Rândul Dirichlet

Lângă Dirichlet se numește un rând al formei

\sum _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {a_{n}}{n^{s}}},

unde s și a n sunt numere complexe , n = 1, 2, 3, … .

Abscisa convergenței unei serii Dirichlet este un număr astfel încât atunci când converge; abscisa convergenței absolute este un astfel de număr încât pentru serie converge absolut . Pentru orice serie Dirichlet, relația este valabilă (dacă și sunt finite). $\sigma _{c}$ $\operatorname {Re}s>\sigma _{c}$ $\sigma _{a}$ $\operatorname {Re} s>\sigma _{a}$ $0\leqslant \sigma _{a}-\sigma _{c}\leqslant 1$ $\sigma _{c}$ $\sigma _{a}$

Această serie joacă un rol semnificativ în teoria numerelor . Cele mai comune exemple de serie Dirichlet sunt funcția zeta Riemann și funcția L Dirichlet . Rândul este numit după Gustav Dirichlet .

Convergență în diferite puncte

Dacă o serie converge într-un punct complex , atunci aceeași serie converge în orice punct pentru care . De aici rezultă că există un punct astfel încât pentru , seria converge, iar pentru , ea diverge. Un astfel de punct se numește abscisa de convergență. $s_{0}=\sigma _{0}+t_{0}i$ $s=\sigma +ti$ $\sigma >\sigma _{0}$ $\sigma=\sigma _{c}$ $\operatorname {Re}s>\sigma _{c}$ $\operatorname {Re}s<\sigma _{c}$

Abscisa convergenței absolute pentru o serie este un punct astfel încât la , seria converge absolut. Este adevărat că . $\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s)))$ $\sigma _{a}$ $\operatorname {Re} s>\sigma _{a}$ $0\leqslant \sigma _{a}-\sigma _{c}\leqslant 1$

Comportamentul funcției la poate fi diferit. Edmund Landau a arătat că un punct este singular pentru unele serii Dirichlet dacă este abscisa sa de convergență. $\operatorname {Re}s$ $s=\sigma _{c}$ $\sigma _{c}$

Exemple

\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s))},

unde este funcția zeta Riemann . $\zeta (s)$

{\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}},

unde μ( n ) este funcţia Möbius .

{\frac {1}{L(\chi,s)))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\chi (n)}{n ^{s}}},

unde este funcția L Dirichlet . $L(\chi ,s)$

\operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{s}}},

unde Li s ( z ) este polilogaritmul .

serie armonică

\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}} +{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{k}}+\cdots

diverge.

Secvențe și rânduri
Secvențe	Succesiunea numerică Secvență fundamentală Secvență liniară recurentă numerele Fibonacci numere ondulate Factorială secvența Barker de bruijn secvenţă
Rânduri, de bază	Suma rândurilor Restul rândului Convergență condiționată Serii alternante Rând multisecțiune
Seria de numere ( operații cu seria de numere )	serie armonică seria Leibniz O serie de pătrate inverse O serie de numere prime reciproce rândul Dirichlet Seria Mercator Row Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
rânduri funcționale	Seria Taylor Seria Laurent Seria Fourier Seria Fourier trigonometrică serie trigonometrică Seria Wiener
Alte tipuri de rânduri	Seria Neumann rândul Puiseux