Grupuri Conway

Grupurile Conway  sunt cele trei grupuri simple sporadice Co 1 , Co 2 și Co 3 introduse de Conway împreună cu grupul finit Co 0 [1] [2] asociat acestora .

Cel mai mare dintre grupurile Conway, Co 0 , este grupul de automorfism al rețelei Leach . Acest grup este în ordine

Nu este un simplu grup. Grupul simplu Co de ordinul 1

este definit ca grupul de factori al grupului Co 0 prin centrul său , care constă din matrici scalare ±1.

Produsul scalar pe rețeaua Leach este definit ca 1/8 din suma produselor coordonatelor corespunzătoare ale celor doi vectori înmulțiți. Acesta este un număr întreg. Norma pătratică a unui vector este egală cu produsul scalar al vectorului și al însuși, întotdeauna un întreg par. Se vorbește adesea despre tipul de vector de rețea Leach, care este egal cu jumătate din normă. Subgrupurile sunt adesea denumite în funcție de tipurile de puncte fixe corespunzătoare. Rețeaua nu are vectori de tip 1.

Grupurile Co 2 (de ordinul 42.305.421.312.000 ) și Co 3 (de ordinul 495.766.656.000 ) constau din automorfisme care păstrează vectorii de tip 2 și, respectiv, de tip 3. Deoarece înmulțirea cu scalarul −1 nu păstrează niciun vector diferit de zero, aceste două grupuri sunt izomorfe cu subgrupurile de Co 1 .

Istorie

Thomas Thompson [3] a descris modul în care John Leach a investigat împachetarea densă a sferelor în spații euclidiene cu dimensiuni mari în jurul anului 1964 . Una dintre descoperirile lui Leach a fost o stivuire a rețelei în spațiu cu 24 de dimensiuni, bazată pe ceea ce a ajuns să fie numit rețeaua Leach . El a decis să afle dacă grupul de simetrie al rețelei conținea grupuri simple interesante, dar a simțit că are nevoie de ajutorul unei persoane mai bine informate în teoria grupurilor. A căutat o astfel de persoană multă vreme, dar matematicienii erau ocupați cu propriile sarcini. John Conway a fost de acord să se uite la sarcină. John G. Thompson a declarat că va lua parte la lucrare dacă Conway va găsi ordinea grupului . Conway a crezut că va petrece luni sau ani pe această problemă, dar a obținut rezultatul în câteva zile.

Witt [4] a susținut că a găsit rețeaua Leach în 1940 și a sugerat că a calculat ordinea grupului său de automorfism Co 0 .

Subgrupul monomial N al grupului Co 0

Conway și-a început cercetările asupra Co 0 cu un subgrup pe care l-a numit N. Este un holomorf codului binar (extins) Golay , reprezentat ca o mulțime de matrici diagonale c 1 sau −1 pe diagonală, adică extinderea lui prin grupul Mathieu M 24 (ale cărui elemente sunt reprezentate ca matrici de permutare ). N = 212 : M24 .

Reprezentarea standard a codului binar Golay folosit în acest articol aranjează 24 de coordonate astfel încât 6 blocuri consecutive de 4 (tetrade) să formeze un sextet .

Matricele grupului Co 0 sunt ortogonale . Adică lasă produsul punctual neschimbat. Matricea inversă este transpunerea acesteia . Co 0 nu conține matrici cu determinantul −1.

Rețeaua Leach poate fi definită ca modulul Z generat de mulțimea tuturor vectorilor de tip 2 constând din

si imaginile lor sub actiunea lui N . sub influența lui N se descompune în 3 orbite de mărimea 1104, 97152 și 98304. Apoi . Conway a bănuit cu tărie că Co 0 este tranzitiv pe , și, în plus, a descoperit o nouă matrice, nici monomială , întreagă.

Fie  o matrice 4×4

Acum să fie  o matrice de 6 blocuri cu un număr impar și [5] [6] . este o matrice simetrică și ortogonală și, prin urmare, este o involuție . Permută vectori între diferite orbite ale grupului N .

Pentru a calcula , cel mai bine este să luați în considerare un set de vectori de tip 4. Orice vector de tip 4 este exact unul dintre cei 48 de vectori de tip 4 comparabili între ei modulo , care se încadrează în 24 de perechi ortogonale . Un set de 48 de astfel de vectori se numește cadru . N are un cadru standard de 48 de vectori de forma (±8, 0 23 ) ca o orbită . Subgrupul care fixează cadrul dat este conjugat cu N . Grupul 2 12 , care este izomorf la codul Golay, acţionează ca o inversare a semnului vectorilor cadru, în timp ce M 24 permută cele 24 de perechi ale cadrului. Co 0 poate fi arătat a fi tranzitiv pe . Conway a înmulțit ordinul grupului N și numărul de cadre, acesta din urmă este egal cu raportul . Acest produs este de ordinul oricărui subgrup de Co 0 care conține strict N . Prin urmare, N este un subgrup maxim al grupului Co 0 și conține 2-subgrupuri Sylow ale grupului Co 0 . N este, de asemenea, un subgrup Co 0 al tuturor matricelor cu intrări întregi.  

