Teorema limitei directe și inverse

Cele mai importante din punct de vedere al aplicațiilor funcțiilor caracteristice la derivarea formulelor asimptotice ale teoriei probabilităților sunt două teoreme limită - directă și inversă. Aceste teoreme stabilesc că corespondența care există între funcțiile de distribuție și funcțiile caracteristice nu este doar unu-la-unu, ci și continuă.

Teorema limitei directe și inverse

Teorema limitei directe

Dacă succesiunea funcțiilor de distribuție converge slab către funcția de distribuție pentru , atunci șirul funcțiilor caracteristice corespunzătoare converge punctual către funcția caracteristică . $F_{n}$ $F$ $n\rightarrow\infty$ $\stanga\{f_{n}\dreapta\}$ $f$

Cu alte cuvinte

Dacă , atunci în fiecare punct .

F_{n}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right)

f_{n}\stânga(t\dreapta)\rightarrow f\left(t\dreapta)

t

Teorema limitei inverse

Fie o succesiune de funcții caracteristice convergând punctual către o funcție continuă în punctul 0. Atunci șirul funcțiilor de distribuție corespunzătoare converge slab către funcție și este funcția caracteristică corespunzătoare funcției de distribuție . $\stanga\{f_{n}\dreapta\}$ $f$ $F_{n}$ $F$ $f$ $F$

Dovada teoremei limitei directe

Demonstrarea acestei teoreme rezultă direct din a doua teoremă Helly și din definiția funcției caracteristice:

Ca o funcție , luăm , și privim și ca parametri. $g$ $g\left(x\right)=e^{itx},x\in R$ $i$ $t$

Notă

Convergența punctual a șirului de funcții caracteristice din această teoremă poate fi înlocuită cu convergența uniformă pe orice mulțime compactă din . $R$

Demonstrarea teoremei limitei inverse

Fie o succesiune de funcții de distribuție corespunzătoare șirului de funcții caracteristice . Din prima teoremă a lui Helly rezultă că există o subsecvență slab convergentă $F_{n}$ $f_{{n}}$

\left\{F_{n_{k}}\right\}\subset \left\{{F_{n}}\right\},

astfel încât

F_{n_{k}}\Rightarrow F_{n}

Să demonstrăm că este o funcție de distribuție. Pentru aceasta, este suficient să arătăm că $F$ $F\left(+\infty \right)-F\left(-\infty \right)=1$

Pentru a o demonstra, avem nevoie de următoarea inegalitate: fie o variabilă aleatorie arbitrară funcția sa caracteristică, apoi pentru orice și $\xi$ $f$ $\tau >0$ $x>0$

P\left(\left|\xi \right|\leq x\right)\geq {\frac {\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau } ^{\tau }f\left(t\right)dt\right|-{\frac {1}{\tau x}}}{1-{\frac {1}{\tau x}}}}

Fie , atunci inegalitatea ia forma $\tau x=2$

P\left(\left|\xi \right|\leq x\right)\geq {\frac {\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau } ^{\tau }f\left(t\right)dt\right|-{\frac {1}{2}}}{1-{\frac {1}{2}}}}=2\left|{ \frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|-1

Să demonstrăm inegalitatea . Din definiția funcției caracteristice și teorema lui Fubini rezultă $P\left(\left|\xi \right|\leq x\right)\geq {\frac {\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau } ^{\tau }f\left(t\right)dt\right|-{\frac {1}{\tau x}}}{1-{\frac {1}{\tau x}}}}$

\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|=\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }{\mathsf {M}}e^{it\xi }dt\right|=\left|{\frac {1} {2\tau }}{\mathsf {M}}\int _{-\tau }^{\tau }e^{it\xi }dt\right|=\left|{\frac {1}{2\ tau }}{\mathsf {M}}{\frac {\sin {\tau \xi }}{\xi }}\right|=

=\left|{\frac {1}{\tau }}{\mathsf {M}}{\frac {\sin {\tau \xi }}{\xi }}\right|I_{\left \{\left|\xi \right|\leq x\right\}}+\left|{\frac {1}{\tau }}{\mathsf {M}}{\frac {\sin {\tau \ xi )){\xi ))\right|I_{\left\{\left|\xi \right|>x\right\))\leq {\mathsf {M))\left|{\frac {\sin {\tau \xi }}{\tau \xi }}\right|I_{\left\{\left|\xi \right|\leq x\right\}}+{\mathsf {M}}\left| {\frac {\sin {\tau \xi }}{\tau \xi }}\right|I_{\left\{\left|\xi \right|>x\right\}}\leq P\left( \left|\xi \right|\leq x\right)+{\frac {1}{\tau x}}\left(1-P\left(\left|\xi \right|\leq x\right) \dreapta)

