Rețea unimodulară

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 25 iunie 2021; verificarea necesită 1 editare .

O rețea unimodulară este o rețea întreagă cu determinant . Acesta din urmă este echivalent cu faptul că volumul regiunii fundamentale a rețelei este de . $\pm 1$ $unu$

Definiții

Rețeaua este un grup abelian liber de rang finit cu o formă biliniară simetrică . ${\mathbb Z}^{n}$ $n$ $({*},{*})$
O rețea poate fi văzută și ca un subgrup al unui spațiu vectorial real cu o formă biliniară simetrică . $\mathbb {R} ^{n}$
Numărul se numește dimensiunea rețelei, este dimensiunea spațiului vectorial real corespunzător ; este același cu rangul -modulului sau numărul de generatori ai unui grup liber . $n$ $\mathbb {Z}$ ${\mathbb Z}^{n}$ ${\mathbb Z}^{n}$
Rețeaua se numește întreg dacă forma ia numai valori întregi. $({*},{*})$
Norma unui element de rețea este definită ca . $A$ $(a,a)$
Se spune că o rețea este definită pozitiv sau Lorentzian și așa mai departe, dacă spațiul său vectorial este astfel. În special:
- O rețea este definită pozitivă dacă norma tuturor elementelor nenule este pozitivă.
- Semnătura unei rețele este definită ca semnătura unei forme pe un spațiu vectorial.
Determinantul unei rețele este determinantul matricei Gram a bazei sale.
O rețea se numește unimodulară dacă determinantul său este . $\pm 1$
O rețea unimodulară se numește chiar dacă toate normele elementelor sale sunt pare.

Exemple

$\mathbb {Z} \subset \mathbb {R}$ , precum și rețele unimodulare. $\mathbb {Z} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{n}$
Lattice E8 , Leach lattice sunt chiar și latice unimodulare.

Proprietăți

Pentru o rețea dată în vectori astfel încât pentru oricare formează și o rețea numită rețea duală la . $\Lambda \in \mathbb {R} ^{n}$ $x\in \mathbb {R} ^{n}$ $(x,a)\in \mathbb {Z}$ $a\in \Lambda$ $\lambda$
- O rețea întreagă este unimodulară dacă și numai dacă rețeaua sa duală este integrală.
- O rețea unimodulară este identică cu cea duală. Din acest motiv, rețelele unimodulare sunt numite și auto-duale .
Există zăbrele unimodulare ciudate pentru toate semnăturile.
O rețea uniformă unimodulară cu semnătură există dacă și numai dacă este divizibil cu 8. $(m,n)$ $mn$
- În special, chiar și rețelele unimodulare definite pozitiv există numai în dimensiuni divizibile cu 8.
Funcția theta a rețelelor definite pozitive unimodulare este forma modulară .

Aplicații

Cel de-al doilea grup de coomologie de varietăți topologice cu patru dimensiuni orientate simplu și închise este o rețea unimodulară. Mikhail Fridman a arătat că această rețea definește practic o varietate: există o singură varietate pentru fiecare rețea unimodulară pară și exact două pentru fiecare rețea unimodulară impară.
- În special, pentru forma nulă, aceasta implică conjectura Poincaré pentru varietăți topologice cu 4 dimensiuni.
- Teorema lui Donaldson spune că dacă o varietate este netedă și rețeaua ei este definită pozitiv, atunci trebuie să fie o sumă de copii a . $\mathbb {Z}$
  - În special, majoritatea acestor colectoare nu au o structură netedă.

Literatură

Bacher, Roland & Venkov, Boris (2001), Réseaux entiers unimodulaires sans racine en dimension 27 et 28 , în Martinet, Jacques, Réseaux euclidiens, designs sphériques et formes modulaires , voi. 37, Mongr. Enseign. Math., Geneva: L'Enseignement Mathematique, p. 212–267, ISBN 2-940264-02-3 Arhivat la 28 septembrie 2007 la Wayback Machine
Conway, JH & Sloane, NJA (1999), Sphere packings, lattices and groups , voi. 290 (Ed. a treia), Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, New York, NY: Springer-Verlag , ISBN 0-387-98585-9
King, Oliver D. (2003), A mass formula for unimodular lattices with no roots , Mathematics of Computation vol. 72 (242): 839–863 , DOI 10.1090/S0025-5718-02-01455-2
Milnor, John & Husemoller, Dale (1973), Symmetric Bilinear Forms , voi. 73, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , New York-Heidelberg: Springer-Verlag , ISBN 3-540-06009-X , DOI 10.1007/978-3-642-88330-9
Serre, Jean-Pierre (1973), Un curs de aritmetică , voi. 7, Texte de absolvent în matematică , Springer-Verlag , ISBN 0-387-90040-3 , DOI 10.1007/978-1-4684-9884-4

Link- uri externe

Catalogul Grilelor Unimodulare de Neil Sloan .
Sloane's A005134: Number of n-dimensional unimodular lattices ", The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences . OEIS Foundation.