Traiectorie

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 4 martie 2019; verificările necesită 12 modificări .

Traiectoria unui punct material este o linie în spațiu , care este un set de puncte geometrice în care puteți găsi un punct material într-o problemă fizică [1] . Tipul de traiectorie a unui punct material liber depinde de forţele care acţionează asupra punctului , de condiţiile iniţiale de mişcare şi de alegerea sistemului de referinţă , iar cel neliber depinde şi de constrângerile impuse [2] .

Conceptul de traiectorie are sens chiar și izolat de orice mișcare reală. Dar traiectoria descrisă într-un anumit sistem de coordonate nu oferă în sine informații despre motivele mișcării corpului de-a lungul acestuia, până când nu se efectuează analiza configurației câmpului de forțe care acționează asupra corpului în același sistem de coordonate . 3] .

Modalități de a seta o traiectorie

Tipul traiectoriei nu depinde de caracteristicile trecerii sale printr-un punct material, prin urmare, nu legi fizice sau modele, dar mijloacele de geometrie diferențială pot fi folosite pentru a seta traiectoria .

Deci, traiectoria este uneori dată de o funcție/funcții, legând coordonatele pe linia de mișcare a punctului:

x=x_{min}\ldots x_{max}

atunci când vă deplasați în linie dreaptă,

y=y(x)

pentru carcasa plată,

y=y(x)

iar în cazul vrac.

z=z(x)

Dar aici sunt necesare unicitatea reciprocă a conexiunii de coordonate și absența trecerii repetate prin punctul material al oricăror secțiuni. De exemplu, dacă corpul s-a deplasat de-a lungul unui segment dinspre și înapoi, atunci traiectoria este o linie „dublă” (înainte și înapoi), care va fi ratată în abordarea de mai sus. Cu toate acestea, o astfel de atribuire a coordonatelor traiectoriei este convenabilă în multe situații simple. $x_{min}$ $x_{max}$

În cazul general, mișcarea unui punct material în cinematică este descrisă de dependența vectorului rază de timp:

{\vec {r}}={\vec {r}}(t)

O astfel de dependență reprezintă o traiectorie, dând un exces de informații - pe lângă forma unei linii geometrice trasate de un punct, având , puteți obține viteza și alți parametri de mișcare. Sarcina implică sarcina de a schimba în timp trei coordonate carteziene: ${\vec {r}}(t)$ ${\vec {r}}(t)$

{\vec {r}}(t)=x(t){\vec {i}}+y(t){\vec {j}}+z(t){\vec {k}}

unde , , sunt ortele de . Prezența timpului aici , s-ar părea, contrazice independența traiectoriei față de detaliile mișcării de-a lungul ei, dar, de fapt, pentru a seta traiectoria la locul lor în expresiile , , puteți înlocui orice funcție unu-la-unu . Arbitrarul nu va afecta forma traiectoriei, ci va „schimba” viteza de trecere: de exemplu, atunci când este înlocuită cu viteză, se va dubla în toate punctele traiectoriei. $\vec{i}$ $\vec{j}$ $\vec{k}$ $t$ $t$ $x(t)$ $YT)$ $z(t)$ $T(t)$ $t$ $T=2t$

În sistemul de referință selectat, curba descrisă de capătul vectorului rază în spațiu poate fi reprezentată ca arce conjugate de curbură diferită , situate în cazul general în planuri care se intersectează . În acest caz, curbura fiecărui arc este determinată de raza sa de curbură (a nu se confunda cu vectorul rază ), îndreptată către arcul din centrul de rotație instantaneu (a nu se confunda cu originea vectorilor cu rază) , situat în același plan cu arcul însuși. O linie dreaptă este considerată ca fiind cazul limită al unei curbe , a cărei rază de curbură poate fi considerată egală cu infinitul . ${\vec {r))$

Traiectorie și concepte înrudite

Legea mișcării este dependența vectorului rază a unui punct în timp ; ${\vec {r}}(t)$
Calea - o coordonată curbilinie de-a lungul traiectoriei unui punct material (notat de obicei prin simbolul ); $S$
Lungimea traseului - lungimea traiectoriei , calculată ca

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}|{\dot {\vec {r}}}(t)|dt

, unde numerele 1 și 2 marchează pozițiile inițiale și, respectiv, finale ale punctului;

Deplasare - un vector de la poziția inițială a punctului la cea finală

\Delta {\vec {r}}={\vec {r}}(t_{2})-{\vec {r}}(t_{1})

, în timp ce întotdeauna ;

\Delta S\geq |\Delta {\vec {r}}|

Raza de curbură este raza arcului de cerc care aproximează cel mai bine traiectoria într-un punct dat.

