Triunghiul Schwartz

Triunghiul Schwartz este un triunghi sferic care poate fi folosit pentru a tesela o sferă , eventual suprapusă, prin reflectarea triunghiului în jurul laturilor sale. Triunghiurile sunt clasificate într-o lucrare din 1873 a matematicianului german Karl Schwartz [1] .

Triunghiurile Schwartz pot fi definite mai general ca terasamente pe o sferă, plan euclidian sau hiperbolic. Fiecare triunghi Schwartz de pe sferă definește un grup finit , în timp ce pe planul euclidian definesc grupuri infinite.

Triunghiul Schwartz este reprezentat de trei numere raționale ( p q r ), fiecare dintre ele definește un unghi la vârf. Valoarea n/d înseamnă că unghiul de la vârful triunghiului este egal cu d / n al unghiului drept. 2 înseamnă triunghi dreptunghic. Dacă aceste numere sunt numere întregi, triunghiul se numește triunghi Möbius și corespunde unei plăci fără suprapuneri, iar grupul de simetrie se numește grupul de triunghi . Există 3 triunghiuri Möbius pe sferă și încă o familie cu un parametru. Pe plan sunt trei triunghiuri Möbius, iar în spațiul hiperbolic există o familie de triunghiuri Möbius cu trei parametri și fără obiecte excepționale .

Spațiu de soluții

O zonă fundamentală sub forma unui triunghi ( p q r ) poate exista în spații diferite, în funcție de suma reciprocelor acestor numere întregi:

Mai simplu spus, suma unghiurilor unui triunghi în planul euclidian este π, în timp ce pe sferă suma unghiurilor este mai mare decât π, iar în planul hiperbolic suma este mai mică decât π.

Reprezentare grafică

Triunghiul Schwartz este reprezentat grafic ca un grafic triunghiular . Fiecare vârf corespunde unei laturi (oglindă) a triunghiului Schwartz. Fiecare muchie este etichetată cu o valoare rațională corespunzătoare ordinii de reflexie, care este egală cu π/ unghiul exterior .

Muchiile cu ordinul 2 reprezintă oglinzi perpendiculare, care pot fi omise în această diagramă. Diagrama Coxeter-Dynkin reprezintă aceste grafice triunghiulare fără muchii de ordinul 2.

Se poate folosi grupul Coxeter pentru o notație mai simplă, ca ( p q r ) pentru graficele ciclice, ( p q 2) = [ p , q ] pentru triunghiuri dreptunghiulare) și ( p 2 2) = [ p ]×[].

Lista triunghiurilor Schwartz

Triunghiuri Möbius pe sferă

Triunghiurile Schwarz cu numere întregi, numite și triunghiuri Möbius , includ familia cu un parametru și trei cazuri excepționale :

1. [ p ,2] sau ( p 2 2) - simetrie diedrică ,
2. [3,3] sau (3 3 2) – simetrie tetraedrică ,
3. [4,3] sau (4 3 2) – Simetrie octaedrică ,
4. [5,3] sau (5 3 2) - simetrie icosaedrică ,

Triunghiuri Schwartz pe o sferă, grupate după densitate

Triunghiuri Schwartz ( p q r ), grupate după densitate :

Triunghiuri în plan euclidian

Densitatea 1:

1. (3 3 3) - 60-60-60 ( echilateral )
2. (4 4 2) - 45-45-90 (isoscel dreptunghiular)
3. (6 3 2) - 30-60-90
4. (2 2 ∞) - 90-90-0 „triunghi”

Densitatea 2:

1. (6 6 3/2) - 120-30-30 triunghi

Densitatea ∞:

1. (4 4/3∞)
2. (3 3/2∞)
3. (6 6/5∞)

Triunghiuri în plan hiperbolic

Densitatea 1:

• (2 3 7), (2 3 8), (2 3 9) ... (2 3 ∞)
• (2 4 5), (2 4 6), (2 4 7) ... (2 4 ∞)
• (2 5 5), (2 5 6), (2 5 7) ... (2 5 ∞)
• (2 6 6), (2 6 7), (2 6 8) ... (2 6 ∞)
• (3 3 4), (3 3 5), (3 3 6) ... (3 3 ∞)
• (3 4 4), (3 4 5), (3 4 6) ... (3 4 ∞)
• (3 5 5), (3 5 6), (3 5 7) ... (3 5 ∞)
• (3 6 6), (3 6 7), (3 6 8) ... (3 6 ∞)
• ...
• (∞∞∞)

Densitatea 2:

• (3/2 7 7), (3/2 8 8), (3/2 9 9) ... (3/2 ∞ ∞)
• (5/2 4 4), (5/2 5 5), (5/2 6 6) ... (5/2 ∞ ∞)
• (7/2 3 3), (7/2 4 4), (7/2 5 5) ... (7/2 ∞ ∞)
• (9/2 3 3), (9/2 4 4), (9/2 5 5) ... (9/2 ∞ ∞)
• ...

