Diagrama spațio-temporală

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 23 octombrie 2021; verificările necesită 12 modificări .

Diagrama spațiu-timp , cunoscută și sub numele de diagrama Minkowski , a fost dezvoltată în 1908 de Hermann Minkowski și oferă o ilustrare a proprietăților spațiului și timpului în relativitatea specială . Permite, fără ecuații matematice, înțelegerea calitativă a unor fenomene precum dilatarea timpului și contracția Lorentz .

Diagramele Minkowski sunt un grafic bidimensional care prezintă evenimente care au loc în univers , care constă dintr-o dimensiune spațială și o dimensiune temporală. Spre deosebire de graficele convenționale timp-distanță, distanța este afișată pe axa orizontală și timpul pe axa verticală. În plus, unitățile de măsură ale axelor sunt alese astfel încât un obiect care se mișcă cu viteza luminii să fie reprezentat la un unghi de 45° față de axele diagramei.

Astfel, fiecare obiect, cum ar fi un observator sau un vehicul, este prezentat printr-o linie specifică pe diagramă, care se numește linia sa lumii . În plus, fiecare punct din diagramă reprezintă o anumită poziție în spațiu și timp și se numește eveniment , indiferent de ce se întâmplă acolo.

Bazele

Termenul „diagrama Minkowski” este folosit atât într-un sens general, cât și într-un sens particular. În general, o diagramă Minkowski este o reprezentare grafică bidimensională a unei porțiuni din spațiul Minkowski , de obicei limitată la o dimensiune spațială. Unitățile de măsură din aceste diagrame sunt luate astfel încât conul de lumină al evenimentului să fie format din linii cu panta plus sau minus unu [1] . Liniile orizontale corespund noțiunii obișnuite de evenimente simultane pentru un observator staționar la origine.

O diagramă Minkowski separată ilustrează rezultatul transformărilor Lorentz . Transformările Lorentz leagă două cadre de referință inerțiale , unde observatorul staționarrepaus la (0, 0) schimbă viteza de-a lungul axei x . Noua axă a timpului a observatorului formează un unghi α cu axa anterioară a timpului cu α < . În noul cadru de referință, evenimentele simultane sunt paralele cu o dreaptă înclinată cu α față de linia anterioară de simultaneitate. Aceasta este noua axă x . Atât setul original de axe, cât și noul set de axe au proprietatea că sunt ortogonale în raport cu produsul interior (scalar) din spațiul Minkowski sau produsul relativist într-un punct .

Oricare ar fi valoarea lui α , linia t = x formează o bisectie universală [2]. .

Unitățile axei spațiale și temporale pot fi alese, de exemplu, după cum urmează:

Astfel, traseele luminii sunt reprezentate prin linii paralele cu bisectoarea unghiului dintre axe.

Diagrame spațiu-timp în fizica newtoniană

Axele negre, etichetate x și ct în diagrama însoțitoare, reprezintă sistemul de coordonate al observatorului în repaus, care se află la x = 0 . Linia lumii a observatorului coincide cu axa timpului ct . Fiecare linie paralelă cu această axă va corespunde unui obiect staționar, dar într-o poziție diferită. Linia albastră descrie un obiect care se mișcă cu o viteză constantă v spre dreapta, cum ar fi un observator în mișcare.

Linia albastră etichetată ct' poate fi interpretată ca axa timpului pentru al doilea observator. Împreună cu axa traseului (notat x și identic pentru ambii observatori) reprezintă sistemul lor de coordonate. Ambii observatori sunt de acord cu privire la locația originilor sistemelor lor de coordonate. Axele unui observator în mișcare nu sunt perpendiculare între ele, iar scara de pe axa sa temporală este întinsă. Pentru a determina coordonatele unui anumit eveniment, trebuie trasate două linii, fiecare dintre ele paralelă cu una dintre cele două axe care trec prin eveniment. Intersecțiile lor cu axele dau coordonatele evenimentului.

