Teorema automorfismului lui Hurwitz

Teorema automorfismelor lui Hurwitz limitează ordinea grupului de automorfisme — orientarea –  păstrarea mapelor conforme — a unei suprafețe Riemann  compacte de gen g > 1, afirmând că numărul acestor automorfisme nu poate depăși 84( g − 1). Grupul pentru care se atinge maximul se numește grupul Hurwitz , iar suprafața Riemann corespunzătoare se numește suprafața Hurwitz . Deoarece suprafețele compacte Riemann sunt sinonime cu curbele algebrice proiective complexe non-singulare , o suprafață Hurwitz poate fi numită și curbă Hurwitz [1] . Teorema este numită după Adolf Hurwitz , care a demonstrat-o în 1893 [2] .

Limita Hurwitz este valabilă și pentru curbele algebrice peste câmpuri cu caracteristica 0 și peste câmpuri cu caracteristică pozitivă p > 0 pentru grupurile a căror ordine este coprime la p , dar nu poate fi valabilă pentru câmpurile cu caracteristica p > 0 dacă p împarte ordinea grupului. . De exemplu, o acoperire dublă a liniei proiective , ramificată în toate punctele pe un câmp simplu, are genul , dar grupul de ordine acționează asupra lui .

Interpretare în termeni de hiperbolicitate

Una dintre temele fundamentale ale geometriei diferențiale  este tricotomia dintre varietățile riemanniene de curbură pozitivă, zero și negativă K . Acest lucru se găsește în multe situații și la diferite niveluri. În contextul suprafețelor Riemann X , conform teoremei de uniformizare Riemann , această tricotomie este văzută ca o diferență între suprafețele de diferite topologii:

În timp ce în primul caz suprafața X admite infinit de automorfisme conforme (de fapt, grupul de automorfisme conforme este un grup Lie de dimensiunea trei pentru sferă și dimensiunea unu pentru tor), o suprafață Riemann hiperbolică admite doar un set discret de automorfisme. . Teorema lui Hurwitz afirmă că, de fapt, chiar mai mult este adevărat - dă o limită în ordinea grupului de automorfism în funcție de gen și descrie suprafețele Riemann pentru care această limită este exactă.

Ideea dovezii și construcția suprafețelor Hurwitz

Prin teorema de uniformizare, orice suprafață hiperbolică X , adică o astfel de suprafață pentru care curbura Gauss este egală cu minus unu în orice punct, este acoperită de un plan hiperbolic . O mapare conformă a unei suprafețe corespunde automorfismelor de păstrare a orientării ale planului hiperbolic. Conform teoremei Gauss-Bonnet , aria suprafeței este egală cu

.

Pentru a face grupul de automorfism G pe X cât mai mare posibil, trebuie să facem aria domeniului său fundamental D cât mai mică posibil pentru această acțiune. Dacă domeniul fundamental este un triunghi cu unghiuri de vârf și , dând o placă a planului hiperbolic, atunci p , q și r vor fi numere întregi mai mari decât unu, iar aria este

.

Să ne punem întrebarea pentru care numere naturale este expresia

strict pozitive şi cât mai mici. Această valoare minimă este 1/42 și

oferă un triplu unic (până la o permutare) a unor astfel de numere. Aceasta înseamnă că ordinul | G | grupul de automorfism este limitat de valoare

.

Cu toate acestea, calcule mai precise arată că această estimare este înjumătățită, deoarece grupul G poate conține transformări de inversare a orientării. Pentru automorfismele conforme care păstrează orientarea, granița va fi .

Clădire

Pentru a obține un exemplu de grup Hurwitz, începem cu un (2,3,7)-tiling al planului hiperbolic. Grupul său de simetrie completă este grupul complet de triunghi (2,3,7) format din reflexii asupra laturilor unui triunghi fundamental cu unghiuri , și . Deoarece reflexia răstoarnă triunghiul și schimbă orientarea, putem împerechea triunghiurile împreună și obținem un poligon de plăci care păstrează orientarea. Suprafața Hurwitz este obținută prin „închiderea” unei părți a acestei plăci infinite a planului hiperbolic într-o suprafață Riemann de genul g . Acest lucru va necesita exact plăcile (formate din două triunghiuri).

Următoarele două plăci obișnuite au grupul de simetrie dorit. Grupul de rotație corespunde rotațiilor în jurul unei muchii, vârfuri și fețe, în timp ce grupul de simetrie completă poate include și reflexii. Rețineți că poligoanele din placare nu sunt zone fundamentale - placarea triunghiulară (2,3,7) rafinează ambele aceste piese și nu este regulată.


