Frecarea radiațiilor

Frecare cu radiații , reacție cu radiații , frecare radiativă , frânare cu radiații - forță care acționează asupra unei particule de punct încărcat (de exemplu, un electron ), din propria radiație electromagnetică , cauzată de mișcarea neuniformă a acestei particule.

Justificare teoretică

Un sistem care emite unde electromagnetice nu este închis . În special, legile conservării energiei și impulsului nu se aplică acestuia . Un astfel de sistem este disipativ (disipându-și energia).

Frecarea radiațiilor poate fi calculată luând în considerare interacțiunea sarcinii și câmpul electromagnetic creat de aceasta ("auto-acțiune").

Într-o formulare riguroasă a problemei, trebuie luate în considerare efectele cuantice . În special, o încercare de a calcula frecarea radiativă a unei particule asupra căreia acționează o forță externă, folosind metodele fizicii clasice , duce la paradoxuri.

Metodele electrodinamicii cuantice fac posibilă luarea în considerare a frecării radiative cu aproape orice grad de precizie și nu numai a părții disipative (care provoacă lărgirea liniilor spectrale ), ci și a modificării câmpului extern în care se mișcă particula.

Formula Lorentz

Pentru viteze care sunt mici în comparație cu viteza luminii , formula Larmor este aplicabilă puterii de radiație a unei particule , iar forța de frecare radiativă este exprimată (în sistemul CGS ) prin formula

{\vec {F}}={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{c^{3}}}{\frac {d{\vec {a} }}{dt}},

unde q este sarcina particulei și a este accelerația (instantanee) a acesteia. Această formulă a fost derivată pentru prima dată de Hendrik Lorenz [1] .

Dacă exprimăm cantități în sistemul SI , atunci formula conține alte constante:

{\vec {F}}={\frac {q^{2}}{6\pi \epsilon _{0}c^{3}}}{\frac {d{\vec {a}} {dt}}.

Acesta este un caz destul de rar când formulele includ rata de modificare a accelerației (sau a treia derivată a vectorului rază în raport cu timp), uneori numită jerk .

Formula Lorentz-Abraham-Dirac

Formula obținută de Lorentz este valabilă numai pentru cazul unei particule nerelativiste. Pentru prima dată, generalizarea ei la cazul relativist a fost obţinută de M. Abraham în 1905 [2] .

Expresia relativistă pentru forța de rezistență radiativă poate fi obținută din următoarele considerații. În primul rând, trebuie avut în vedere că, în teoria relativității speciale, generalizarea conceptului de forță este așa-numitul 4-vector al forței , care, prin definiție, trebuie să îndeplinească condiția , unde este 4 viteze. , este intervalul relativist și este 4-vector al coordonatei de timp . Aici și mai jos se folosește formalismul relativist, în care „omiterea” indicelui vectorial se realizează prin înmulțirea cu tensorul metric al spațiului Minkowski , , de exemplu: ; prin indici repetați , se presupune însumarea, de exemplu: . $g^{i}$ $g^{i}u_{i}=0$ $u^{i}={\frac {dx^{i}}{ds}}$ $ds={\sqrt {dx^{i}dx_{i)))$ $x^{i}=(ct,x,y,z)$ $g_{ij}={\rm {diag}}(1,-1,-1,-1)$ $u_{k}=u^{i}g_{ik)$ $i=0,1,2,3$ $g^{i}u_{i}=g^{0}u^{0}-g^{1}u^{1}-g^{2}u^{2}-g^{3 }u^{3}$

Pentru a determina 4-vectorul , ar trebui să folosiți faptul că, deoarece viteza corpului tinde spre zero, expresia pentru trebuie să dea o expresie pentru formula clasică Lorentz. Se poate arăta că cantitatea $g^{i}$ $g^{i}$

g^{i}={\frac {2e^{2}}{3c}}{\frac {d^{2}u^{i}}{ds^{2}}}

(LAD1)

unde este așa-numitul interval . Expresia ( LAD1 ) nu satisface insa conditia . Pentru a îndeplini această condiție, este necesar să se suplimenteze expresia ( LAD1 ) cu încă un termen, care ar tinde spre zero atunci când viteza particulei tinde spre zero. În special, orice expresie de formă , unde este un scalar ales în așa fel încât condiția să fie îndeplinită , are această proprietate . Ca urmare, expresia forței de radiație obținută de Abraham are forma: $s$ $g^{i}u_{i}=0$ $\alpha u^{i}$ $\alfa$ $g^{i}u_{i}=0$

g^{i}={\frac {2e^{2}}{3c}}\left({\frac {d^{2}u^{i}}{ds^{2}}}+ {\frac {du^{k}}{ds}}{\frac {du_{k}}{ds}}u^{i}\right)