Viteza unui punct material este întotdeauna direcționată tangențial la arcul folosit pentru a descrie traiectoria. În acest caz, există o relație între mărimea vitezei , accelerația normală și raza de curbură a traiectoriei la un anumit punct geometric: $v$ $un$ $R$

a_{n}={\frac {v^{2}}{R}}

Nu orice mișcare cu o viteză cunoscută de-a lungul unei curbe cu o rază cunoscută și accelerația normală (centripetă) găsită folosind formula de mai sus este asociată cu manifestarea unei forțe îndreptate de-a lungul normalei la traiectorie ( forța centripetă ). Astfel, accelerația oricăreia dintre stele găsite din fotografiile mișcării zilnice a luminilor nu indică deloc existența unei forțe care provoacă această accelerație, atrăgând-o spre Steaua Polară ca centru de rotație.

Traiectorie și ecuații ale dinamicii

Reprezentarea unei traiectorii ca o urmă lăsată de mișcarea unui punct material leagă conceptul pur cinematic al unei traiectorii, ca problemă geometrică, cu dinamica mișcării unui punct material, adică problema determinării cauzelor. a mișcării sale. De fapt, soluția ecuațiilor lui Newton (în prezența unui set complet de date inițiale) dă traiectoria unui punct material.

Mișcarea unui punct material liber

Conform primei legi a lui Newton , numită uneori legea inerției , trebuie să existe un astfel de sistem în care un corp liber își păstrează (ca vector) viteza. Un astfel de cadru de referință se numește inerțial . Traiectoria unei astfel de mișcări este o linie dreaptă , iar mișcarea în sine se numește uniformă și rectilinie.

Mișcarea sub acțiunea forțelor externe

în cadrul de referință inerțial

Dacă într-un cadru inerțial viteza unui obiect ( pentru un observator staționar în acest cadru ) cu o masă își schimbă direcția, chiar rămânând aceeași ca mărime, adică corpul face o întoarcere și se mișcă de-a lungul unui arc cu o rază de curbură , atunci acest corp experimentează o accelerație normală . Motivul acestei accelerații este forța centripetă, care este direct proporțională cu această accelerație. Aceasta este esența celei de-a doua legi a lui Newton : $\vec{v}$ $m$ $R$ $un$

{\vec F}=m{\vec a}_{n}

unde este suma vectorială a forțelor care acționează asupra corpului, este accelerația acestuia și este masa inerțială [4] . ${\vec F}$ ${\vec a}_{n}$ $m$

În cazul general, corpul nu este liber în mișcare și se impun restricții asupra poziției sale și, în unele cazuri, asupra vitezei , - constrângeri . Dacă legăturile impun restricții numai asupra coordonatele corpului, atunci astfel de legături se numesc geometrice. Dacă se propagă și la viteze, atunci se numesc cinematice. Dacă ecuația constrângerii poate fi integrată în timp, atunci o astfel de constrângere se numește holonomică .

Acțiunea legăturilor asupra unui sistem de corpuri în mișcare este descrisă de forțe numite reacții ale legăturilor. În acest caz, forța inclusă în partea stângă a expresiei legii lui Newton este suma vectorială a forțelor active (externe) și reacția legăturilor.

Este esențial ca în cazul constrângerilor holonomice să devină posibilă descrierea mișcării sistemelor mecanice în coordonate generalizate , incluse în ecuațiile Lagrange . Numărul acestor ecuații depinde doar de numărul de grade de libertate ale sistemului și nu depinde de numărul de corpuri incluse în sistem, a căror poziție trebuie determinată pentru o descriere completă a mișcării.

Dacă legăturile care acționează în sistem sunt ideale , adică nu transferă energia mișcării în alte tipuri de energie, atunci când se rezolvă ecuațiile Lagrange, toate reacțiile necunoscute ale legăturilor sunt excluse automat.