Densitatea 3:

• (2 7/2 7), (2 9/2 9), (2 11/2 11) ...

Densitatea 4:

• (7/3 3 7), (8/3 3 8), (3 10/3 10), (3 11/3 11) ...

Densitatea 6:

• (7/4 7 7), (9/4 9 9), (11/4 11 11) ...

Densitatea 10:

• (3 7/2 7)

Triunghiul Schwartz (2 3 7) este cel mai mic triunghi Schwartz hiperbolic și prezintă un interes deosebit. Grupul său de triunghi (sau, mai precis, grupul von Dyck de izometrii care păstrează orientarea cu indicele 2) este grupul triunghiular (2,3,7) , care este grupul universal pentru toate grupurile Hurwitz — grupurile maxime de izometrie ale suprafețelor Riemann . Toate grupurile Hurwitz sunt grupuri de factori ale grupului de triunghi (2,3,7) și toate suprafețele Hurwitz sunt acoperite de plăci de triunghiuri Schwartz (2,3,7). Cel mai mic grup Hurwitz este un grup simplu de ordinul 168, al doilea cel mai mic grup simplu non-Abelian , care este izomorf cu PSL(2,7) și asociat cu o suprafață Hurwitz din genul 3, este quartica Klein .

Triunghiul (2 3 8) teselează suprafața Boltz , o suprafață foarte simetrică (dar nu Hurwitz) din genul 2.

Triunghiurile cu un unghi non-întreg enumerate mai sus au fost clasificate pentru prima dată de Anthony W. Knapp într- o  lucrare din 1968 [2] . O listă de triunghiuri cu unghiuri multiple neîntregi este dată într-o lucrare din 1998 de Klimenko și Sakum [3] .

Vezi și

• Lista politopilor uniforme prin generarea triunghiurilor Schwartz
• Simbol Wythoff
• Construcția Wythoff
• Poliedru uniform
• Poliedru uniform neconvex
• Densitatea politopului
• tetraedrul Goursat
• Placuri uniforme obișnuite
• Placuri uniforme pe plan hiperbolic

Note

1. ↑ Schwarz, 1873 .
2. ↑ Knapp, 1968 , p. 289-304.
3. ↑ Klimenko, Sakuma, 1998 , p. 247-282.

Literatură

•  Coxeter H.C.M. Tabelul 3: Triunghiurile lui Schwarz // Politopi obișnuiți (carte) . - A treia editie. - Ediția Dover, 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .
• Klimenko E., Sakuma M.  Subgrupuri discrete cu două generatoare de Isom(H 2 ) care conţin elemente de inversare a orientării // Geometriae Dedicata . - 1998. - Vol. 72, nr. 3. - doi : 10.1023/A:1005032526329 .
• Knapp A. W.  a generat dublu grupuri fuchsiane // Michigan Mathematics Journal. - 1968. - Vol. 15, nr. 3.
• Schwarz H. A.  Über diejenigen Fälle in welchen die Gaussichen hypergeometrische Reihe eine algebraische Function ihres vierten Elementes darstellt  // Journal für die reine und angewandte Mathematik . - 1873. - Bd. 75. - S. 292-335. — ISSN 0075-4102 . - doi : 10.1515/crll.1873.75.292 .   Rețineți că Coxeter se referă la acest articol ca „Zur Theorie der hypergeometrischen Reihe”, care este un titlu prescurtat folosit ca titluri de pagină.
• Wenninger, Magnus J. . O introducere în noțiunea de densitate poliedrică // Modele sferice . - Arhiva CUP, 1979. - P. 132-134. - ISBN 978-0-521-22279-2 .

Link -uri

• Weisstein, Eric W. Schwarz triunghi  (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
• KlitzingPolytopes Triunghiul Schwarz general (pqr) și matricele de incidență generalizate ale poliedrelor corespunzătoare