Distribuție Cauchy

Distribuție Cauchy
Curba verde corespunde distribuției Cauchy standardProbabilitate densitate
Culorile sunt în conformitate cu graficul de mai susfuncția de distribuție
Desemnare	${\mathrm {C}}(x_{0},\gamma )$
Opțiuni	$x_{0}$ - factor de deplasare - factor de scară $\gamma > 0$
Purtător	$x\in (-\infty ;+\infty )$
Probabilitate densitate	${\frac {1}{\pi \gamma \,\left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right] }}$
funcția de distribuție	${\frac {1}{\pi }}{\mathrm {arctg}}\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2} }$
Valorea estimata	nu exista
Median	$x_{0}$
Modă	$x_{0}$
Dispersia	nu exista
Coeficient de asimetrie	nu exista
Coeficientul de kurtoză	nu exista
Entropia diferenţială	$\ln(4\,\pi \,\gamma )$
Funcția generatoare a momentelor	nedeterminat
functie caracteristica	$\exp(x_{0}\,i\,t-\gamma \,\|t\|)$

Distribuția Cauchy în teoria probabilității (numită și distribuția Lorentz și distribuția Breit - Wigner în fizică ) este o clasă de distribuții absolut continue . O variabilă aleatoare care are o distribuție Cauchy este un exemplu standard de variabilă fără medie și fără varianță .

Definiție

Fie distribuția unei variabile aleatoare dată de densitatea având forma: $X$ $f_{X}(x)$

f_{X}(x)={\frac {1}{\pi \gamma \left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2} \right]}}={1 \over \pi }\left[{\gamma \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right]

Unde

$x_{0}\în {\mathbb {R}}$ este parametrul de schimbare;
$\gamma >0$ este parametrul de scară.

Apoi spun că are o distribuție Cauchy și scrie . Dacă și , atunci o astfel de distribuție se numește distribuție Cauchy standard . $X$ $X\sim {\mathrm {C}}(x_{0},\gamma )$ $x_{0}=0$ $\gamma=1$

Funcția de distribuție

Funcția de distribuție Cauchy are forma:

F_{X}(x)={\frac {1}{\pi }}\,{\mathrm {arctg}}\,\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\ dreapta)+{\frac {1}{2}}

Este strict crescător și are o funcție inversă :

F_{X}^{{-1}}(x)=x_{0}+\gamma \,{\mathrm {tg}}\,\left[\pi \,\left(x-{1 \over 2 }\corect corect].

Acest lucru permite generarea unui eșantion din distribuția Cauchy folosind metoda transformării inverse .

Momente

Din moment ce integrala Lebesgue

\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}\!x^{{\alpha }}f_{X}(x)\,dx

nu este definită pentru , nici așteptarea matematică (deși integrala momentului 1 în sensul valorii principale este: ), nici varianța, nici momentele de ordin superior ale acestei distribuții nu sunt definite. Se spune uneori că așteptarea matematică nu este definită și varianța este infinită. $\alpha \geqslant 1$ $\lim \limits _{{c\rightarrow \infty }}\int \limits _{{-c}}^{{c}}x\cdot {1 \over \pi }\left[{\gamma \over ( x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right]\,dx=x_{0}$

Alte proprietăți

Distribuția Cauchy este infinit divizibilă .
Distribuția Cauchy este stabilă . În special, media eșantionului unui eșantion din distribuția standard Cauchy în sine are o distribuție Cauchy standard: dacă , atunci $X_{1},\ldots ,X_{n}\sim {\mathrm {C}}(0,1)$

\overline {X}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{{i=1}}^{n}X_{i}\sim {\mathrm {C}}(0,1)

Relația cu alte distribuții

Dacă , atunci $U\simU[0,1]$

x_{0}+\gamma \,{\mathrm {tg}}\,\left[\pi \left(U-{1 \over 2}\right)\right]\sim {\mathrm {C}}( x_{0},\gamma )

Dacă sunt variabile aleatoare normale independente astfel încât , atunci $X_{1},X_{2}$ $X_{i}\sim {\mathrm {N}}(0,1),\;i=1,2$

{\frac {X_{1}}{X_{2}}}\sim {\mathrm {C}}(0,1)

[1] [2] .

Distribuția standard Cauchy este un caz special al distribuției lui Student :

{\mathrm {C}}(0,1)\equiv {\mathrm {t}}(1)

Apariția în probleme practice

Distribuția Cauchy caracterizează lungimea segmentului tăiat în abscisă printr-o linie dreaptă, fixată într-un punct de pe axa y, dacă unghiul dintre linie și axa y are o distribuție uniformă pe interval (−π ; π) (adică direcția dreptei este izotropă pe plan). În esență, aceasta înseamnă următoarele [1] :

Dacă , atunci (− ), prin urmare . Datorită periodicității tangentei, uniformitatea pe interval (−π/2; π/2) înseamnă simultan uniformitate pe interval (−π; π). $U\simU[0,1]$ $\pi \ \left(U-{1 \over 2}\right)\sim$ $U$ $\pi /2,\pi /2$ $\mathrm {tg} \,\left[\pi \left(U-{1 \over 2}\right)\right]\sim \mathrm {C} (0,1)$

În fizică, distribuția Cauchy (numită și forma Lorentz) descrie profilurile liniilor spectrale uniform lărgite.
Distribuția Cauchy descrie caracteristicile amplitudine-frecvență ale sistemelor oscilatorii liniare în vecinătatea frecvențelor de rezonanță.

Note

↑ 1 2 Galkin V. M., Erofeeva L. N., Leshcheva S. V. Estimări ale parametrului de distribuție Cauchy. Actele Universității Tehnice de Stat Nijni Novgorod. R. E. Alekseeva. 2014. Nr 2(104). S. 314
↑ Cauchy Distribution Arhivat 29 iulie 2017 la Wayback Machine // risktheory.novosyolov.com

Distribuții de probabilitate
Discret	Bernoulli Binom Geometric hipergeometrică Logaritmic Binom negativ Poisson Uniformă discretă Multinom
Absolut continuu	Beta Weibulla Gamma- hiperexponenţială Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gauss) Logistică Nakagami Pareto Pearson semicircular uniformă continuă Orez Rayleigh Student Tracey - Vidoma Pescar Chi-pătrat Exponenţial Varianta-gama Normal multivariat copulă