Profilul Voigt

Voigt (centrat)
Fiecare carcasă are o lățime completă la jumătate de înălțime aproape de 3,6. Curbele negre și roșii sunt cazurile limită ale profilurilor Gaussian (γ = 0) și, respectiv, Lorentzian (σ = 0).Probabilitate densitate
funcția de distribuție
Opțiuni	$\gamma ,\sigma >0$
Purtător	$x\in (-\infty ,\infty )$
Probabilitate densitate	${\frac {\Re [w(z)]}{\sigma {\sqrt {2\pi ))}),~~~z={\frac {x+i\gamma }{\sigma { \sqrt {2}}}}}$
funcția de distribuție	(complex vezi text)
Valorea estimata	(nedefinit)
Median	$0$
Modă	$0$
Dispersia	(nedefinit)
Coeficientul de kurtoză	(nedefinit)
Funcția generatoare a momentelor	(nedefinit)
functie caracteristica	$e^{-\gamma \|t\|-\sigma ^{2}t^{2}/2)$

Profilul Voigt sau distribuția Voigt (numită după Woldemar Vogt ) este o distribuție de probabilitate obținută prin convoluția distribuției Cauchy-Lorentz și distribuției Gauss . Este adesea folosit în analiza datelor de spectroscopie sau de difracție .

Definiție

Fără pierderea generalității, pot fi luate în considerare numai profilele centrate, al căror vârf este la zero. Apoi se definește profilul Voigt

V(x;\sigma,\gamma)\equiv \int _{-\infty}^{\infty}G(x';\sigma)L(xx';\gamma)\,dx',

unde x este decalajul față de poziția maximului liniei, este distribuția Gaussiană centrată dată de $G(x;\sigma )$

G(x;\sigma)\equiv {\frac {e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2)}}}} {\sigma {\sqrt {2\pi }} } },

și este distribuția Lorentz centrată $L(x;\gamma )$

L(x;\gamma )\equiv {\frac {\gamma }{\pi (x^{2}+\gamma ^{2))))).

Integrala definită poate fi evaluată ca:

V(x;\sigma,\gamma)={\frac {\operatorname {Re} [w(z)]}{\sigma {\sqrt {2\pi )))),

unde Re [ w ( z )] este partea reală a funcției Faddeeva calculată pentru argumentul complex

z={\frac {x+i\gamma }{\sigma {\sqrt {2)})).

În cazurile limită pentru și , se simplifică la și , respectiv. $\sigma=0$ $\gamma =0$ $V(x;\sigma ,\gamma )$ $L(x;\gamma )$ $G(x;\sigma )$

Istoric și aplicații

În spectroscopie, profilul Voigt descrie convoluția a două mecanisme de lărgire, dintre care unul dă o distribuție gaussiană (de obicei ca urmare a lărgirii Doppler ) și celălalt o distribuție lorentziană. Profilele Voigt sunt comune în multe domenii legate de spectroscopie și difracție . Datorită complexității calculării funcției Faddeev, profilul Voigt este uneori aproximat folosind o distribuție pseudo-Voigt.

Caracteristici

Profilul Voigt este normalizat ca toate distribuțiile:

\int _{-\infty }^{\infty }V(x;\sigma,\gamma)\,dx=1,

deoarece este o convoluție de distribuții de probabilitate normalizate. Profilul Lorentz nu are momente (altele decât momente zero), deci funcția generatoare de moment pentru distribuția Cauchy nu este definită. Rezultă că profilul Voigt nu are nicio funcție generatoare de moment, dar funcția caracteristică pentru distribuția Cauchy este bine definită, la fel ca și funcția caracteristică pentru distribuția normală . Atunci funcția caracteristică pentru profilul Voigt (centrat) va fi produsul a două funcții caracteristice:

\varphi _{f}(t;\sigma,\gamma)=E(e^{ixt})=e^{-\sigma ^{2}t^{2}/2-\gamma |t |}.

Deoarece distribuțiile normale și distribuțiile Cauchy sunt distribuții stabile , fiecare dintre ele este închisă sub convoluție (până la redimensionare) și, prin urmare, rezultă că și distribuțiile Voigt sunt închise sub convoluție.