(LAD2)

unde, ca și înainte, se presupune însumarea unui indice repetat . Formula ( LAD2 ) poate fi rescrisă într-o altă formă echivalentă [3] : $k$

g^{i}={\frac {2e^{2}}{3c}}\left({\frac {d^{2}u^{i}}{ds^{2}}}-(u^ {i}u^{k}){\frac {d^{2}u_{k}}{ds^{2}}}\dreapta)

(LAD3)

P. A. M. Dirac a obţinut în 1938 aceeaşi formulă din considerente mai elementare [4] . El a luat în considerare sistemul comun de ecuații și expresii lui Maxwell pentru forța Lorentz care acționează asupra unui electron. Totodată, a ținut cont de faptul că electronul, în general, generează câmpuri care acționează asupra electronului însuși. Dacă presupunem că electronul are o necunoscută pentru noi, dar dimensiunea și masa finite și rezolvăm o astfel de problemă, eliminând termeni care sunt extrem de mici la mic , atunci obținem următoarea ecuație a mișcării electronilor într-un câmp extern, caracterizată de : tensor : $A$ $m_{0}$ $A$ $F^{{ik}}$

(m_{0}+\delta m)c{\frac {du^{i}}{ds}}={\frac {e}{c}}F^{ik}u_{k}+{ \frac {2e^{2}}{3c}}\left({\frac {d^{2}u^{i}}{ds^{2}}}+{\frac {du^{k}} {ds}}{\frac {du_{k}}{ds}}u^{i}\right)

(LAD4)

unde și formal diverge (adică tinde spre infinit) deoarece tinde spre zero. Este important, totuși, ca singurul termen divergent să fie proporțional cu accelerația, ceea ce ne permite să efectuăm un fel de procedură clasică de renormalizare : întrucât cantitățile și nu pot fi distinse unele de altele în niciunul dintre experimentele efectuate, singurul cantitatea care are o semnificație fizică și poate fi măsurată este suma lor , care este egală cu masa electronilor observată în experiment. În acest caz, cantitatea se numește masa „goldă” a electronului, adică masa acestuia fără a ține cont de masa câmpului electromagnetic creat de acest electron. Ținând cont de ultima remarcă, din compararea formulelor ( LAD2 ) și ( LAD4 ) se poate observa că Dirac a obținut aceeași formulă pentru frecarea radiativă ca și Abraham (primul termen din partea dreaptă a expresiei ( LAD4 ) este responsabil. pentru forța obișnuită Lorentz care acționează asupra unui electron în timpul câmpurilor externe). $\delta m=4e^{2}/3c^{2}a$ $A$ $m_{0}$ $\delta m$ $m=m_{0}+\delta m$ $m_{0}$

După numele oamenilor de știință care au contribuit la descoperirea sa, ecuația ( LAD4 ) este numită ecuația Lorentz-Abraham-Dirac.

aproximarea Landau-Lifshitz

Expresia inițială pentru derivarea ecuației relativiste aproximative pentru forța de radiație este ecuația (LAD4) folosind masa completă („îmbrăcată”) din partea stângă:

mc{\frac {du^{i}}{ds}}={\frac {e}{c}}F^{ik}u_{k}+{\frac {2e^{2}}{ 3c}}\left({\frac {d^{2}u^{i}}{ds^{2}}}+{\frac {du^{k}}{ds}}{\frac {du_{ k}}{ds}}u^{i}\dreapta).

(LL1)

Aproximația Landau - Lifshitz (LL) se bazează pe expresie

{\frac {du^{i}}{ds}}\aprox {\frac {e}{mc^{2}}}F^{ik}u_{k},

(LL2)

care se obține din (LL1) neglijând expresia dintre paranteze, adică fără a se ține cont de forța de radiație. Relația (LL1) este utilizată pentru a transforma expresia dintre paranteze și pentru a elimina derivatele vitezei din expresia forței de radiație. Eliminarea accelerației cu (LL2) dă

{\frac {du^{k}}{ds}}{\frac {du_{k}}{ds}}\aprox -{\frac {e^{2}}{m^{2}c ^{4}}}u_{j}F^{jk}F_{kl}u^{l}.

Mai întâi exprimăm derivata a doua a vitezei în termenii derivatei întâi a accelerației rezultate:

{\frac {d^{2}u^{i}}{ds^{2}}}\aprox {\frac {d}{ds}}\left({\frac {e}{mc^ {2}}}F^{ik}u_{k}\dreapta).

