Suprafata Hurwitz

Suprafața Hurwitz  este o suprafață Riemann compactă având exact

automorfisme, unde g  este genul suprafeței. Ele sunt numite și curbe Hurwitz , înțelegându-le în același timp ca curbe algebrice complexe (dimensiunea complexă 1 corespunde dimensiunii reale 2).

Numit după matematicianul german Adolf Hurwitz .

Proprietăți

• Acest număr, 84( g − 1) , este maxim datorită teoremei automorfismului Hurwitz [1] .

• Grupul fuchsian al unei suprafețe Hurwitz este un subgrup normal de indice finit în grupul triunghiular (obișnuit) (2,3,7) și este, de asemenea, fără torsiune. Un grup de factori finiți este exact un grup de automorfism.

• Automorfismele unei curbe algebrice complexe sunt automorfisme care păstrează orientarea ale suprafeței reale subiacente. Dacă luăm în considerare și izometriile de inversare a orientării , obținem un grup de două ori mai mare de ordinul 168( g − 1), care uneori este de interes.

Note

• Aici, „grupul triunghiular (2,3,7)” este cel mai adesea înțeles ca un grup triunghiular incomplet Δ(2,3,7) ( un grup Coxeter cu un triunghi Schwartz (2,3,7) sau realizat ca un grup de reflexie hiperbolic ), ci mai degrabă grupul triunghiular obișnuit ( grupul von Dyck ) D (2,3,7) de mapări care păstrează orientarea, având indicele 2. Grupul de automorfism complex este grupul de coeficient al grupului triunghiular obișnuit , în timp ce grupul de izometrie (cu posibilă reorientare) este un grup de factori al grupului triunghiular general .

Exemple

O suprafață Hurwitz de gen minim este o cuartică Klein din genul 3, cu grupul de automorfism PSL(2,7) ( grup liniar proiectiv special) de ordinul 84(3−1) = 168 = 2 2 •3•7 si fiind simplu grup . Următorul gen admisibil este șapte și are o suprafață McBeath cu grupul de automorfism PSL(2,8), care este un grup simplu de ordinul 84(7−1) = 504 = 2 2 •3 2 •7. Dacă luăm în considerare și izometriile care schimbă orientarea, ordinea grupului va fi 1008.

Un fenomen interesant are loc la următoarea valoare posibilă a genului, și anume 14. Aici există un triplu de suprafețe Riemann distincte cu grupuri identice de automorfism (de ordinul 84(14−1) = 1092 = 2 2 •3•7•13) . Explicația pentru acest fenomen este aritmetica. Și anume, în inelul numerelor întregi ale unui câmp numeric adecvat , primul rațional 13 se descompune în produsul a trei idealuri prime distincte [2] . Grupurile principale de congruență definite de un triplu de idealuri prime dau grupuri fuchsiene corespunzătoare primului triplu Hurwitz .

Vezi și

• Ordinul cuaternioanelor Hurwitz

Note

1. ↑ Hurwitz, 1893 , p. 403–442.
2. ↑ Vezi articolul „ The First Hurwitz Triple ” pentru o explicație.

Literatură

• N. Elkies . calcule curbei Shimura. Teoria algoritmică a numerelor. - Berlin: Springer, 1998. - T. 1423. - (Lecture Notes in Computer Science).

• A. Hurwitz. Über algebraische Gebilde mit Eindeutigen Transformationen in sich // Mathematische Annalen . - 1893. - T. 41 , nr. 3 . - doi : 10.1007/BF01443420 .

• M. Katz , M. Schaps, U. Vishne. Creșterea logaritmică a sistolei suprafețelor Riemann aritmetice de-a lungul subgrupurilor de congruență // J. Differential Geom. - 2007. - T. 76 , nr. 3 . — S. 399-422 .

• David Singerman, Robert I. Syddall. The Riemann Surface of a Uniform Dessin // Beiträge zur Algebra und Geometrie (Contribuții la algebră și geometrie). - 2003. - T. 44 , nr. 2 . — S. 413–430 .