Determinarea poziției și timpului evenimentului A pe diagramă, așa cum era de așteptat, rezultă în același timp pentru ambii observatori. Se obțin valori diferite pentru poziție deoarece observatorul în mișcare s-a apropiat de poziția evenimentului A, deoarece t = 0 . De regulă, toate evenimentele de pe o linie paralelă cu axa căii (axa x ) au loc simultan pentru ambii observatori. Există un singur timp global t = t ′ , modelând existența unei axe de poziție comună. Pe de altă parte, datorită celor două axe de timp diferite, observatorii măsoară de obicei coordonate diferite ale drumului pentru același eveniment. Această transformare grafică de la x și t la x' și t' și invers, este descrisă matematic de așa-numitele transformări galileene .

Diagrame spațiu-timp în relativitatea specială

Albert Einstein (1905) a constatat că descrierea newtoniană este greșită [3] . Hermann Minkowski a oferit interpretarea sa grafică în 1908 [4] . Spațiul și timpul au proprietăți care duc la reguli diferite de transformare a coordonatelor în cazul observatorilor în mișcare. În special, evenimentele care au loc simultan din punctul de vedere al unui observator au loc în momente diferite pentru altul.

Pe diagrama Minkowski, această relativitate a simultaneității corespunde introducerii unei axe de traseu separate pentru observatorul în mișcare. Urmând regula descrisă mai sus, fiecare observator interpretează toate evenimentele pe o linie paralelă cu axa drumului său în același timp. Secvența evenimentelor din punctul de vedere al observatorului poate fi ilustrată grafic prin deplasarea acestei linii în diagramă de jos în sus.

Dacă axele de timp sunt alocate ct în loc de t , atunci unghiul α dintre ambele axe de traseu x și x' va fi identic cu unghiul dintre axele de timp ct și ct' . Aceasta rezultă din al doilea postulat al relativității speciale, care afirmă că viteza luminii este aceeași pentru toți observatorii, indiferent de mișcarea lor relativă (vezi mai jos). Unghiul α este dat de formula [5]

.

Transformarea corespunzătoare de la x și t la x' și t' și invers, este descrisă matematic de transformările Lorentz . Indiferent de ce axe spațiale și temporale decurg dintr-o astfel de transformare, pe diagrama Minkowski ele corespund diametrelor conjugateperechi de hiperbole . Scalele de-a lungul axelor sunt date după cum urmează: dacă U  este lungimea unitară de-a lungul axelor ct , respectiv x , atunci lungimea unității de-a lungul axelor ct' și x' este: [6]

Axa ct  este linia mondială a ceasului care se odihnește în S , U reprezintă durata dintre două evenimente care au loc pe această linie mondială, numită și timpul propriu între aceste evenimente. Lungimea U pe axa x reprezintă lungimea proprie a barei care se sprijină în S . Aceeași interpretare poate fi aplicată și distanței U' pe axele ct' și x' pentru ceasuri și bare care se odihnesc în S' .

Diagrame Loedel

În timp ce axele de spațiu și timp ale unui cadru de referință în repaus sunt în unghi drept, într-un cadru de referință în mișcare axele formează un unghi ascuțit. Deoarece cadrele de referință trebuie să fie echivalente, se are impresia că o astfel de asimetrie încalcă echivalența. Cu toate acestea, s-a demonstrat că există un cadru intermediar de referință „între” cel în repaus și cel în mișcare, în care se vede această simetrie („cadru intermediar de referință”) [7] . În acest cadru de referință, cele două cadre de referință originale se mișcă în direcții opuse cu aceeași viteză. Utilizarea unor astfel de coordonate face ca unitățile de lungime și de timp pentru ambele axe să fie aceleași. Dacă β =vcși γ =unu√ 1 − β 2sunt date între S și S', atunci aceste expresii sunt legate de valorile din sistemul intermediar S 0 după cum urmează: [7] [8]

De exemplu, dacă β = 0,5 între S și S' , atunci în virtutea (2) se mișcă în sistemul intermediar S 0 aproximativ de la ±0,268 s în direcții diferite. Pe de altă parte, dacă β 0 = 0,5 în S 0 , atunci în virtutea (1) viteza relativă dintre S și S' în propriile cadre de referință este 0,8 c . Construcția axelor S și S' se realizează în conformitate cu metoda obișnuită folosind tan α = β 0 în raport cu axele ortogonale ale cadrului de referință intermediar (Fig. 1).