Funcția de distribuție cumulativă

Folosind definiția de mai sus pentru z , funcția de distribuție cumulativă (CDF) poate fi găsită după cum urmează:

F(x_{0};\mu,\sigma)=\int _{-\infty }^{x_{0)}{\frac {\operatorname {Re} (w(z))}{\ sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,dx=\operatorname {Re} \left({\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{z(-\infty )} ^{z(x_{0})}w(z)\,dz\dreapta).

Înlocuirea definiției funcției Faddeev (funcția de eroare complexă scalată ) duce la o integrală nedefinită

{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int w(z)\,dz={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int e^{-z ^{2}}\left[1-\operatorname {erf} (-iz)\right]\,dz,

care pot fi exprimate în termeni de funcţii speciale

{\frac {1}{\sqrt {\pi ))}\int w(z)\,dz={\frac {\operatorname {erf} (z)}{2))+{\frac { iz^{2}}{\pi }}\,_{2}F_{2}\left(1,1;{\frac {3}{2)),2;-z^{2}\right) ,

unde este funcția hipergeometrică . Pentru ca funcția să se apropie de zero pe măsură ce x se apropie de infinitul negativ (cum ar trebui pentru funcția de distribuție cumulativă), trebuie adăugată o constantă de integrare de 1/2. Acest lucru oferă pentru KFR-ul lui Voigt: ${}_{2}F_{2}$

F(x;\mu ,\sigma )=\operatorname {Re} \left[{\frac {1}{2}}+{\frac {\operatorname {erf} (z)}{2}} +{\frac {iz^{2}}{\pi }}\,_{2}F_{2}\left(1,1;{\frac {3}{2}},2;-z^{ 2}\dreapta)\dreapta].

Profilul necentrat al lui Voigt

Dacă profilul Gaussian este centrat în punctul , iar centrul profilului Lorentzian este , atunci punctul central al convoluției este , iar funcția caracteristică este egală cu $\mu _{G}$ $\mu _{L}$ $\mu _{G}+\mu _{L}$

\varphi _{f}(t;\sigma,\gamma,\mu _{\mathrm {G}},\mu _{\mathrm {L}})=e^{i(\mu _{ \mathrm {G} }+\mu _{\mathrm {L} })t-\sigma ^{2}t^{2}/2-\gamma |t|}.

Mediana este, de asemenea, situată la . $\mu _{G}+\mu _{L}$

Profil derivat

Profilurile primei și a doua derivate pot fi exprimate în termenii funcției Faddeeva , după cum urmează

{\frac {\partial }{\partial x}}V(x;\sigma,\gamma)=-{\frac {\operatorname {Re} [z~w(z)]}{\sigma ^ {2}{\sqrt {\pi }}}}=-{\frac {x}{\sigma ^{2}}}{\frac {\operatorname {Re} [w(z)]}{\sigma { \sqrt {2\pi ))))+{\frac {\gamma }{\sigma ^{2))}{\frac {\operatorname {Im} [w(z)]}{\sigma {\sqrt { 2\pi }}}};

{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}V(x;\sigma ,\gamma )={\frac {x^{2}-\gamma ^{2 }-\sigma ^{2}}{\sigma ^{4}}}{\frac {\operatorname {Re} [w(z)]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}-{ \frac {2x\gamma }{\sigma ^{4))}{\frac {\operatorname {Im} [w(z)]}{\sigma {\sqrt {2\pi ))))+{\frac {\gamma }{\sigma ^{4))}{\frac {1}{\pi )),

folosind definiția de mai sus pentru z .

Funcții Voigt

Funcțiile Voigt U , V și H (uneori numite funcția de extindere a liniilor ) sunt definite după cum urmează:

U(x,t)+iV(x,t)={\sqrt {\frac {\pi}}{4t)}}e^{z^{2)}\operatorname {erfc} (z)= {\sqrt {\frac {\pi }{4t))}w(iz),

H(a,u)={\frac {U(u/a,1/4a^{2})}{a{\sqrt {\pi ))))),

Unde

z=(1-ix)/2{\sqrt {t)),

erfc este funcția de eroare , iar w ( z ) este funcția Faddeeva .

