Limită de secvență de numere

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 29 septembrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Limita unei secvențe numerice este limita unei secvențe de elemente dintr-un spațiu numeric. Un spațiu numeric este un spațiu metric , în care distanța este definită ca modulul diferenței dintre elemente. Prin urmare, un număr este numit limita unei secvențe dacă pentru oricare există un număr care depinde de , astfel încât pentru oricare inegalitatea este valabilă . $A$ $\{x_n\}$ $\varepsilon > 0$ $N_\varepsilon$ $\varepsilon$ $n > N_\varepsilon$ $\ |x_n - a| < \varepsilon$

În cazul numerelor complexe, existența unei limite a unei secvențe este echivalentă cu existența limitelor șirurilor corespunzătoare de părți reale și imaginare ale numerelor complexe.

Limita (a unei secvențe numerice) este unul dintre conceptele de bază ale analizei matematice . Fiecare număr real poate fi reprezentat ca limita unei succesiuni de aproximări la valoarea dorită. Sistemul de numere oferă o astfel de secvență de rafinare. Numerele întregi și raționale sunt descrise prin secvențe periodice de aproximări, în timp ce numerele iraționale sunt descrise prin secvențe neperiodice de aproximări. [1] În metodele numerice , unde se utilizează reprezentarea numerelor cu un număr finit de semne, alegerea sistemului de aproximări joacă un rol deosebit. Criteriul pentru calitatea sistemului de aproximări este rata de convergență. În acest sens, reprezentările continue ale numerelor se dovedesc a fi eficiente .

Istorie

Conceptul de limită a unei secvențe a fost folosit de Newton în a doua jumătate a secolului al XVII-lea și de matematicieni din secolul al XVIII-lea , precum Euler și Lagrange , dar ei au înțeles limita intuitiv. Primele definiții riguroase ale limitei unei secvențe au fost date de Bolzano în 1816 și de Cauchy în 1821 .

Definiție

Un număr se numește limita unei secvențe numerice dacă șirul este infinit mic, adică toate elementele sale, începând de la unele, sunt mai mici decât orice număr pozitiv preluat în valoare absolută. $a\în \mathbb {R}$ $\{x_n\}$ $\{x_{n}-a\}$

\lim _{n\to \infty}x_{n}=a~\Leftrightarrow ~\forall \varepsilon >0~\exists N(\varepsilon)\in \mathbb {N} \colon ~n\geqslant N~\Rightarrow |x_{n}-a|<\varepsilon

(pentru orice epsilon mic, există un număr care începe de la care elementele secvenței vor diferi de limită cu mai puțin de epsilon)

Dacă un număr este limita unei secvențe numerice , atunci se spune că și secvența converge către . Dacă niciun număr real nu este limita secvenței , acesta se numește divergent . $a\in \mathbb {R}$ $\{x_n\}$ $\{x_n\}$ $A$ $\{x_n\}$

Pentru unele secvențe, se presupune că limita este infinit . Și anume, ei spun că șirul tinde spre infinit , dacă pentru orice număr real toți membrii șirului, începând de la unii, se dovedesc a fi mai mari decât acest număr în valoare absolută. Oficial, $\{x_n\}$

\lim_{n \to \infty} x_n = \infty ~ \Leftrightarrow ~ \forall E > 0 ~ \exists N (E) \in \N \colon ~ \forall n \geqslant N \Rightarrow |x_n| > E

În plus, dacă toate elementele unei secvențe care tind spre infinit, începând de la un anumit număr, au semn pozitiv, atunci se spune că limita unei astfel de secvențe este plus infinitul .

\lim_{n \to \infty} x_n = +\infty ~ \Leftrightarrow ~ \forall E > 0 ~ \exists N (E) \in \N \colon ~ \forall n \geqslant N \Rightarrow x_n > E

Dacă elementele unei secvențe care tinde spre infinit, pornind de la un anumit număr, au semn negativ, atunci se spune că limita unei astfel de secvențe este egală cu minus infinitul .