Deoarece include vectori de forma (±8, 0 23 ) , Co 0 constă din matrici raționale în care toți numitorii împart 8.

Cea mai mică reprezentare non-trivială a grupului Co 0 peste orice câmp este 24-dimensională, care decurge din rețeaua Leach și este exact peste câmpuri cu caracteristică diferită de 2.

Involuții în Co 0

Orice involuție în Co 0 poate fi demonstrată a fi conjugată cu un element din codul Golay. Co 0 are 4 clase de involuții de conjugație.

O matrice de permutare de forma 2 12 poate fi demonstrată a fi conjugată cu dodecade . Centralizatorul său [7] are forma 2 12 :M 12 și are conjugări în interiorul subgrupului monomial. Orice matrice din această clasă conjugată are urmă 0.

O matrice de permutare de forma 2 8 1 8 se poate dovedi a fi conjugată la o octad . Are urma 8. Ea și opusul său (urma −8) au un centralizator comun de forma , un subgrup maxim în Co 0 .

Grupuri subrețele

Conway și Thompson au descoperit că cele patru grupuri simple sporadice descoperite recent descrise în lucrarea conferinței [8] sunt izomorfe la subgrupuri sau grupuri de factori de subgrupuri de Co 0 .

Conway însuși a folosit notația pentru stabilizatorii de puncte și subspații prefixând-o cu un punct. Excepțiile au fost •0 și •1 , acum cunoscute ca Co 0 și Co 1 . Pentru un număr întreg , să notăm stabilizatorul punctelor de tip n (vezi mai sus) în rețeaua Leach.

Conway a introdus apoi denumiri pentru stabilizatorii plani definiți prin triunghiuri având originea ca vârf. Fie •hkl stabilizatorul punctual al unui triunghi cu muchii (diferențe de vârfuri) de tipul h , k și l . În cele mai simple cazuri, Co 0 este tranzitiv pe puncte sau triunghiuri, iar grupurile de stabilizatori sunt definite până la conjugare.

Conway a identificat •322 cu grupul McLaughlin McL (comanda 898.128.000 ) și •332 cu grupul Higman-Sims HS (comanda 44.352.000 ). Ambele au fost descoperite recent.

Mai jos este un tabel [9] [10] al unor grupuri de subrețele:

Alte două subgrupuri sporadice

Două subgrupuri sporadice pot fi definite ca grupuri de factori de stabilizatori ai structurilor de pe rețeaua Leach. Identificarea lui R24 cu C12 și cu _

grupul de automorfisme rezultat (adică grupul de automorfisme ale rețelei Leach care păstrează structura complexă ), atunci când este împărțit la grupul de șase elemente de matrici scalare complexe, dă grupul Suzuki Suz (de ordinul 448.345.497.600). ). Acest grup a fost descoperit în 1968 de Michio Suzuki.

O construcție similară dă grupul Janko J 2 (de ordinul 604.800 ) ca un grup de factori de automorfisme cuaternioane peste grupul scalar ±1.

Cele șapte grupuri simple descrise mai sus includ ceea ce Robert Griss a numit a doua generație a familiei fericite , care constă din 20 de grupuri simple sporadice găsite în monstru . Unele dintre cele șapte grupuri conțin cel puțin unele dintre cele cinci grupuri Mathieu care alcătuiesc prima generație .

Produse de lant Suzuki ale grupurilor

Co 0 are 4 seturi de elemente de ordinul 3. În M 24 un element de forma 3 8 formează un grup normal în copia S 3 care comută cu un subgrup simplu de ordinul 168. Produsul direct din M 24 permută octade ale trioului și permută cele 14 matrici din subgrupul monomial. În Co 0 acest normalizator monomial este extins la un subgrup maxim de forma , unde 2.A 9 este o acoperire dublă a grupului alternant A 9 [11] .

John Thompson a subliniat că ar fi fructuos să se studieze normalizatorii de grupuri mici de forma 2.A n [12] . Unele subgrupe maxime Co 0 se găsesc în acest fel. Mai mult, două grupuri sporadice apar în lanțul rezultat.

Există un subgrup , doar unul dintre lanțurile sale nu este maxim în Co 0 . În plus, există un subgrup . Urmează . Grupul unitar (ordinul 6048 ) este asociat cu grupul de automorfism al graficului cu 36 de vârfuri, anticipând următorul subgrup. Acest subgrup este în care apare Janko Group J2 . Graficul de mai sus se extinde la un grafic Hall-Yanko cu 100 de vârfuri. Urmează grupul G 2 (4), care este un grup excepțional de tip Lie [13] [16] .

Lanțul se termină cu 6.Suz:2 (Suz= Sporadic Suzuki Group ), care, așa cum sa menționat mai sus, păstrează reprezentarea complexă a rețelei Leach.

