Mișcare relativistă uniform accelerată

Mișcarea relativistă uniform accelerată (sau mișcarea relativistă uniform accelerată ) este mișcarea unui obiect în care propria sa accelerație este constantă. Accelerația proprie este accelerația unui obiect în cadrul (propriul) de referință însoțitor , adică într-un cadru de referință inerțial, în care viteza instantanee curentă a obiectului este zero (în acest caz, cadrul de referință se schimbă de la punct la punct). Un exemplu de mișcare relativistică uniform accelerată poate fi mișcarea unui corp de masă constantă sub acțiunea unei forțe constante (în cadrul comoving de referință ) . Accelerometrul situat pe un corp care accelerează uniform nu își va modifica valorile.

Spre deosebire de mecanica clasică , un corp fizic nu se poate mișca întotdeauna cu o accelerație constantă (într-un cadru de referință inerțial fix ) , deoarece în acest caz viteza lui va depăși mai devreme sau mai târziu viteza luminii . Cu toate acestea, accelerația proprie poate fi constantă pentru un timp arbitrar lung; în acest caz, viteza unui obiect într-un cadru de referință inerțial fix se va apropia asimptotic de viteza luminii, dar nu o va depăși niciodată.

În mecanica relativistă , o forță constantă care acționează asupra unui obiect își schimbă continuu viteza, lăsând-o totuși mai mică decât viteza luminii. Cel mai simplu exemplu de mișcare relativistic uniform accelerată este mișcarea unidimensională a unei particule încărcate într-un câmp electric uniform direcționat de-a lungul vitezei [1] .

Pentru un observator care se deplasează cu accelerație constantă în spațiul Minkowski , există două orizonturi de evenimente , așa-numitele orizonturi Rindler (vezi coordonatele Rindler ).

Viteza versus timp

Când o forță [2] acționează asupra unui obiect cu o masă constantă, impulsul acestuia se modifică după cum urmează [3] : $\textstyle \mathbf {f}$ $\textstyle m$

\mathbf {f} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d}{dt}}{\frac {m\mathbf {u} }{\sqrt { 1-\mathbf {u} ^{2}/c^{2}}}}.

Dacă forța este constantă, atunci această ecuație este ușor de integrat:

{\frac {\mathbf {u} }{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}/c^{2))))=\mathbf {w} _{0}+\mathbf {a} \,t,

unde este un vector constant în direcția forței și este o constantă de integrare exprimată în termeni de viteza inițială a obiectului în timp : $\textstyle \mathbf {a} =\mathbf {f} /m$ $\textstyle \mathbf {w} _{0}$ $\textstyle \mathbf {u} _{0}$ $\textstyle t=0$

\mathbf {w} _{0}={\frac {\mathbf {u} _{0}}{\sqrt {1-\mathbf {u} _{0}^{2}/c^{ 2}}}}.

Expresia explicită a vitezei în termeni de timp are forma:

\mathbf {u} (t)={\frac {\mathbf {w} _{0}+\mathbf {a} \,t}{\sqrt {1+(\mathbf {w} _{0 }+\mathbf {a} \,t)^{2}/c^{2}}}}.

Viteza unei particule sub influența unei forțe constante tinde spre viteza luminii , dar nu o depășește niciodată. În limita nerelativista a vitezelor mici, dependența vitezei de timp ia forma

\mathbf {u} \aprox. \mathbf {u} _{0}+\mathbf {a} \,t

corespunzător mişcării clasice uniform accelerate .

Traiectoria mișcării

Traiectoria mișcării uniform accelerate în cazul general depinde de orientarea vectorilor constanți și După integrarea ecuației , se obține următoarea expresie: $\textstyle \mathbf {a}$ $\textstyle \mathbf {w} _{0}.$ $\textstyle \mathbf {u} (t)=d\mathbf {r} /dt$

\mathbf {r} (t)=\mathbf {r} _{0}+{\frac {\displaystyle \mathbf {a} \,c}{\displaystyle a^{2))}\,\ stânga({\sqrt {c^{2}+(\mathbf {w} _{0}+\mathbf {a} \,t)^{2}}}-{\sqrt {c^{2}+\ mathbf {w} _{0}^{2))}\right)+{\frac {[\mathbf {a} \times [\mathbf {w} _{0}\times \mathbf {a} ]]} {a^{2}}}\cdot \tau _{0},

unde este vectorul rază al poziției corpului în momentul de timp și este timpul propriu al obiectului [4] : $\textstyle \mathbf {r} _{0)$ $\textstyle t=0,$ $\textstyle \tau _{0}$

\tau _{0}={\frac {c}{a}}\cdot \ln {\frac {\displaystyle {\sqrt {c^{2}+(\mathbf {w} _{0} +\mathbf {a} t)^{2}}}+at+(\mathbf {w} _{0}\mathbf {a} )/a}{\displaystyle {\sqrt {c^{2}+\mathbf {w} _{0}^{2}}}+(\mathbf {w} _{0}\mathbf {a} )/a}}.