Relația cu profilul Voigt

Funcția de extindere a liniilor poate fi legată de profilul Voigt folosind expresia

V(x;\sigma,\gamma)=H(a,u)/({\sqrt {2}}{\sqrt {\pi }}\sigma),

Unde

a=\gamma /({\sqrt {2)}\sigma )

și

u=x/({\sqrt {2}}\sigma).

Aproximații numerice

Funcția Tepper-Garcia

Funcția Tepper-Garcia , numită după astrofizicianul germano-mexican Thor Tepper-Garcia , este o combinație între o funcție exponențială și funcții raționale care aproximează funcția de lărgire a liniei pe o gamă largă de parametrii săi [1] . Este obținut dintr-o extindere în serie de putere trunchiată a funcției exacte de lărgire a liniei. $H(a,u)$

Din punct de vedere computațional, cea mai eficientă formă de scriere a funcției Tepper-Garcia ia forma

T(a,u)=R-\left(a/{\sqrt {\pi }}P\right)~\left[R^{2}~(4P^{2}+7P+4+ Q)-Q-1\dreapta]\,,

unde , , și . $P\equiv u^{2}$ $Q\equiv 3/(2P)$ $R\equiv e^{-P)$

Astfel, funcția de lărgire a liniei poate fi considerată în primul rând ca o funcție gaussiană pură plus un factor de corecție care depinde liniar de proprietățile microscopice ale mediului absorbant (codificat în parametrul ); totuși, ca urmare a trunchierii timpurii a seriei, eroarea unei astfel de aproximări este încă de ordinul lui , adică . Această aproximare are o precizie relativă $A$ $A$ $H(a,u)\aprox T(a,u)+{\mathcal {O))(a)$

\epsilon \equiv {\frac {\vert H(a,u)-T(a,u)\vert }{H(a,u)}}\lesssim 10^{-4}

pe întregul interval de lungimi de undă , cu condiţia ca . Pe lângă precizia ridicată, funcția este ușor de scris și rapid de calculat. Este utilizat pe scară largă în domeniul analizei liniilor de absorbție ale quasarelor [2] . $H(a,u)$ $a\lesssim 10^{-4)$ $T(a,u)$

Aproximație pentru pseudo-distribuția Voigt

Aproximația pentru pseudodistribuția Voigt este o aproximare a profilului Voigt V ( x ) folosind o combinație liniară a curbei gaussiene G ( x ) și curba lorentziană L ( x ) în loc de convoluția lor .

Funcția de pseudo-distribuție Voigt este adesea folosită pentru a calcula profilul experimental al liniilor spectrale .

Definiția matematică a pseudo-distribuției Voigt normalizate este dată de formula

V_{p}(x,f)=\eta \cdot L(x,f)+(1-\eta )\cdot G(x,f)

cu .

0<\eta <1

unde este o funcție a parametrului lățimii complete la jumătate de înălțime (FWHM). $\eta$

Există mai multe opțiuni pentru selectarea parametrului [3] [4] [5] [6] . O formulă simplă cu precizie de 1% [7] [8] este dată de $\eta$

\eta =1,36603(f_{L}/f)-0,47719(f_{L}/f)^{2}+0,11116(f_{L}/f)^{3},

unde este o funcție a lui Lorentz ( ), Gaussian ( ) și lățimea completă ( ) la jumătate de maxim (FWHM). Lățimea completă ( ) este descrisă de formulă $\eta$ $f_{L}$ $f_{G}$ $f$ $f$

f=[f_{G}^{5}+2,69269f_{G}^{4}f_{L}+2,42843f_{G}^{3}f_{L}^{2}+4,47163f_{ G}^{2}f_{L}^{3}+0,07842f_{G}f_{L}^{4}+f_{L}^{5}]^{1/5}.

Lățimea profilului Voigt

Lățimea completă la jumătatea maximă (FWHM) a profilului Voigt poate fi determinată din lățimile lățimilor corespunzătoare ale distribuțiilor Gaussian și Lorentzian. Lățimea profilului gaussian este

f_{\mathrm {G} }=2\sigma {\sqrt {2\ln(2))).