\lim_{n \to \infty} x_n = -\infty ~ \Leftrightarrow ~ \forall E > 0 ~ \exists N (E) \in \N \colon ~ \forall n \geqslant N \Rightarrow x_n < -E

Orice succesiune care tinde spre infinit este nemărginită . Cu toate acestea, inversul nu este adevărat.

Limita parțială a unei secvențe este limita uneia dintresubsecvențele.

Limita superioară a unei secvențe este cea mai mare dintre punctele sale limită (care este echivalentă cu cea mai mare limită parțială).

Limita inferioară a unei secvențe este cea mai mică dintre punctele sale limită.

Notație

Faptul că o secvență converge către un număr este indicat în unul dintre următoarele moduri: $\{x_n\}$ $A$

$\lim_{n \to \infty} x_n = a$

$x_n ~ \xrightarrow[n \to \infty]{} ~ a$

Proprietăți

Există anumite caracteristici pentru limita de secvențe de numere reale . [2]

Pot fi date definiții alternative ale limitei unei secvențe. De exemplu, pentru a numi o limită un număr în orice vecinătate din care există infinit de elemente ale secvenței, în timp ce în afara acestor vecinătăți există doar un număr finit de elemente. Astfel, limita unei secvențe nu poate fi decât punctul limită al mulțimii elementelor sale. Această definiție este de acord cu definiția generală a unei limite pentru spațiile topologice.

Această definiție are un neajuns inevitabil: explică ce este o limită, dar nu oferă o modalitate de a o calcula, nici informații despre existența ei. Toate acestea se deduc din următoarele proprietăți (demonstrabile prin definiție) ale limitei.

Proprietăți

Unicitatea limitei.

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a,\;\lim _{n\to \infty }x_{n}=b\;\Rightarrow \;a=b$

Proprietăți aritmetice

luarea limitei unei secvențe numerice este liniară , adică prezintă două proprietăți ale mapărilor liniare.
- Aditivitate . Limita sumei secvențelor numerice este suma limitelor acestora, dacă fiecare dintre ele există. $\lim_{n \to \infty} (x_n + y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n + \lim_{n \to \infty} y_n$
- Uniformitate . Constanta poate fi scoasă de sub semnul limită. $\forall k \in \R \colon \lim_{n \to \infty} k x_n = k \lim_{n \to \infty} x_n$
Limita unui produs de secvențe numerice este factorizată prin produsul limitelor, dacă fiecare dintre ele există. $\lim_{n \to \infty}(x_n \cdot y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n \cdot \lim_{n \to \infty} y_n$
Limita raportului secvențelor numerice este raportul limitelor lor dacă aceste limite există și succesiunea divizorului nu este infinitezimală. $\lim _{{n\to \infty }}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {\lim \limits _{{n\to \infty }}x_{n }}{\lim \limits _{{n\to \infty }}y_{n}}}$

Proprietăți de conservare a comenzii

Dacă toate elementele unei secvențe convergente, pornind de la un anumit număr, nu depășesc un anumit număr, atunci și limita acestei secvențe nu depășește acest număr. $\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \leqslant a ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \leqslant a$
Dacă un număr nu depășește toate elementele unei secvențe convergente, pornind de la un număr, atunci nu depășește nici limita acestei secvențe. $\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \geqslant a ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \geqslant a$
Dacă un număr depășește cu strictețe toate elementele unei secvențe convergente, pornind de la un număr, atunci limita acestei secvențe nu depășește acest număr. $\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n < a ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \leqslant a$
Dacă toate elementele unei secvențe convergente, pornind de la un anumit număr, depășesc cu strictețe un anumit număr, atunci acest număr nu depășește limita acestei secvențe. $\există N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n > a ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \geqslant a$
Dacă, pornind de la un număr, toate elementele unei secvențe convergente nu depășesc elementele corespunzătoare ale altei secvențe convergente, atunci limita primei secvențe nu depășește limita celei de-a doua. $\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \leqslant y_n ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \leqslant \lim_{n \to \infty} y_n$
Pentru secvențele numerice este valabilă teorema celor doi polițiști (principiul restricției cu două fețe). $\există N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \leqslant z_n \leqslant y_n ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \leqslant \lim_{n \to \infty} z_n \ leqslant \lim_{n \to \infty} y_n$

