Lich Grid

Rețeaua Lich este un anumit tip de rețea în spațiu cu 24 de dimensiuni .

Clădiri

Construcție prin codul Golay

Rețeaua Leach poate fi definită folosind codul Golay de tip ca imaginea unui set de vectori comprimați de un factor astfel încât ${\mathcal {C}}$ $[24,12,8]$ $2{\sqrt {2}}$ $(a_{1},\dots ,a_{{24}})\in \mathbb{Z } ^{{24}}$

a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{{24}}\equiv 4a_{1}\equiv 4a_{2}\equiv \cdots \equiv 4a_{{24}}{\pmod {8}}

iar pentru fiecare clasă j de resturi modulo 4, cuvântul binar de 24 de biți v, dat de

v_{i}={\begin{cases}1,&a_{i}\equiv j{\pmod {4)),\\0,&a_{i}\nu \equiv j{\pmod {4} },\end{cazuri}}

aparține . ${\mathcal {C}}$

Construcție prin spațiu de semnătură pseudo-euclidian (25,1)

Rețeaua Leach poate fi construită folosind spațiul de semnătură pseudo- euclidian (25.1). Și anume, în acest spațiu considerăm o rețea unimodulară pară constând din vectori ale căror coordonate sunt simultan întregi sau simultan jumătate întregi, iar în acest caz , cu alte cuvinte, produsul scalar cu un vector al tuturor unităților este par. $\mathrm {II} _{25,1}$ $(x_{0},\dots ,x_{{25}})$ $x_{0}+\dots +x_{{24}}-x_{{25}}\în 2\mathbb{Z }$

Un vector izotrop aparține unei astfel de rețele . Rețineți că datorită izotropiei lui , putem deci considera spațiul coeficientului . Restricția produsului scalar la acest spațiu coeficient (din nou, datorită izotropiei lui ) este bine definită și se dovedește a fi definită pozitivă. Imaginea de intersecție a rețelei originale cu complement ortogonal sub o astfel de factorizare va fi rețeaua Leach în spațiul euclidian de 24 de dimensiuni rezultat [1] . $u=(0,1,\dots ,24,70)$ $u\in \langle u\rangle ^{{\perp ))$ $\langle u\rangle ^{{\perp }}/\langle u\rangle$ $u$ $(\langle u\rangle ^{{\perp }}\cap {\mathrm {II}}_{{{25,1}})/\langle u\rangle$

Proprietăți

Rețeaua Leach este o rețea uniformă auto-duală (în special, unimodulară ), cu lungimea celui mai scurt vector egală cu 2.

Rețeaua Leach realizează numărul de contact maxim posibil [ 2] [3] în dimensiunea 24. Numărul său de contact este [2] [3] 196560

Rețeaua Leech implementează cea mai densă [4] [5] împachetare de bile în dimensiunea 24. Densitatea de împachetare a rețelei Leech este de . ${\tfrac {\pi ^{12}}{12!}}\aproximativ 0,001930$

Grupul de automorfism al rețelei Leach este grupul Conway Co 0 . Include unele grupuri sporadice , inclusiv Co 1 ca grup de factori de Co 0 prin inversare spațială, Co 2 și Co 3 ca subgrupe. Grupul Conway are ordinul 8 315 553 613 086 720 000. Deși simetria de rotație a rețelei Leach este foarte mare, grupul său de automorfism nu include nicio reflexie; cu alte cuvinte, rețeaua Leach este chirală .

Vezi și

Grila E8

Literatură

J. Conway, N. Sloan . Ambalaje de sfere, zăbrele și grupuri. — M.: Mir, 1990.

Note

↑ JH Conway, NJA Sloane. Capitolul 26, Teorema 3(b) // Ambalări de sfere, zăbrele și grupuri (engleză) . — p. 524.
↑ 1 2 „Numărul de contact al bilelor și codurilor sferice” Copie de arhivă din 14 octombrie 2008 la Wayback Machine - un film din seria „ Etudii matematice ”
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Leech Lattice (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
↑ Adnotare la curs de V. V. Uspensky The Lich Lattice, sau Towards the Monster Arhiva copie din 7 februarie 2009 la Wayback Machine
↑ Lisa Grossman. O nouă dovadă de matematică arată cum să stivuiți portocale în 24 de dimensiuni // New Scientist . - 2016. - 28 martie.