Cu toate acestea, se dovedește că atunci când se construiește o astfel de diagramă simetrică, este posibil să se obțină relații între diagrame, chiar și fără a utiliza un cadru de referință intermediar și β 0 deloc . În schimb, între S și S', viteza relativă β =vcîn următoarea expresie care oferă același rezultat: [9] Dacă φ este unghiul dintre axele ct ′ și ct (sau între x și x ′ ), și θ dintre axele x ′ și ct ′ , atunci: [9] [ 10] [ 11] [12]

Din Fig. 2, două metode de construcție sunt evidente: (a) axa x este direcționată perpendicular pe axa ct' , axele x' și ct sunt adăugate la un unghi φ ; (b) axa x’ este desenată la un unghi θ față de axa ct’ , axa x se adaugă perpendicular pe axa ct’ , axa ct este perpendiculară pe axa x’.

Componentele vectorului pot fi demonstrate clar prin următoarele diagrame (Fig. 3): proiecțiile paralele ( x , t ; x ′ , t ′) ale vectorului R sunt componentele sale contravariante , ( ξ , τ ; ξ ′, τ ). ′) sunt componentele sale covariante [ 10] [11] .

Încetinirea timpului

Dilatarea relativistă a timpului înseamnă că ceasurile (care arată timpul potrivit ) care se mișcă în raport cu observatorul încetinesc. De fapt, se observă că timpul însuși în cadrul de referință al unui ceas în mișcare este lent. Acest lucru poate fi văzut imediat din diagrama Loedel adiacentă deoarece unitățile de lungime din cele două sisteme de axe sunt identice. Astfel, pentru a compara citirile între două sisteme, putem compara pur și simplu lungimile așa cum se vede pe pagină: nu trebuie să luăm în considerare faptul că unitățile de lungime de pe fiecare axă sunt distorsionate de un factor

de care ar trebui să luăm în considerare în diagrama Minkowski corespunzătoare.

Se presupune că observatorul, al cărui cadru de referință este dat de axele negre, se deplasează de la originea O la A. Un ceas în mișcare are un cadru de referință dat de axele albastre și se deplasează de la O la B. Pentru un observator negru, toate evenimentele care au loc simultan cu evenimentul în punctul A, situat pe o linie paralelă cu axa sa spațială. Această linie trece prin A și B, deci A și B sunt simultane pentru cadrul de referință al observatorului cu axe negre. Cu toate acestea, un ceas care se mișcă în raport cu un observator negru marchează ora pe axa albastră a timpului. Aceasta este reprezentată de o distanță de la O la B. Prin urmare, un observator în punctul A cu axe negre consideră că ceasul său corespunde unei distanțe de la O la A, în timp ce pentru un ceas care se mișcă față de el însuși, la o distanță de la O la B Datorită faptului că distanța de la O la B este mai mică decât distanța de la O la A, el ajunge la concluzia că timpul scurs pe ceasul care se mișcă în raport cu el este mai mic decât timpul scurs pe propriul ceas.

Al doilea observator, deplasându-se împreună cu ceasul de la O la B, va argumenta că ceasul primului a ajuns doar la ora C și, prin urmare, ceasul primului merge mai încet. Motivul acestor afirmații aparent paradoxale este definiția diferită a simultaneității evenimentelor care au loc în locuri diferite. Din cauza principiului relativității, întrebarea cine are dreptate este fără răspuns și nu are sens.

