Plan proiectiv

Planul proiectiv este un spațiu proiectiv bidimensional . Un caz special important este planul proiectiv real .

Planul proiectiv se distinge prin rolul important jucat de așa-numita axiomă Desargues , care este o teoremă în spațiile proiective de dimensiuni mai mari.

Definiții

Plan proiectiv peste un corp

Planul proiectiv deasupra corpului este mulțimea subspațiilor unidimensionale (linii care trec prin zero) ale spațiului liniar tridimensional . Aceste drepte se numesc puncte ale planului proiectiv. Planul proiectiv deasupra corpului este de obicei notat , de exemplu , , și așa mai departe. $K$ $K^{3}$ $K$ $K{\mathrm {P}}^{2}$ $\mathbb{R} {\mathrm {P}}^{2}$ ${\mathbb {C}}{\mathrm {P}}^{2}$ ${\mathbb {H}}{\mathrm {P}}^{2}$

Definiție axiomatică

Planul proiectiv clasic П este definit de următoarele axiome. Primele patru dintre ele sunt obligatorii.

P1. Prin două puncte diferite P și Q ale planului P există o dreaptă și numai una.
P2. Orice două linii au un punct comun.
P3. Există trei puncte care nu se află pe aceeași linie.
P4. Fiecare linie conține cel puțin trei puncte.

Axiomele suplimentare sunt următoarele:

P5. Axioma lui Desargues. Dacă triunghiurile ABC și A'B'C' sunt astfel încât liniile AA' , BB' și CC' se intersectează în punctul O , atunci punctele de intersecție ale perechilor de laturi corespunzătoare AB și A'B' (P) , BC și B'C' (R) , AC și A'C'(Q) se află pe aceeași linie dreaptă.
P6. Axioma Pappus. Dacă l și l' sunt două drepte diferite, A,B,C sunt trei puncte diferite pe dreapta l , iar A',B',C' sunt trei puncte diferite ale lui l' și toate aceste puncte sunt diferite de O - punctele de intersecție ale dreptelor l și l' , apoi punctele de intersecție ale perechilor de laturi corespunzătoare AB' și A'B (P) , BC' și B'C (R) , AC' și A'C (Q ). ) se află pe aceeași linie dreaptă.
P7. Axioma lui Fano. Fie A, B, C, D puncte, dintre care trei nu se află pe aceeași dreaptă. Să desenăm toate cele șase linii care leagă aceste puncte (AB, AC, AD, BC, BD, CD) . Să notăm punctul de intersecție al lui AB și CD cu P, AC și BD cu Q și AD și BC cu R (puncte diagonale). Aceste puncte diagonale nu se află pe o linie dreaptă.

Exemple

Plan proiectiv real .
avion Fano
Planul Molton este un exemplu de plan proiectiv non-Desarguesian.

Proprietăți

Pentru orice plan proiectiv peste un corp , axiomele P1-P4 și axioma lui Desargues P5 sunt valabile. Dimpotrivă, dacă axioma lui Desargues P5 se menține în planul П , atunci este un plan proiectiv peste un corp . $K$

Dacă axioma P6 a lui Pappus și axiomele P1-P4 sunt valabile, atunci este valabilă și axioma P5 a lui Desargues. În acest caz, P este un plan proiectiv peste câmp (adică corpul K este comutativ). În schimb, axioma lui Pappus este valabilă în orice plan proiectiv deasupra unui câmp.

Dacă axiomele P1–P4 și axioma lui Desargues P5 sunt valabile, atunci axioma lui Fano P7 este valabilă dacă și numai dacă P este un plan proiectiv peste un inel de diviziune cu caracteristica ≠2. $K$

Topologia planului proiectiv real

Să reprezentăm planul proiectiv real P²( R ) ca o mulțime de drepte în R³ . Punctele sale formează un mănunchi de toate liniile care trec prin origine. Să construim o singură sferă. Apoi fiecare dintre liniile noastre (punctul P²( R )) intersectează sfera în două puncte opuse: x și -x . Din aceasta, se obține ușor un alt model. Aruncăm emisfera superioară z > 0 . Fiecare punct din emisfera aruncată corespunde unui punct din emisfera inferioară și sunt identificate puncte diametral opuse de pe cercul ecuatorial al emisferei inferioare. Prin „îndreptarea” emisferei se obține un cerc, în care se identifică punctele diametral opuse ale cercului limită. Un cerc este homeomorf unui pătrat ale cărui laturi opuse sunt identificate (în direcția săgeților). După cum se arată în figura următoare, acest pătrat este homeomorf cu cercul D² cu banda Möbius μ atașată. Prin urmare, planul proiectiv este neorientabil .

Ciclul (semicercul) de la până (să-l notăm ca ) nu este o limită, totuși, cercul complet de la până și de la până (să-l notăm ca ) limitează deja întreaga parte „interioară” a planului proiectiv, prin urmare 2 ≈ 0 și ≠0 (semnul egal înseamnă, dacă ciclul este sau nu omolog cu zero), adică orice ciclu neomolog cu zero este omolog cu ciclul . Prin urmare, grupul de omologie unidimensional constă din două elemente H 1 (P²)={0,1} , unde elementul zero al grupului corespunde ciclurilor unidimensionale omoloage cu zero, iar unității toate ciclurile sunt omoloage . $-X$ $X$ $A$ $-X$ $X$ $X$ $-X$ $2a$ $A$ $A$ $A$ $A$

Grupele de omologie ale planului proiectiv sunt ușor de calculat: H 0 (P²) = Z , H 1 (P²)={0,1} și H 2 (P²)= 0 , numerele Betti (rangurile grupurilor de omologie) sunt respectiv b 0 =1, b 1 =1, b 2 =0 iar caracteristica Euler este egală cu suma alternativă χ(P²)=b 0 -b 1 +b 2 =1 . De asemenea, puteți calcula caracteristica lui Euler direct din triangulația χ(P²) (vezi figura de jos) - numărul de vârfuri este 6, muchiile 15 și fețele 10, ceea ce înseamnă χ(P²)=6-15+10=1 .

Conform binecunoscutei teoreme privind clasificarea suprafețelor între toate varietățile compacte , conectate , netede închise , planul proiectiv este determinat în mod unic de faptul că este neorientabil și caracteristica lui Euler este egală cu 1 .

Grupa fundamentală π 1 (P²)= Z 2 , grupele de homotopie superioare corespund celor pentru sfera π n (P²)=π n (S²) pentru n≥2 .

Vezi și

Fâșia Mobius
Sticla Klein
Suprafața Boi este un exemplu de imersiune a unui plan proiectiv real în spațiul euclidian tridimensional.

Literatură

Artin E. Algebră geometrică. — M.: Nauka, 1969
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Geometrie modernă: Metode și aplicații. — M.: Nauka, 1979
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Modern geometry: Methods of homology theory. — M.: Nauka, 1984
Kokster G. S. M. Planul proiectiv real. -M: Fizmatgiz, 1959
Kokster G. S. M. Introducere în geometrie. — M.: Nauka, 1966
Fomenko A. T. Geometrie vizuală și topologie. - M.: MGU, 1998
Hartshorne R. Fundamentele geometriei proiective. — M.: Mir, 1970