Placare heptagonală de ordinul 3
Placare triunghiulară de ordinul 7

Construcțiile lui Wythoff permit plăci suplimentare uniforme , dând opt plăci uniforme , inclusiv cele două prezentate aici. Toate sunt obținute din suprafețe Hurwitz și dau o placare a suprafețelor (triangulare, placare prin heptagoane etc.).

Din considerațiile prezentate mai sus, putem concluziona că grupul Hurwitz G este caracterizat de proprietatea că este un grup de factori finiți al unui grup cu doi generatori a și b și trei relații.

astfel G este un grup finit generat de două elemente de ordinul doi și trei al căror produs are ordinul șapte. Mai precis, orice suprafață Hurwitz, adică o suprafață hiperbolică pe care se atinge ordinea maximă a grupului de automorfism pentru suprafețele unui gen dat, poate fi obținută prin construcția descrisă. Aceasta este ultima parte a teoremei Hurwitz.

Exemple de grupuri și suprafețe Hurwitz

Cel mai mic grup Hurwitz este grupul liniar special proiectiv PSL(2,7) cu ordinul 168, iar curba corespunzătoare este quartica Klein . Acest grup este, de asemenea, izomorf la PSL(3,2) .

Următoarea curbă este o curbă McBeath cu grupul de automorfism PSL(2,8) de ordinul 504. Există multe grupuri finite simple care sunt grupuri Hurwitz, de exemplu, toate, cu excepția celor 64 de grupuri alternative, sunt grupuri Hurwitz. Cel mai mare grup non-Hurwitz are gradul 167. A 15 este cel mai mic grup alternativ, care este un grup Hurwitz.

Cele mai multe grupuri liniare speciale proiective de rang mare sunt grupurile Hurwitz [4] . Există mai puține grupuri Hurwitz printre astfel de grupuri de ranguri mici. Notând p modulo 7 prin exponent , PSL(2, q ) este un grup Hurwitz dacă și numai dacă fie q =7, fie . Mai mult, PSL(3, q ) este un grup Hurwitz numai pentru q = 2, PSL(4, q ) nu este un grup Hurwitz pentru orice q , iar PSL(5, q ) este un grup Hurwitz numai dacă sau [5] . În mod similar, multe grupuri de tip Lie sunt Hurwitz. Grupurile clasice finite de rang înalt sunt grupurile Hurwitz [6] . Grupurile excepționale Lie de tip G2 și grupurile Ree de tip 2G2 sunt aproape întotdeauna grupuri Hurwitz [7] . Alte familii de grupuri Lie excepționale și răsucite de rang scăzut, așa cum arată Malle, sunt grupurile Hurwitz [8] .

Există 12 grupuri sporadice care pot fi formate ca grupuri Hurwitz - grupurile Janko J 1 , J 2 și J 4 , grupurile Fischer Fi 22 și Fi' 24 , grupul Rudvalis , grupul Held , grupul sporadic Thompson , Harada grupul -Norton , al treilea grup de Conway Co 3 , grupul de Lyons și „monstru” [9] .

Ordine maxime ale grupurilor de automorfisme ale suprafețelor Riemann

Ordinea maximă a unui grup finit care acționează pe o suprafață Riemann de genul g este dată după cum urmează

Genul g Comanda maxima Suprafaţă grup
2 48 curba Bolz GL 2 (3)
3 168 (granița Hurwitz) Cuartica lui Klein PSL 2 (7)
patru 120 Aduce curba S5 _
5 192
6 150
7 504 (granița Hurwitz) Curba McBeath PSL 2 (8)
opt 336
9 320
zece 432
unsprezece 240

Vezi și

Note

  1. ↑ Din punct de vedere tehnic, categoria suprafețelor compacte Riemann și a mapărilor conforme care păstrează orientarea este echivalentă cu categoria curbelor algebrice proiective complexe și nesingurale și morfismelor algebrice.
  2. ↑ Hurwitz, 1893 .
  3. ↑ ( Richter ) Rețineți că fiecare față a unui poliedru este alcătuită din mai multe fețe de placare - două fețe triunghiulare alcătuiesc o față pătrată și așa mai departe, ca în acest desen explicativ Arhivat la 3 martie 2016 la Wayback Machine .
  4. ↑ Lucchini, Tamburini, Wilson, 2000 .
  5. ↑ Tamburini, Vsemirnov, 2006 .
  6. ↑ Lucchini, Tamburini, 1999 .
  7. ↑ Malle, 1990 .
  8. ↑ Malle, 1995 .
  9. ↑ Wilson, 2001 .

Literatură