Contracție Lorentz

Contracția relativistică a lungimii înseamnă că lungimea unui obiect care se mișcă în raport cu observatorul scade și chiar și spațiul însuși se micșorează. Se presupune că observatorul se mișcă și de-a lungul axei ct și că liniile universale ale punctelor extreme ale obiectului care se mișcă în raport cu el se mișcă de-a lungul axei ct' și paralele cu dreapta care trece prin punctele A și B. Pentru acest observator, punctele extreme ale obiectului la t = 0 sunt O și A. Pentru un al doilea observator care se deplasează cu obiectul, astfel încât pentru el obiectul să fie în repaus, are propria lungime OB la t' =0 . Deoarece obiectul OA<OB este redus pentru primul observator.

Al doilea observator va pretinde că primul observator a luat punctele finale ale obiectului la O și A în momente diferite, rezultând un rezultat incorect. Dacă un al doilea observator găsește lungimea altui obiect cu punctele finale care se deplasează de-a lungul axei ct și o linie paralelă prin C și D, va ajunge la aceeași concluzie că obiectul este comprimat de la OD la OC. Fiecare observator evaluează obiectele care se mișcă cu celălalt observator redus. Această situație aparent paradoxală este o consecință a relativității simultaneității, evidențiată de analiza folosind diagrama Minkowski.

Cu toate aceste considerații, s-a presupus că ambii observatori iau în considerare viteza luminii și distanțele până la toate evenimentele pe care le văd pentru a determina momentele efective în care apar evenimentele din punctul lor de vedere.

Constanța vitezei luminii

Un alt postulat al teoriei relativității speciale este constanța vitezei luminii. Afirmă că orice observator într-un cadru de referință inerțial care măsoară viteza luminii în raport cu el însuși în vid primește aceeași valoare, indiferent de mișcarea proprie și de mișcarea sursei de lumină. Această afirmație pare paradoxală, dar rezultă direct din ecuația diferențială obținută pentru ea și este în concordanță cu diagrama Minkowski. Acest lucru explică, de asemenea, rezultatul experimentului Michelson-Morley , care a fost considerat un mister înainte de a fi descoperită teoria relativității, când fotonii erau considerați unde într-un mediu nedetectabil.

Pentru liniile lumii de fotoni care trec prin origine în direcții diferite, condițiile x = ct și x = − ct sunt îndeplinite . Aceasta înseamnă că orice poziție pe o astfel de linie mondială corespunde acelorași valori ale coordonatelor x și ct . Din regula pentru obținerea coordonatelor într-un sistem de coordonate oblice rezultă că aceste două drepte de lume sunt bisectoarele unghiurilor formate de axele x și ct . Diagrama Minkowski arată că acestea sunt și bisectoare ale axelor x’ și ct’ . Aceasta înseamnă că ambii observatori măsoară aceeași viteză c pentru ambii fotoni.

La această diagramă Minkowski pot fi adăugate și alte sisteme de coordonate corespunzătoare observatorilor cu viteze arbitrare. Pentru toate aceste sisteme, liniile mondiale de fotoni sunt bisectoare ale unghiurilor formate de axele de coordonate. Cu cât viteza observatorului este mai aproape de viteza luminii, cu atât axele se apropie mai mult de bisectoarele unghiulare corespunzătoare. Axa traseului este întotdeauna mai plată, iar axa timpului este mai abruptă decât liniile mondiale de fotoni. Scalele de pe ambele axe sunt întotdeauna aceleași, dar de obicei diferă de alte sisteme de coordonate.

Viteza luminii și principiul cauzalității

Liniile drepte care trec prin origine și mai abrupte decât liniile mondiale de fotoni corespund unor corpuri care se mișcă mai încet decât viteza luminii. Acest lucru este adevărat din punctul de vedere al oricărui observator, deoarece liniile mondiale de fotoni sunt bisectoare unghiulare în orice cadru de referință inerțial. Prin urmare, orice punct deasupra originii și între liniile lumii ale ambilor fotoni poate fi atins cu o viteză mai mică decât viteza luminii și poate avea o relație cauzală cu originea. Această zonă este viitorul absolut, deoarece orice eveniment din această zonă are loc mai târziu decât evenimentul de la origine, indiferent de observator, ceea ce se vede clar în diagrama Minkowski.