Alte proprietăți

O secvență de numere convergentă are o singură limită. $\lim_{n \to \infty} x_n = a ~ \land ~ \lim_{n \to \infty} x_n = b ~ \Rightarrow ~ a = b$

Închidere . Dacă toate elementele unei secvențe numerice convergente se află pe un anumit segment , atunci limita sa se află și pe același segment. $\forall n \in \N \colon x_n \in [a,~b] ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \in [a,~b]$

Limita unei secvențe de același număr este egală cu acest număr. $\lim_{n \to \infty} x = x$

Înlocuirea sau ștergerea unui număr finit de elemente într-o secvență numerică convergentă nu afectează limita acestuia.

O secvență crescătoare mărginită de sus are o limită. Același lucru este valabil și pentru o secvență descrescătoare mărginită mai jos.
Produsul unei secvențe infinit de mare mărginită mai jos este o secvență infinit de mare.

Teorema lui Stolz este valabilă .

Dacă o secvență are o limită, atunci șirul de medii aritmetice are aceeași limită (corolar din teorema lui Stolz). $x_n$ $\frac{x_1 + \dots + x_n}{n}$

Dacă o secvență de numere are o limită și dacă este dată o funcție , definită pentru fiecare și continuă în punct , atunci $\{x_n\}$ $X$ $f(x)$ $x_{n}$ $X$ $\lim_{n\to\infty}{f(x_{n})}=f(x)$

Exemple

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0$

$\forall q \in \R \colon \lim_{n \to \infty} \frac{q^n}{n!} = 0$

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$

$\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e$

$\forall a \in \R\setminus\{0\} \colon \lim_{n \to \infty} \underbrace{\sqrt{a + \sqrt{a + \cdots + \sqrt{a))))_ {n} = \frac{1 + \sqrt{1 + 4 a}}{2}$

$\lim_{n \to \infty} x_n = x ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\prod_{k = 1}^{n} x_k} = x$

$\forall n \in \N \colon x_n > 0 ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt [n]{x_n}$

$\lim_{n \to \infty} n = +\infty$

$\nexistă \lim_{n \to \infty} (-1)^n$

Cazul numerelor complexe

Un număr complex se numește limita unei șir dacă, pentru orice număr pozitiv, este posibil să se precizeze un astfel de număr , pornind de la care toate elementele acestei secvențe satisfac inegalitatea pt . $A$ $\{z_n\}$ $\varepsilon$ $N=N(\varepsilon)$ $z_n$
$|z_n - a|< \varepsilon$ $n\geqslant N(\varepsilon )$

Se spune că o secvență care are o limită converge către un număr , care este scris ca . $\{z_n\}$ $A$ $A$ $\lim \limits _{{n\to \infty }}z_{n}=a$

Exemple

Nu orice succesiune mărginită are o limită. De exemplu, dacă luăm ca spațiu mulțimea numerelor reale cu topologie standard și ca șir , atunci nu va avea o limită (cu toate acestea, poate găsi limite superioare și inferioare , , adică limitele subsecvențelor sale - limite parțiale ). $x_n$ $x_n = (-1)^n$ $unsprezece$

Vezi și

Note

↑ Aceasta implică repetarea numerelor în notația unui număr într-un sistem de numere fix.
↑ V. A. Ilyin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sennov . Capitolul 3. Teoria limitelor // Analiza matematică / Ed. A. N. Tihonova . - Ed. a 3-a. , revizuit si suplimentare - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 68-105. — 672 p. — ISBN 5-482-00445-7 .