Limită de secvență

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 29 septembrie 2021; verificările necesită 2 modificări .

În matematică , limita unei secvențe de elemente dintr- un spațiu metric sau spațiu topologic este un element al aceluiași spațiu care are proprietatea de a „atrage” elemente dintr-o secvență dată. Limita unei secvențe de elemente dintr- un spațiu topologic este un astfel de punct, a cărui vecinătate conține toate elementele șirului, pornind de la un anumit număr. Într -un spațiu metric, vecinătățile sunt definite în termeni de funcție de distanță , deci conceptul de limită este formulat în limbajul distanțelor. Din punct de vedere istoric, primul a fost conceptul de limită a unei secvențe numerice , care apare în analiza matematică , unde servește ca bază pentru un sistem de aproximări și este utilizat pe scară largă în construcția calculului diferențial și integral .

Desemnare: $\lim_{n \to \infty} x_n = a$

(se citește: limita secvenței x n-a ca tinde spre infinit este a [1] [2] )

Proprietatea unei secvențe de a avea o limită se numește convergență : dacă șirul are o limită, atunci se spune că șirul dat converge ; în caz contrar (dacă secvența nu are limită) se spune că secvența diverge . Într -un spațiu Hausdorff și, în special, într- un spațiu metric [3] , fiecare subsecvență a unei secvențe convergente converge, iar limita sa coincide cu limita șirului original. Cu alte cuvinte, o succesiune de elemente dintr-un spațiu Hausdorff nu poate avea două limite diferite. Se poate, totuși, să se dovedească că secvența nu are limită, dar există o subsecvență (a secvenței date) care are o limită. Dacă orice succesiune de puncte dintr-un spațiu are o subsecvență convergentă, atunci se spune că spațiul dat are proprietatea compactității secvențiale (sau pur și simplu compactității dacă compactitatea este definită exclusiv în termeni de secvențe).

În spațiile topologice care satisfac prima axiomă a numărabilității , conceptul de limită a unei secvențe este direct legat de conceptul de punct limită (mulțime): dacă o mulțime are un punct limită, atunci există o secvență de elemente ale acestui set convergent către un punct dat. Pentru spații topologice arbitrare, o astfel de secvență poate să nu existe.

Definiție

Să fie dat un spațiu topologic și o secvență Atunci, dacă există un element astfel încât $T$ $\{x_{n}\}.$ $x\în T$

\forall {\text{ }}U(x){\text{ }}\exists N:{\text{ }}\forall {\text{ }}n{\text{ }},n>N {\text{ }}\Rightarrow x_{n}\in U(x)

unde este o mulţime deschisă care conţine , atunci se numeşte limita secvenţei . Dacă spațiul este metric , atunci limita poate fi definită folosind o metrică: dacă există un element astfel încât $U(x)$ $X$ $X$ $x_n$ $x\în T$

\forall {\text{ }}\varepsilon >0{\text{ }}\exists N:{\text{ }}\forall {\text{ }}n,n>N{\text{ }} \Rightarrow d(x_{n},x)<\varepsilon

unde este metrica, atunci se numește limită . $d(x,y)$ $X$ $x_n$

Exemple

Dacă un spațiu este dotat cu o topologie antidiscretă , atunci limita oricărei secvențe este orice element al spațiului.

Variații și generalizări

Limita unei subsecvențe arbitrare se numește limita parțială a secvenței.

Vezi și

Note

↑ „Semnul „lim” reprezintă primele trei litere ale cuvântului latin limes - limită, chenar; dar ar trebui citit în rusă: „limită” ”( Khinchin A. Ya. Un scurt curs de analiză matematică. - M . : GITTL , 1953. - S. 38. - 624 p. )
↑ „Această intrare sună astfel:“ limita de tendință spre infinit este egală cu „” ( Shipachev V.S. Fundamentals of Higher Mathematics / Editat de academicianul A.N. Tikhonov . - M . : Higher School , 1989. - C 121. - 479 pp. . - ISBN 5-06-000048-6 . ) $x_{n}$ $n$ $A$
↑ Fiecare spațiu metric este automat și Hausdorff.