În mod similar, zona de sub origine și dintre liniile lumii fotonice este trecutul absolut relativ la origine. Orice eveniment din această zonă poate fi cauza unui eveniment la origine.

Legătura dintre orice astfel de perechi de evenimente se numește timelike , deoarece pentru toți observatorii există un interval de timp pozitiv diferit de zero între ei. O linie dreaptă care leagă două astfel de evenimente poate fi întotdeauna axa temporală a unui observator pentru care aceste evenimente au loc în același loc în spațiu. Două evenimente care pot fi conectate doar printr-o linie corespunzătoare vitezei luminii sunt numite asemănătoare luminii .

Încă o dimensiune a spațiului poate fi adăugată diagramei Minkowski, rezultând o reprezentare tridimensională. În acest caz, regiunile viitorului și trecutului devin conuri cu vârfuri care se ating între ele la origine. Se numesc conuri de lumină .

Viteza luminii ca limită

În mod similar cu exemplul de mai sus, toate liniile care trec prin origine și mai orizontale decât liniile lumii fotonice vor corespunde obiectelor sau semnalelor care se mișcă mai repede decât viteza luminii , indiferent de viteza observatorului. Prin urmare, niciun eveniment din afara conurilor de lumină nu poate fi atins de la origine fie printr-un semnal luminos, fie prin orice obiect sau semnal care se mișcă cu o viteză mai mică decât viteza luminii. Astfel de perechi de evenimente sunt numite asemănătoare spațiului , deoarece au o distanță spațială finită diferită de zero pentru toți observatorii. Linia dreaptă care leagă astfel de evenimente este întotdeauna axa de coordonate spațiale a unui posibil observator pentru care aceste evenimente au loc simultan. Printr-o modificare ușoară a vitezei acestui sistem de coordonate în ambele direcții, se pot găsi întotdeauna două cadre de referință inerțiale, ai căror observatori consideră ordinea cronologică a acestor evenimente ca fiind diferită.

Astfel, dacă un obiect se mișcă mai repede decât lumina, de exemplu, de la O la A așa cum se arată în diagrama alăturată, atunci aceasta ar însemna că pentru orice observator care observă mișcarea unui obiect de la O la A, mai poate fi găsit un observator. (se mișcă cu o viteză mai mică decât viteza luminii c față de prima) pentru care obiectul se deplasează de la A la O. Întrebarea despre care observator are dreptate nu are un răspuns clar și, prin urmare, nu are sens fizic. Orice obiect sau semnal care se mișcă în acest mod ar încălca principiul cauzalității.

În plus, capacitatea de a trimite semnale mai repede decât viteza luminii va permite transmiterea informațiilor în propriul trecut al sursei. În diagramă, un observator de la O ​​în cadrul x - ct trimite un mesaj mai rapid decât lumina către A. În punctul A, acesta este primit de un alt observator în cadrul x' - ct' (adică cu o viteză diferită), care o trimite înapoi, tot mai rapid decât viteza luminii, în B. Dar B este în trecut în raport cu O. Absurditatea situației constă în faptul că ambii observatori confirmă ulterior că nu au primesc deloc mesaje, iar toate mesajele nu au fost primite, ci au fost trimise de la unul către celălalt observator, așa cum se vede în diagrama Minkowski. În plus, dacă ar fi posibil să accelereze observatorul la viteza luminii, atunci axele lor spațiale și temporale ar coincide cu bisectoarea unghiului lor. Sistemul de coordonate s-ar prăbuși din cauza faptului că dilatarea timpului atinge o asemenea valoare încât trecerea timpului pur și simplu se oprește.

Aceste considerații arată că limita vitezei luminii este o consecință a proprietăților spațiului-timp și nu a proprietăților obiectelor, cum ar fi, de exemplu, tehnologic - imperfecțiunea navelor spațiale. Astfel, interzicerea mișcării mai rapide decât lumina în spațiul Minkowski nu are nimic de-a face cu undele electromagnetice sau cu lumina, ci apare din structura spațiului-timp.