Lățimea profilului lorentzian este egală cu

f_{\mathrm {L} }=2\gamma .

O aproximare aproximativă a raportului dintre lățimile profilurilor Voigt, Gauss și Lorentz este scrisă ca

f_{\mathrm {V} }\aprox f_{\mathrm {L} }/2+{\sqrt {f_{\mathrm {L} }^{2}/4+f_{\mathrm {G} }^{2}}}.

Această aproximare este exact adevărată pentru o distribuție pur Gaussiană.

Cea mai bună aproximare cu o precizie de 0,02% dă ecuația [9]

f_{\mathrm {V} }\aproximativ 0,5346f_{\mathrm {L} }+{\sqrt {0,2166f_{\mathrm {L} }^{2}+f_{\mathrm {G} }^ {2}}}.

Această aproximare este exact corectă pentru un profil Gaussian pur, dar are o eroare de aproximativ 0,000305% pentru un profil Lorentzian pur.

Note

↑ Tepper-García, Thorsten (2006). „Potrivirea profilului Voigt la liniile de absorbție quasar: o aproximare analitică a funcției Voigt-Hjerting”. Anunțuri lunare ale Societății Regale de Astronomie . 369 (4): 2025-2035. DOI : 10.1111/j.1365-2966.2006.10450.x .
↑ Lista de citări găsite în Sistemul de date pentru astrofizică SAO/NASA (ADS): https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/2006MNRAS.369.2025T/citations Arhivat 13 decembrie 2020 la Wayback Machine
↑ „Determinarea conținutului gaussian și lorentzian al formelor de linii experimentale”. Revizuirea instrumentelor științifice . 45 (11): 1369-1371. 1974. Bibcode : 1974RScI...45.1369W . DOI : 10.1063/1.1686503 .
↑ Sánchez-Bajo, F. (august 1997). „Utilizarea funcției Pseudo-Voigt în metoda variației de analiză a lărgirii liniilor cu raze X”. Jurnalul de cristalografie aplicată . 30 (4): 427-430. DOI : 10.1107/S0021889896015464 .
↑ „Aproximare analitică empirică simplă la profilul Voigt”. JOSA B. 18 (5): 666-672. 2001. Bibcode : 2001JOSAB..18..666L . doi : 10.1364 / josab.18.000666 .
↑ „Profilul Voigt ca sumă a unei funcții gaussiene și lorentziane, când coeficientul de greutate depinde numai de raportul lățimii”. Acta Physica Polonica A. 122 (4): 666-669. 2012. DOI : 10.12693/APhysPolA.122.666 . ISSN 0587-4246 .
↑ „Funcția pseudo-Voigt extinsă pentru aproximarea profilului Voigt” . Jurnalul de cristalografie aplicată . 33 (6): 1311-1316. 2000. doi : 10.1107/ s0021889800010219 .
↑ P. Thompson, D. E. Cox și J. B. Hastings (1987). „Rafinarea Rietveld a datelor cu raze X sincrotronului Debye-Scherrer din Al2O3 ” . Jurnalul de cristalografie aplicată . 20 (2): 79-83. DOI : 10.1107/S0021889887087090 .
↑ Olivero, JJ (februarie 1977). „Potriviri empirice la lățimea liniei Voigt: o scurtă trecere în revistă”. Journal of Cantitative Spectroscopy and Radiative Transfer . 17 (2): 233-236. Cod biblic : 1977JQSRT..17..233O . DOI : 10.1016/0022-4073(77)90161-3 . ISSN 0022-4073 .

Literatură

http://jugit.fz-juelich.de/mlz/libcerf , o bibliotecă numerică C pentru funcții de eroare complexe, oferă o funcție voigt(x, sigma, gamma) cu o precizie de aproximativ 13-14 cifre.
Articol original: Voigt, Woldemar, 1912, ''Das Gesetz der Intensitätsverteilung innerhalb der Linien eines Gasspektrums'', Sitzungsbericht der Bayerischen Akademie der Wissenschaften, 25, 603 (vezi și: http://publikation.de/703395/703)