În cele din urmă, dacă forțele care acționează aparțin clasei de forțe potențiale , atunci cu o generalizare adecvată a conceptelor, devine posibilă utilizarea ecuațiilor Lagrange nu numai în mecanică, ci și în alte domenii ale fizicii. [5]

Forțele care acționează asupra unui punct material în această înțelegere determină în mod unic forma traiectoriei mișcării acestuia (în condiții inițiale cunoscute). Afirmația inversă este în general nedreaptă, deoarece aceeași traiectorie poate avea loc cu diferite combinații de forțe active și reacții de cuplare.

într-un cadru de referinţă non-inerţial

Dacă cadrul de referință nu este inerțial (adică se mișcă cu o anumită accelerație în raport cu cadrul de referință inerțial), atunci este, de asemenea, posibil să se folosească legea lui Newton în el, cu toate acestea, în partea stângă este necesar să se ia ținând cont de așa-numitele forțe inerțiale (inclusiv forța centrifugă și forța Coriolis asociată cu cadrul de referință neinerțial de rotație) [4] .

Semnificația alegerii cadrului de referință

Clarificarea despre „legarea” traiectoriei de alegerea sistemului de coordonate este fundamentală, întrucât de această alegere depinde forma traiectoriei [6] . Diferențele calitative și cantitative în traiectorii apar și între sistemele inerțiale și dacă unul sau ambele sisteme sunt neinerțiale.

Observabilitatea traiectoriei

Este posibil să se observe traiectoria atunci când obiectul este staționar, dar când cadrul de referință este în mișcare. Astfel, cerul înstelat poate servi drept model bun pentru un cadru de referință inerțial și fix. Cu toate acestea, în timpul expunerilor lungi, aceste stele par să se miște pe căi circulare.

Cazul opus este de asemenea posibil, atunci când corpul se mișcă clar, dar traiectoria în proiecția pe planul de observare este un punct fix. Acesta este, de exemplu, cazul unui glonț care zboară direct în ochiul observatorului sau al unui tren care îl părăsește.

Modificarea formei traiectoriei

Se dovedește adesea că forma traiectoriei depinde de sistemul de referință ales pentru a descrie mișcarea unui punct material într-un mod radical. Astfel, mișcarea rectilinie uniform accelerată (de exemplu, cădere liberă) într-un cadru inerțial va fi, în general, parabolică într-un alt cadru de referință inerțial care se mișcă uniform (vezi Fig.).

În conformitate cu principiul relativității lui Galileo , există un număr infinit de sisteme inerțiale egale (ISO), a căror mișcare unul față de celălalt nu poate fi stabilită în niciun fel prin observarea oricăror procese și fenomene care au loc numai în aceste sisteme. Traiectoria dreaptă a mișcării uniforme a unui obiect într-un cadru va arăta, de asemenea, ca o linie dreaptă în orice alt cadru inerțial, deși mărimea și direcția vitezei vor depinde de alegerea sistemului, adică de mărimea și direcția vitezei lor relative.

Cu toate acestea, Principiul Galileo nu prevede că același fenomen observat de la două ISO-uri diferite va arăta la fel. Prin urmare, figura avertizează asupra a două greșeli tipice asociate cu uitarea că:

1. Este adevărat că orice vector (inclusiv vectorul forță) poate fi descompus în cel puțin două componente. Dar această descompunere este complet arbitrară și nu înseamnă că astfel de componente există cu adevărat. Pentru a confirma realitatea lor, ar trebui să fie implicate informații suplimentare , în niciun caz nepreluate din analiza formei traiectoriei. De exemplu, din figura 2 este imposibil să se determine natura forței F, la fel cum este imposibil să se afirme că ea însăși este sau nu suma forțelor de natură diferită. Se poate susține doar că este constantă în secțiunea reprezentată și că curbiliniaritatea traiectoriei observată în FR dat este formată de partea centripetă a acestei forțe, destul de definită în FR dat. Cunoscând doar traiectoria unui punct material în orice cadru inerțial de referință și viteza acestuia în fiecare moment de timp, este imposibil să se determine natura forțelor care acționează asupra acestuia.

2. Chiar și în cazul observării din IFR, forma traiectoriei unui corp în mișcare accelerat va fi determinată nu numai de forțele care acționează asupra acestuia, ci și de alegerea acestui IFR, care nu afectează aceste forțe în oricum. Forța centripetă prezentată în Figura 2 este obținută formal, iar valoarea ei depinde direct de alegerea ISO.