Diagrame spațiu-timp ale unui observator care se accelerează în relativitatea specială

Cadre de referință inerțiale care se deplasează instantaneu de-a lungul liniei mondiale a unui observator (centru) care se accelerează rapid. Direcția verticală indică timpul, direcția orizontală indică distanța, linia punctată este traiectoria spațiu-timp („linia lumii”) a observatorului. Punctele mici sunt evenimente specifice în spațiu-timp. Dacă vă gândiți la aceste evenimente ca la un fulger de lumină, evenimentele care trec prin cele două linii diagonale din jumătatea inferioară a imaginii (conul de lumină al observatorului trecut la origine) sunt evenimentele vizibile pentru observator. Panta liniei lumii (abaterea de la verticală) dă viteza relativă a observatorului. Observați cum se schimbă cadrul inerțial care se deplasează instantaneu pe măsură ce observatorul accelerează.

Vezi și

Note

  1. ↑ Mermin (1968) Capitolul 17
  2. ↑ Vezi Vladimir Karapetov
  3. ↑ Einstein, Albert. Zur Elektrodynamik bewegter Körper  (neopr.)  // Annalen der Physik . - 1905. - T. 322 , nr 10 . - S. 891-921 . - doi : 10.1002/andp.19053221004 . - Cod biblic . . Vezi și: traducere în engleză Arhivat 25 noiembrie 2005 la Wayback Machine .
  4. ↑ Minkowski, Hermann. Raum und Zeit  (germană)  // Physikalische Zeitschrift  : magazin. - 1909. - Bd. 10 . - S. 75-88 .
    • Diverse traduceri la Wikisource: Space and Time
  5. ↑ Demtröder, Wolfgang. Mecanica si Termodinamica  (neopr.) . — ilustrat. - Springer, 2016. - S. 92-93. - ISBN 978-3-319-27877-3 . Extras din pagina 93 Arhivat 11 august 2020 la Wayback Machine
  6. ↑ Freund, Jurgen. Relativitate specială pentru începători: un manual pentru studenți  (engleză) . - World Scientific , 2008. - P. 49. - ISBN 981277159X .
  7. ↑ 1 2 Mirimanoff, Dmitri. La transformation de Lorentz-Einstein et le temps universel de M. Ed. Guillaume  (fr.)  // Archives des sciences physiques et naturelles (supliment): revistă. - 1921. - Vol. 3 . - P. 46-48 . (Traducere: Transformarea Lorentz-Einstein și timpul universal al Ed. Guillaume )
  8. ↑ Shadowitz, Albert. Câmpul Electromagnetic  (neopr.) . - Reprint of 1975. - Courier Dover Publications , 2012. - P. 460. - ISBN 0486132013 . Consultați [ [1]  în Cărți Google „ Google Books ”, p. 460]
  9. ↑ 1 2 Sartori, Leu. Înțelegerea relativității: O abordare simplificată a teoriilor lui Einstein  . — University of California Press , 1996. — P. 151 și urm. - ISBN 0-520-20029-2 .
  10. ↑ 1 2 Gruner, Paul; Sauter, Joseph. Représentation géométrique élémentaire des formules de la théorie de la relativité  (franceză)  // Archives des sciences physiques et naturelles: magazine. - 1921. - Vol. 3 . - P. 295-296 . (Traducere: Reprezentarea geometrică elementară a formulelor teoriei speciale a relativității )
  11. ↑ 1 2 Gruner, Paul. Eine elementare geometrische Darstellung der Transformationsformeln der speziellen Relativitätstheorie  (germană)  // Physikalische Zeitschrift  : magazin. - 1921. - Bd. 22 . - S. 384-385 . (Traducere: O reprezentare geometrică elementară a formulelor de transformare ale teoriei speciale a relativității )
  12. ↑ Shadowitz, Albert. Relativitatea specială  (neopr.) . - Reprint of 1968. - Courier Dover Publications , 1988. - S. 20-22. - ISBN 0-486-65743-4 .

Surse