ΔABC și sunt date de ecuațiile x = 0, y = 0, z = 0.

Alte proprietăți

Secțiuni conice descrise

Orice secțiune conică circumscrisă care nu este un cerc intersectează cercul circumscris în jurul lui ΔABC într-un alt punct decât A, B și C, care este adesea numit al patrulea punct de intersecție și are coordonate triliniare

( cx − az )( ay − bx ) : ( ay − bx )( bz − cy ) : ( bz − cy )( cx − az )

Dacă punctul P = p : q : r se află pe secțiunea conică circumscrisă, atunci linia tangentă la secțiunea în punctul P este dată de ecuație

( vr + wq ) x + ( wp + ur ) y + ( uq + vp ) z = 0.

Secțiunea conică descrisă este o parabolă dacă și numai dacă

u 2 a 2 + v 2 b 2 + w 2 c 2 − 2 vwbc − 2 wuca − 2 uvab = 0, şi hiperbolă dacă şi numai dacă u cos A + v cos B + w cos C = 0.

Dintre toate triunghiurile înscrise într-o elipsă dată, centroidul triunghiului cu cea mai mare zonă coincide cu centrul elipsei [3] . O elipsă care trece prin trei vârfuri ale unui triunghi, centrată pe centroidul triunghiului, se numește elipsă Steiner circumscrisă .

Secțiuni conice înscrise

O secțiune conică înscrisă este o parabolă dacă și numai dacă

ubc + vca + wab = 0, iar în acest caz secțiunea conică atinge o parte a triunghiului din exterior și atinge prelungirea celorlalte două laturi.

Să presupunem că p 1 : q 1 : r 1 și p 2 : q 2 : r 2 sunt puncte distincte și fie

X = ( p 1 + p 2 t ) : ( q 1 + q 2 t ) : ( r 1 + r 2 t ). Când parametrul t trece prin toate numerele reale , locul punctelor X este o linie dreaptă. Să definim X 2 = ( p 1 + p 2 t ) 2 : ( q 1 + q 2 t ) 2 : ( r 1 + r 2 t ) 2 . Locul punctelor X 2 este o secțiune conică înscrisă, neapărat o elipsă , care este dată de ecuația L 4 x 2 + M 4 y 2 + N 4 z 2 − 2 M 2 N 2 yz − 2 N 2 L 2 zx − 2 L 2 M 2 xy = 0, Unde L = q 1 r 2 - r 1 q 2 , M = r 1 p 2 - p 1 r 2 , N = p 1 q 2 − q 1 p 2 .

Un punct din interiorul unui triunghi este centrul unei elipse înscrise în triunghi dacă și numai dacă punctul se află în interiorul triunghiului ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale triunghiului original [4] . Pentru un punct din interiorul triunghiului median, elipsa centrată în acel punct este unică [5] .
Elipsa înscrisă cu cea mai mare zonă este elipsa înscrisă Steiner , care este numită și elipsa înscrisă mediană. Centrul acestei elipse coincide cu centroidul triunghiului [6] . În general, raportul dintre aria elipsei înscrise și aria triunghiului în ceea ce privește coordonatele baricentrice ale centrului elipsei este [7] . $(\alpha,\beta,\gamma)$

{\frac {\text{Aria inellipse}}{\text{Aria triunghiului}}}=\pi {\sqrt {(1-2\alpha )(1-2\beta) (1-2 \gamma )}},

iar acest raport este maximizat atunci când coincide cu coordonatele baricentrice ale centroidului triunghiului

\alpha =\beta =\gamma =1/3.

Liniile care leagă punctele de contact ale oricărei elipse înscrise într-un triunghi cu vârful opus se intersectează într-un punct [8] .

Extindere la patrulatere

Toate centrele elipselor înscrise în patrulater se află pe segmentul care leagă punctele medii ale diagonalelor patrulaterului [9] .

Exemple

Secțiune conică circumscrisă
- Cercul circumscris , singurul cerc care trece prin cele trei vârfuri ale unui triunghi
- Elipsa circumscrisă a lui Steiner , singura elipsă care trece prin toate cele trei vârfuri ale unui triunghi, centrată pe centroidul triunghiului
- Hiperbola lui Cypert , singura conică care trece prin cele trei vârfuri ale triunghiului, centroidul și ortocentrul său
- Hiperbola lui Erzhabek, o hiperbolă cu un centru care coincide cu centrul unui cerc de nouă puncte care trece prin trei vârfuri ale unui triunghi, centrul cercului său circumferitor, un ortocentru și alte centre remarcabile
- Hiperbola Feuerbach , care trece prin ortocentrul triunghiului, punctul Nagel și alte puncte remarcabile, este centrată pe cercul de nouă puncte.
Secțiune conică inscripționată
- Cerc înscris , singurul cerc tangent la interiorul unei laturi a unui triunghi
- Elipsa înscrisă a lui Steiner , singura elipsă tangentă la trei laturi ale unui triunghi la mijlocul laturilor
- Elipse Mandara , singura elipsă tangentă la laturile unui triunghi în punctele tangente ale cercurilor circumscrise exterioare
- Parabola Kiepert
- Parabola lui Iffa

Note

^ Weisstein, Eric W. „Circumconic” . De la MathWorld--O resursă web Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Circumconic.html Arhivat 13 aprilie 2017 la Wayback Machine
^ Weisstein, Eric W. „Inconic” . De la MathWorld--O resursă web Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Inconic.htm (link indisponibil)
↑ Chakerian, 1979 , p. 147.
↑ Chakerian, 1979 , p. 139.
↑ Chakerian, 1979 , p. 142.
↑ Chakerian, 1979 , p. 145.
↑ Chakerian, 1979 , p. 143.
↑ Chakerian, 1979 , p. 148.
↑ Chakerian, 1979 , p. 136.

Literatură

GD Chakerian. O viziune distorsionată a geometriei // Asociația Matematică din America / R. Honsberger. -Washington, DC, 1979.

Link -uri

Circumconic Arhivat pe 13 aprilie 2017 la Wayback Machine la MathWorld
Inconic Arhivat 28 august 2017 la Wayback Machine la MathWorld