Dacă accelerația corespunzătoare și viteza inițială sunt paralele una cu cealaltă, atunci produsul vectorial este egal cu zero, iar expresia traiectoriei este simplificată considerabil. $\textstyle \mathbf {a}$ $\textstyle \mathbf {u} _{0}$ $\textstyle [\mathbf {a} \times [\mathbf {w} _{0}\times \mathbf {a} ]]$

În acest caz, dacă obiectul se mișcă de-a lungul axei x , atunci linia sa mondială pe plan ( x, t ) este o hiperbolă . Prin urmare, mișcarea relativistă unidimensională accelerată uniform este uneori numită hiperbolică. $x(t)=\mathrm {const} +{\sqrt {c^{2}t^{2}+c^{4}/a^{2))}.$

Timpul propriu este egal cu timpul scurs pe ceasul asociat obiectului, de la momentul inițial până la momentul de timp într-un cadru de referință fix, în raport cu care se observă mișcarea. Ca urmare a dilatării timpului întotdeauna $\textstyle \tau _{0}$ $\textstyle t=0$ $\textstyle t$ $\textstyle \tau _{0}<t.$

În limita non-relativistă (viteze mici), se obține ecuația mișcării clasice uniform accelerate : $\textstyle c\la \infty$

\mathbf {r} (t)\aprox \mathbf {r} _{0}+\mathbf {u} _{0}\,t+{\frac {\mathbf {a} \,t^{2 }}{2}}.

Accelerație proprie

Vectorul constant are semnificația accelerației obișnuite în cadrul de referință instantaneu asociat corpului care se accelerează. Dacă corpul își schimbă viteza în raport cu poziția anterioară de undeva într-un cadru de referință fix, o astfel de mișcare va fi accelerată relativ uniform. Din acest motiv, parametrul se numește accelerație intrinsecă . Acceptând o asemenea definiție a mișcării, se poate obține dependența vitezei de timp fără a se referi la dinamică, rămânând doar în cadrul cinematicii teoriei relativității [5] . $\textstyle \mathbf {a}$ $\textstyle a\,dt',$ $\textstyle a={\textrm {const}),$ $\textstyle a$

Modulul de accelerație intrinsec a în cazul unidimensional este legat de modulul de accelerație 3 a′ = d u /d t , observat într-un cadru inerțial fix Λ cu timpul de coordonate t , după cum urmează:

a=a^{\prime }\gamma ^{3}={\frac {1}{\left(1-u^{2}/c^{2}\right)^{3/2} }}{\frac {{\textrm {d}}u}{{\textrm {d}}t)),

unde γ este factorul Lorentz al obiectului, u este viteza acestuia în Λ . Dacă valorile inițiale ale coordonatei și vitezei sunt luate egale cu zero, atunci, prin integrarea ecuației de mai sus, putem obține dependențele vitezei și poziției obiectului în sistemul Λ de timpul de coordonate:

u(t)={\frac {at}{\sqrt {1+\left({\frac {at}{c}}\right)^{2}}}}=c\operatorname {th} \left(\operatorname {Arsh} {\frac {at}{c}}\right);

x(t)={\frac {c^{2}}{a}}\left({\sqrt {1+\left({\frac {at}{c}}\right)^{2 ))}-1\right)={\frac {c^{2}}{a}}\left(\operatorname {ch} \left(\operatorname {Arsh} {\frac {at}{c}}\ dreapta)-1\dreapta).

Dependența acelorași cantități de timpul propriu al obiectului:

u(\tau )=c\operatorname {th} {\frac {a\tau {c));

x(\tau )={\frac {c^{2}}{a}}\left(\operatorname {ch} {\frac {a\tau {c}}-1\right).

Dependența timpului corespunzător de timpul coordonate:

\tau (t)={\frac {c}{a}}\ln \left({\sqrt {1+\left({\frac {at}{c}}\right)^{2} ))+{\frac {at}{c}}\right)={\frac {c}{a}}\operatorname {Arsh} {\frac {at}{c}}.

Dependența coordonatelor timpului de timpul potrivit:

t(\tau )={\frac {c}{a}}\operatorname {sh} {\frac {a\tau {c}}.

Radiația unei sarcini uniform accelerate

O sarcină e , care se mișcă cu accelerație proprie constantă a , radiază unde electromagnetice cu putere (în sistemul Gaussian ). În acest caz , nu există frecare de radiație [6] . $P={\frac {2e^{2}a^{2}}{3c^{3}}}$

Vezi și

Note

↑ Mișcarea unei particule încărcate la un unghi care nu este egal cu 0 sau 180° față de un câmp electric uniform nu este uniform accelerată, deoarece, în general, în timpul transformării Lorentz , câmpul electromagnetic se modifică, ceea ce duce la o modificare a forței. acţionând asupra corpului în cadrul comoving de referinţă. Singura excepție este transformarea lorentziană de-a lungul unui câmp electric omogen; în acest caz câmpul nu se modifică.
↑ În acest articol , 3-vectori sunt notați cu caractere aldine directe, iar lungimile lor (într-un cadru de referință inerțial) sunt în cursive normale.
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Teoria câmpului. - ediția a VII-a, revizuită. — M .: Nauka , 1988. — 512 p. - (" Fizica teoretică ", Volumul II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Logunov A. A. Prelegeri despre teoria relativității și gravitației: analiza modernă a problemei. - M .: „Nauka”, 1987.
↑ Accelerated Motion Arhivat la 9 august 2010 la Wayback Machine in Relativity
↑ Ginzburg V. L. On radiation and the force of radiation friction with a uniformly accelerated motion of a charge // Uspekhi fizicheskikh nauk . - Academia Rusă de Științe , 1969. - T. 98 . - S. 569-585 . (Rusă)