Un exemplu pentru un sistem rotativ

Imaginați-vă un muncitor de teatru care se mișcă în spațiul grătarului de deasupra scenei în raport cu clădirea teatrului în mod uniform și rectiliniu și cărând o găleată de vopsea care curge peste scena rotativă . Va lăsa o urmă de vopsea căzută pe ea sub forma unei spirale de desfășurare (dacă se mișcă din centrul de rotație al scenei) și răsucire - în cazul opus. În acest moment, colegul său, care este responsabil de curățenia treptei rotative și se află pe ea, va fi, așadar, obligat să ducă sub prima o găleată fără scurgeri, fiind constant sub prima. Iar mișcarea sa în raport cu clădirea va fi, de asemenea, uniformă și rectilinie , deși în raport cu scena, care este un sistem non-inerțial , mișcarea sa va fi curbă și neuniformă . Mai mult, pentru a contracara deriva în sensul de rotație, el trebuie să depășească cu forță efectul forței Coriolis , pe care omologul său superior nu îl experimentează deasupra scenei, deși traiectoriile ambelor în sistemul inerțial al clădirii teatrului vor reprezenta linii drepte .

Dar ne putem imagina că sarcina colegilor luați în considerare aici este tocmai să tragă o linie dreaptă pe o scenă rotativă . În acest caz, partea de jos ar trebui să necesite ca partea de sus să se miște de-a lungul unei curbe care este o imagine în oglindă a urmei din vopseaua vărsată anterior, rămânând în același timp deasupra oricărui punct al unei linii drepte care trece în direcția radială aleasă. Prin urmare, mișcarea rectilinie într -un cadru de referință non-inerțial nu va fi astfel pentru un observator într-un cadru inerțial .

Mai mult, mișcarea uniformă a unui corp într-un sistem poate fi neuniformă în altul. Astfel, două picături de vopsea care au căzut în momente diferite dintr-o găleată cu scurgeri, atât în cadrul propriu de referință, cât și în cadrul colegului inferior imobil în raport cu clădirea (pe scena care deja a încetat să se rotească), vor se deplasează în linie dreaptă (spre centrul Pământului). Diferența va fi că pentru observatorul inferior această mișcare va fi accelerată , iar pentru colegul său de sus, dacă se împiedică și cade , mișcându-se împreună cu oricare dintre picături, distanța dintre picături va crește proporțional cu prima putere a timpului . , adică picăturile de mișcare reciprocă și observatorul lor în sistemul său de coordonate accelerat vor fi uniforme cu o viteză determinată de întârzierea dintre momentele căderii picăturilor; unde este accelerația de cădere liberă . $v=g\Delta t$ $\Delta t$ $g$

Prin urmare, forma traiectoriei și viteza corpului de-a lungul acesteia, luate în considerare într-un anumit cadru de referință, despre care nu se știe nimic dinainte , nu oferă o idee clară a forțelor care acționează asupra corpului. Este posibil să se decidă dacă acest sistem este suficient de inerțial numai pe baza unei analize a cauzelor apariției forțelor care acționează.

Astfel, într-un sistem neinerțial, în primul rând, curbura traiectoriei și/sau inconsecvența vitezei este un argument insuficient în favoarea afirmației că forțele externe acționează asupra unui corp care se deplasează de-a lungul acestuia, care în ultimul caz poate poate fi explicată prin câmpuri gravitaționale sau electromagnetice și, în al doilea rând, dreptatea traiectoriei este un argument insuficient în favoarea afirmației că nicio forță nu acționează asupra unui corp care se deplasează de-a lungul acestuia.

Mișcare fără tractor

Conform conceptelor de mecanică cuantică , în raport cu mișcarea unei microparticule (electron sau altele) într-un spațiu limitat, nu ar trebui să vorbim despre o traiectorie , ci despre evoluția densității probabilității de a detecta o particulă într-un punct dat . Această densitate de probabilitate este caracterizată [7] de pătratul modulului funcției de undă . Dependența de argumentele sale este determinată folosind ecuația Schrödinger . Având o funcție de undă, puteți găsi poziția „centroidului” care se modifică în timp (integrare - pe întreg volumul accesibil particulei). În limita în care lungimea de undă de Broglie a particulei este incomparabil mai mică decât dimensiunea regiunii spațiale de mișcare, această abordare devine echivalentă cu calculul obișnuit al traiectoriei. ${\vec {r}}(t)$ ${\vec {r))$ $|\psi ({\vec {r}},t)|^{2}$ $\psi$ $<{\vec {r}}(t)>=\int {\vec {r}}|\psi ({\vec {r}},t)|^{2}dV$