Prostii monstruoase generalizate

Conway și Norton au sugerat într-o lucrare din 1979 că ar putea exista o contrapartidă la prostia monstruoasă și pentru alte grupuri. Larisa Kuin și alții au descoperit succesiv că este posibil să se construiască extensii ale multor module principale (în literatura engleză, termenul Hauptmodul este împrumutat din limba germană, literal - modulul principal) din simple combinații de dimensiuni ale grupurilor sporadice. Pentru grupurile Conway, seriile McKay-Thompson corespunzătoare sunt ={1, 0, 276, −2048 , 11 202 , −49 152 , …} ( A007246 ) și ={1, 0, 276, 2048 , 11 202 5 , 11 201 , …} ( A097340 ), unde termenul constant este a(0)=24 ,

și este funcția Dedekind eta .

Note

1. ↑ Conway, 1968 .
2. ↑ Conway, 1969 .
3. ^ Thompson, 1983 .
4. ↑ Witt, 1998 , p. 329.
5. ↑ Griess, 1998 , p. 97.
6. ↑ Thompson, 1983 , p. 148–152.
7. ↑ Centralizatorul unei matrice este ansamblul de matrici care fac naveta cu aceasta ( Arnold 1999 ).
8. ↑ Brauer, Sah, 1969 .
9. ↑ Conway, Sloane, 1999 , p. 291.
10. ↑ Griess, 1998 , p. 126.
11. ↑ Wilson, 2009 , p. 27.
12. ↑ Conway, 1971 , p. 242.
13. ↑ Wilson, 2009 , p. 219.
14. ↑ Wilson, 2009 , p. 9.
15. ↑ Wilson, 2009 , p. 82.
16. ↑ Aici două puncte înseamnă o extensie divizată a unui grup ( produs semidirect ) [14] , semnul ◦ înseamnă produsul central al grupurilor — grupul de factori al produsului direct al grupurilor prin centrul său [15] .

Literatură

• Arnold VI Metode geometrice în teoria ecuațiilor diferențiale ordinare. - A doua editie. - Izhevsk: MTSNMO, VKM NMU, 1999. - ISBN 5-89806-028-4 .
• John Horton Conway . Un grup perfect de ordin 8.315.553.613.086.720.000 și grupurile simple sporadice // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America . - 1968. - T. 61 , nr. 2 . — S. 398–400 . - doi : 10.1073/pnas.61.2.398 .
• Teoria grupurilor finite: un simpozion / Brauer R., Chih-han Sah. — W.A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1969.
• John Horton Conway . Un grup de ordin 8.315.553.613.086.720.000 // Buletinul Societății de Matematică din Londra. - 1969. - T. 1 . — p. 79–88 . — ISSN 0024-6093 . - doi : 10.1112/blms/1.1.79 .
• John Horton Conway . Trei prelegeri despre grupuri excepționale // Grupuri simple finite / Powell MB, Higman G. - Boston, MA: Academic Press , 1971. - pp. 215–247. — (Proceedings of an Instructional Conference organizată de London Mathematical Society (a NATO Advanced Study Institute), Oxford, septembrie 1969.). - ISBN 978-0-12-563850-0 . Retipărit înConway, Sloane (1999, 267–298)
• John Horton Conway , Neil Sloane . Ambalaje sferice, zăbrele și grupuri . — al 3-lea. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1999. - T. 290. - (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften). - ISBN 978-0-387-98585-5 .
• Thomas M. De la coduri de corectare a erorilor prin sfere de ambalare la grupuri simple . - Mathematical Association of America , 1983. - V. 21. - (Carus Mathematical Monografii). - ISBN 978-0-88385-023-7 .
• John Horton Conway , Richard A. Parker, Simon P. Norton, Curtis RT, Robert A. Wilson. Atlas de grupuri finite . - Oxford University Press , 1985. - ISBN 978-0-19-853199-9 .
• Robert L. Griess Jr. Douăsprezece grupuri sporadice. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1998. - (Monografii Springer în matematică). - ISBN 978-3-540-62778-4 .
• Atlasul reprezentărilor grupurilor finite: Co 1 versiunea 2
• Atlas of Finite Group Representations: Co 1 Arhivat 27 martie 2008 la Wayback Machine versiunea 3
• Robert A. Wilson. Subgrupurile maxime ale grupului lui Conway Co₁ // Journal of Algebra. - 1983. - T. 85 , nr. 1 . — S. 144–165 . — ISSN 0021-8693 . - doi : 10.1016/0021-8693(83)90122-9 .
• Robert A. Wilson. Pe 3-subgrupurile locale ale grupului lui Conway Co₁ // Journal of Algebra. - 1988. - T. 113 , nr. 1 . — S. 261–262 . — ISSN 0021-8693 . - doi : 10.1016/0021-8693(88)90192-5 .
• Robert A. Wilson. Grupurile simple finite. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 2009. - (Texte de absolvire în matematică 251). - ISBN 978-1-84800-987-5 . - doi : 10.1007/978-1-84800-988-2 .
• Ernst Witt. Hârtii adunate. Gesammelte Abhandlungen. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1998. - ISBN 978-3-540-57061-5 .
• RT Curtis, BT Fairburn. Reprezentarea simetrică a elementelor Grupului Conway •0 // Journal of Symbolic Computation. - 2009. - Emisiune. 44 . - S. 1044-1067 .