Legătura Gauss-Manin

Cu un fascicul ale cărui fibre sunt varietăți netede (sau varietăți algebrice netede ), se poate asocia un pachet cu o conexiune plată , numită conexiune Gauss-Manin .

Definiție

Să fie un mănunchi ale cărui fibre sunt colectoare netede. Luați în considerare un pachet vectorial cu fibre . Cu alte cuvinte, în locul fiecărei frunze îi atârnăm -a- a coomologie de Rham . Conform teoremei lui Ehresmann $Y\la X$ $Y_{x)$ $E\la X$ $E_{x}=H_{\mathrm {dR} }^{k}(Y_{x})$ $k$ , fasciculele netede sunt local banale, astfel încât într-o vecinătate de bază suficient de mică se pot identifica fibrele între ele și se pot declara ca secțiuni netede secțiunile care corespund variațiilor netede ale clasei de coomologie sub banalizare. Strict vorbind, nu am definit un pachet, ci doar un snop , dar acesta va fi într-adevăr un snop de secțiuni ale mănunchiului. $E$

Pentru simplitate, să presupunem pentru un moment că straturile sunt compacte. Coomologia de Rham a unei varietăți compacte este izomorfă cu coomologia singulară , astfel încât fiecare strat are o rețea de coomologie întreagă care depinde fără probleme de punct . Conexiunea Gauss-Manin este definită ca conexiunea în raport cu care secțiunile locale, care în fiecare punct iau valori în această rețea întreagă, sunt plate. $H^{k}(Y_{x},\mathbb {Z} )\otimes \mathbb {R}$ $E_{x)$ $X$

Descrierea conexiunii Gauss-Manin în termeni de secțiuni plane oferă o modalitate convenabilă de a o vizualiza, cu toate acestea, pentru existența sa, prezența unei structuri întregi pe coomologie nu este absolut necesară. Admite următoarea descriere. Alegem conexiunea Ehresmann din pachet $Y\la X$ $H\subset TY$ . Dacă - un fel de secțiune, aceasta poate fi realizată printr-un set de forme închise . Conexiunea Ehresmann aleasă ne permite să o extindem la o singură formă , redefinindu-l în direcții transversale straturilor printr-o condiție pentru toți . Rețineți că acest formular nu trebuie să fie închis. Definim legătura Gauss-Manin astfel: . Aici este un câmp vectorial arbitrar pe bază și este ridicarea acestuia cu ajutorul conexiunii Ehresmann, adică secțiunea , care, atunci când este proiectată pe bază, devine . Verificarea că aceasta este o conexiune bine definită (adică că o astfel de derivată Lie va fi închisă în restricția de strat, iar această operație satisface identitatea Leibniz) nu este dificilă; este ceva mai dificil de demonstrat că nu depinde de alegerea conexiunii Ehresmann. $s\in \Gamma (E)$ $\sigma _{x}\in \Omega ^{k}(Y_{x})$ $\sigma \in \Omega ^{k}(Y)$ $\iota _{h}\sigma =0$ $h\în H$ $\nabla$ $(\nabla _{v}s)_{x}=\left[\left(\mathrm {Minciuna} _{\widetilde {v}}\sigma \right)|_{Y_{x}}\ dreapta]\în H_{\mathrm {dR} }^{k}(Y_{x})$ $v$ ${\widetilde {v)}$ $H$ $v$

Această definiție a conexiunii Gauss-Manin este formulată elegant în termeni de algebre gradate diferențiat. Acest lucru ne permite să transferăm definiția conexiunii Gauss-Manin la geometria necomutativă : Getzler[1] și Kaledin [2] au construit conexiunea Gauss-Manin pe omologie ciclică periodică.

Aplicație

Conexiunea Gauss-Manin în prima coomologie a unei familii de curbe eliptice cu ecuații peste o sferă Riemann perforată parametrizată de un parametru complex definește o ecuație diferențială cunoscută sub numele de ecuația Picard-Fuchs $x^{3}+y^{3}+z^{3}=\lambda xyz$ $\lambda$ . Gauss a considerat o ecuație similară pentru o familie de curbe ; o descriere generală a unor astfel de ecuații în cazul în care baza este o curbă algebrică a fost dată de Manin [3] , iar în cazul general de Grothendieck [4] . El deține numele „Conexiunea Gauss-Manin”, precum și o descriere abstractă algebrică-geometrică a acestei conexiuni ca una dintre săgețile din secvența spectrală Leray. $y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )$ pentru un fascicul potrivit.

Conexiunea Gauss-Manin este folosită și în geometria simplectică . Și anume, să fie un mănunchi ale cărui fibre sunt tori lagrangieni . Spațiul tangent la baza unui astfel de mănunchi poate fi identificat cu un anumit subspațiu în spațiul de secțiuni ale fasciculului normal la fibra care atârnă deasupra acestui punct. Dar pentru o subvarietate lagrangiană, fasciculul normal este izomorf cu fasciculul cotangent, astfel încât aceste secțiuni definesc forme 1 diferențiale pe fibră. Se pare că aceste forme sunt închise, iar clasele lor de coomologie sunt toate clasele de prima coomologie posibile ale fibrei. Astfel, fasciculul tangent la baza unui mănunchi lagrangian este izomorf cu fasciculul de fibre de prima coomologie și, prin urmare, are o conexiune plată canonică, conexiunea Gauss-Manin. În mecanică, această afirmație are un corolar cunoscut sub numele de teorema Liouville-Arnold : pentru un sistem hamiltonian care are atâtea integrale independente în involuție câte grade de libertate, ecuațiile mișcării pot fi rezolvate în cuadraturi. O versiune holomorfă a teoremei Liouville-Arnold definește o conexiune monodromică plată în afara unui divizor pe , baza unui mănunchi lagrangian holomorf pe o varietate hiperkähler $Y\la X$ $\mathrm {SL} (2n,\mathbb {Z} )\ltimes \mathbb {R} ^{2n}$ $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$ . Cel mai ilustrativ caz, când spațiul total este o suprafață K3 , straturile sunt curbe eliptice, iar baza este o sferă Riemann cu 24 de perforații, a fost studiat de Kontsevich și Soibelman.[5] .

Note

↑ Copie arhivată (link nu este disponibil) . Preluat la 20 octombrie 2018. Arhivat din original la 26 martie 2015. (nedefinit)
↑ [https://web.archive.org/web/20181021024529/https://arxiv.org/abs/math/0702068v2 Arhivat 21 octombrie 2018 la Wayback Machine [math/0702068v2] Omologie ciclică cu coeficienți]
↑ Curbe algebrice peste câmpuri cu diferențiere
↑ Despre coomologia de Rham a soiurilor algebrice . Preluat la 20 octombrie 2018. Arhivat din original la 16 decembrie 2018. (nedefinit)
↑ [https://web.archive.org/web/20200528162044/https://arxiv.org/abs/math/0406564 Arhivat 28 mai 2020 la Wayback Machine [math/0406564] Structuri afine și analitică non-archimediană spatii]