Vezi și

Mișcare compusă

Note

↑ Conceptul de traiectorie poate fi ilustrat destul de clar printr-o pistă de bob (dacă, în funcție de condițiile problemei, lățimea acesteia poate fi neglijată). Și este pista, și nu fasolea în sine .
↑ Dicţionar enciclopedic fizic, articol Traiectorie , p. 764 / cap. ed. A. M. Prokhorov - M .: Enciclopedia sovietică (1984).
↑ Deci strada, la începutul căreia atârnă semnul „cărămidă”, va rămâne , în principiu, traiectoria mișcării de-a lungul ei. Și trenurile de mase diferite, care se deplasează sub diferite forțe de tracțiune pe cârligele de cuplare ale locomotivelor și deci cu viteze diferite , se vor deplasa pe aceeași traiectorie, determinată de forma căii ferate, impunând conexiuni specifice deplasării unui corp (tren) , a cărui intensitate va fi în fiecare caz diferită
↑ 1 2 S. E. Khaikin . Forțe de inerție și imponderabilitate. M., 1967. Editura Ştiinţă. Ediția principală a literaturii fizice și matematice.
↑ Dicţionar enciclopedic fizic / Cap. ed. A. M. Prohorov. Roșu.col. D. M. Alekseev, A. M. Bonch-Bruevich, A. S. Borovik-Romanov și colab . pagina 282.
↑ Deci, Luna se învârte în jurul Pământului doar într-un cadru de referință asociat cu centrul lor de greutate comun (situat în interiorul globului). În cadrul de referință, al cărui început este Soarele, Luna se învârte în jurul lui pe aceeași orbită eliptică ca Pământul, dar cu abateri periodice de la acesta în funcție de distanța de la Lună la Pământ. Pur și simplu nu există circulație reciprocă a acestor corpuri cerești în acest caz. Prezența gravitației pentru a explica forma traiectoriei Lunii în sistemul de coordonate asociat cu Soarele nu este deloc necesară. Deci, dacă Pământul ar dispărea, Luna s-ar putea continua să se miște, ca corp ceresc independent, pe aceeași traiectorie veche, iar perturbațiile sale periodice ar putea fi explicate atunci, ca ipoteză, printr-o schimbare a forței gravitației, să zicem, datorita unei variatii a masei Soarelui datorita luminozitatii sale de pulsatie (care, de altfel, se observa de fapt in anumite limite). Și ambele forme menționate ale traiectoriei sunt adevărate, iar ambele explicații ale formei lor pe baza unei analize efectuate corect a forțelor care acționează sunt corecte. Dar ele se exclud reciproc, la fel cum posibilitatea luării în considerare simultană este exclusă atunci când alegeți unul sau altul sistem de coordonate.
↑ D. V. Galtsov. funcția de undă . BDT (2004). Preluat: 10 august 2022. (nedefinit)

În fizică, există o altă formulă pentru măsurarea traiectoriei (calea): s=4Atv, unde A este amplitudinea, t este timpul, v este frecvența de oscilație

Literatură

Newton I. Principii matematice ale filosofiei naturale. Pe. si aprox. A. N. Krylova. Moscova: Nauka, 1989
Frish S. A. și Timoreva A. V. Curs de fizică generală, manual pentru departamentele de fizică, matematică și fizică și tehnologie ale universităților de stat, volumul I. M .: GITTL, 1957

Link -uri

Vector de traiectorie și deplasare, o secțiune a unui manual de fizică

mișcare mecanică
sistem de referință	cadru inerțial de referință Cadrul de referință non-inerțial Mișcare compusă Principiul relativității
Punct material	Mișcare uniformă Mișcare rectilinie Ecuația mișcării Ecuații de mișcare într-un cadru de referință non-inerțial Traiectorie (cale) in miscare Viteză Accelerație ( accelerare centripetă accelerație tangențială ) liniuță
Corpul fizic	mișcare de translație Mișcare plan-paralelă ( translație paralelă ) Mișcare sferică ( Mișcare rotativă Mișcare circulară Precesiune nutatie )
continuum	flux laminar curgere turbulentă
Concepte înrudite	Planul de viteză Tracțiunea trenului Șase grade de libertate