Deoarece funcția este continuă într-un punct și este o limită punctual a funcțiilor caracteristice , atunci pentru oricare există astfel încât pentru toți care satisfac inegalitatea $f$ $0$ $\stanga\{f_{n}\dreapta\}$ $f\left(0\right)=1$ $\varepsilon >0$ $\tau _{0}>0$ $\tau$ $0<\tau \leq \tau _{0},$

\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|>1-{\frac { \varepsilon }{4}}

Din cele ce urmează pentru toată lumea și pentru $f_{n}\rightarrow f$ $n\rightarrow\infty$ $n>n_{0}$ $\tau \in (0;\tau _{0}],$

\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f_{n}\left(t\right)dt-{\frac {1} {2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|<{\frac {\varepsilon }{4}}

Rezultă din inegalități și că pentru oricare și așa că $\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|>1-{\frac { \varepsilon }{4}}$ $\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f_{n}\left(t\right)dt-{\frac {1} {2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|<{\frac {\varepsilon }{4}}$ $n>n_{0}$ $\tau$ $0<\tau \leq \tau _{0)$

\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f_{n}\left(t\right)dt\right|>1-{ \frac {\varepsilon }{2}}

Din inegalități și avem $\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f_{n}\left(t\right)dt\right|>1-{ \frac {\varepsilon }{2}}$ $\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f_{n}\left(t\right)dt-{\frac {1} {2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|<{\frac {\varepsilon }{4}}$

F_{n_{k}}\left({\frac {2}{\tau }}\right)-F{n_{k}}\left(-{\frac {2}{\tau }} -0\right)\geq P\left(\left|\varepsilon _{n_{k))\right|\leq {\frac {\tau }{2))\right)\geq 2\left(1- {\frac {\varepsilon }{2}}\right)-1=1-\varepsilon

pentru toti si . Din ultima inegalitate, din cauza arbitrarului , obținem $n>n_{0}$ $0<\tau \leq \tau _{0)$ $\tau$ $\varepsilon$

F\left(+\infty \right)-F\left(-\infty \right)=1

adică funcția de distribuție. Prin teorema limitei directe, rezultă din ceea ce s-a demonstrat $F$

f_{n_{k}}\left(t\right){\underset {n_{k}\rightarrow \infty }{\rightarrow }}\int _{-\infty }^{\infty }e^ {itx}dF\left(x\right),t\in \mathbb {R}

Dar conform teoremei

f_{n}\left(t\right){\underset {n\rightarrow \infty }{\rightarrow }}f\left(t\right), t\in \mathbb {R}

prin urmare

f\left(t\right)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}dF\left(x\right)

este funcţia caracteristică corespunzătoare funcţiei de distribuţie

F

Să demonstrăm acum asta

F_{n}{\underset {n\rightarrow \infty }{\Rightarrow }}F

Să presupunem contrariul , să

F_{n}\nsăgeată la dreapta F

la . Atunci există , și și sunt funcții de distribuție

n\rightarrow\infty

\left\{F_{m_{k}}\right\}\subset \left\{F_{n}\right\}, F_{m_{k}}\Rightarrow F^{*},F^ {*}\neq F

F

F^{*}

Prin teorema limitei directe, avem

f_{n_{k}}\stânga(t\dreapta)\rightarrow f\left(t\right), f_{m_{k}}\left(t\right)\rightarrow f^{*}\ stânga(t\dreapta),k\săgeata dreapta \infty

și prin teorema unicității , dar acest lucru nu poate fi, deoarece $f\stanga(t\dreapta)\neq f^{*}\stanga(t\dreapta)$

f_{n}\left(t\right){\underset {n\rightarrow \infty }{\rightarrow }}f\left(t\right)

prin urmare

f\left(t\right)=f^{*}\left(t\right)

Teorema a fost demonstrată.

Literatură

Lazakovich N.V., Stashulenok S.P., Yablonsky O.L. Curs de probabilitate. - 2003. - 322 p.
Sevastyanov B.A. Curs de Teoria Probabilității și Statistică Matematică. - 1982. - 244 p.

Teorema limitei directe și inverse