Apoi, viteza este diferențiată din nou folosind (LL2), iar pentru derivata tensorului câmpului de-a lungul liniei mondiale a particulei, folosim expresia

{\frac {dF^{ik}}{ds}}={\frac {dx^{j}}{ds}}{\frac {\partial F^{ik}}{\partial x^{ j}}}=u^{j}{\frac {\partial F^{ik}}{\partial x^{j}}},

ce dă

{\frac {d^{2}u^{i}}{ds^{2}}}\aprox {\frac {e}{mc^{2}}}u^{j}{\frac {\partial F^{ik}}{\partial x^{j}}}u_{k}+{\frac {e^{2}}{m^{2}c^{4}}}F^{ ik}F_{kl}u^{l}.

În cele din urmă, obținem ecuația cu forța de radiație LL în formă

mc{\frac {du^{i}}{ds}}={\frac {e}{c}}F^{ik}u_{k}+{\frac {2e^{2}}{ 3c}}\left[{\frac {e}{mc^{2}}}u^{j}{\frac {\partial F^{ik}}{\partial x^{j}}}u_{k }+{\frac {e^{2}}{m^{2}c^{4}}}\left(F^{ik}-u^{i}u_{j}F^{jk}\right )F_{kl}u^{l}\dreapta].

(LL3)

Proprietățile aproximării LL

Ecuația (LL3) este un sistem de ecuații scalare pentru energie și trei componente de impuls, care nu sunt independente din cauza relației relativiste . Diferenţierea ultimei relaţii faţă de ds dă condiţia necesară pentru ortogonalitatea forţei relativiste la viteza: . Când este înmulțit (LL3) cu primul termen din partea dreaptă și primul termen din paranteze pătrate dispar din cauza asimetriei tensorului câmpului, , iar termenii din paranteze se anulează reciproc. Astfel, deși relații aproximative au fost utilizate în derivarea ecuației (LL3), cerința ca forța relativistă să fie ortogonală cu viteza este păstrată exact. $4=1+3$ $u_{i}u^{i}\equiv 1$ $u_{i}{\frac {du^{i}}{ds}}=0$ $tu_{i}$ $u_{i}F^{ik}u_{k}\equiv 0$

Avantajul aproximării LL este posibilitatea integrării numerice a ecuațiilor de mișcare, întrucât expresia forței tridimensionale, deși extrem de greoaie și depinde de derivatele spațiale și temporale ale câmpurilor și de viteza particulelor, este totuși explicit și nu depinde de derivatele vitezei.

Aproximarea lui Sokolov

Vezi și

Schimb de miel

Note

↑ H.A. Lorentz . Teoria electronilor. — Leipzig: Teubner, 1909.
↑ M. Abraham . Theorie der Elektrizitat. — Leipzig: Teubner, 1905.
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Teoria câmpului. - Ediția a 8-a, stereotip. - M .: Fizmatlit , 2006. - S. 285. - („ Fizica teoretică ”, Volumul II). — ISBN 5-9221-0056-4 .
↑ Dirac, PAM // Proc. R. Soc. Lond. A. - 1938. - Vol. 167. - P. 148.

Literatură

Landau L. D. , Lifshits E. M. Teoria câmpului. - Ediția a 8-a, stereotip. - M . : Fizmatlit , 2006. - S. 279-288. - (" Fizica teoretică ", Volumul II). — ISBN 5-9221-0056-4 .
Eric Poisson. O introducere în ecuația Lorentz-Dirac // arXiv.org . — 1999.
Igor V. Sokolov, Natalia M. Naumova, John A. Nees, Gérard A. Mourou și Victor P. Yanovsky. Dinamica emiterii de electroni în câmpuri laser puternice // Phys . Plasme . - 2009. - Vol. 16 . — P. 093115 . ( arXiv : 0904.0405 )
I. V. Sokolov. Renormalizarea ecuației Lorentz-Abraham-Dirac pentru forța de radiație în electrodinamica clasică // ZhETF . - 2009. - T. 136 , nr. 2 . - S. 247 . ( arXiv : 0906.1150 )
Igor V. Sokolov, Natalia M. Naumova, John A. Nees, Victor P. Yanovsky și Gérard A. Mourou . Reacția inversă a radiațiilor în câmpuri laser pulsate relativ puternice și QED puternice // AIP Conf . Proc. . - 2010. - Vol. 1228 , iss. 1 . - P. 305-322 . ( arXiv : 0910.4268 )
D. B. Zot'ev , Observații critice asupra ecuației lui Sokolov a dinamicii unui electron radiant // Phys. Plasme . - 2016. - Vol. 23. - Nr 9, http://dx.doi.org/10.1063/1.4962692 . Traducere în rusă: http://extremal-mechanics.org/wp-content/uploads/2016/06/Sokolov_LAD_Russian.pdf