Spațiu simetric

Un spațiu simetric este o varietate riemanniană al cărei grup de izometrie conține simetrii centrale centrate în orice punct.

Istorie

Studiul spațiilor simetrice a fost inițiat de Eli Cartan . În special, a primit o clasificare în 1926.

Exemple

spațiu euclidian ,
sfere ,
Diverse spații proiective cu metrică naturală.
Spațiul Lobaciovski
Grupuri de Lie compacte semisimple cu metrică Riemanniană bi-invariantă.
Orice suprafață compactă de genul 2 și mai sus (cu o metrică de curbură constantă ) este un spațiu simetric local, dar nu un spațiu simetric. $-unu$

Definiție

Fie o varietate riemanniană conexă și un punct în . $M$ $p$ $M$

O mapare se numește simetrie geodezică centrată într-un punct dacă $s_{p}\colon M\la M$ $p$

s_{p}\circ \exp _{p}=-\exp _{p}.

O mapare definită pe o vecinătate a unui punct se numește simetrie geodezică locală centrată în punctul dacă $s_{p}\colon U\to U$ $\varepsilon$ $U$ $p$ $p$

s_{p}\circ \exp _{p}(v)=-\exp _{p}(v)

la . $|v|<\varepsilon$

O varietate Riemanniană se spune a fi simetrică dacă simetria centrală este definită pentru fiecare punct și este, de asemenea, o izometrie . $M$ $M$

Dacă aceeași condiție este valabilă pentru simetria geodezică locală, atunci se numește spațiu local simetric . $M$

Definiții înrudite

Se spune că un spațiu simetric simplu conexat este ireductibil dacă nu este izometric la produsul a două sau mai multe spații simetrice riemanniene.
- Se spune că un spațiu simetric ireductibil este de tip compact dacă are o curbură în secțiune nenegativă (dar nu identică zero) .
- Un spațiu simetric ireductibil se numește spațiu de tip necompact dacă are o curbură în secțiune nepozitivă (dar nu identic zero) .
Rangul unui spațiu simetric este dimensiunea maximă a unui subspațiu al spațiului tangent într-un anumit punct (și, prin urmare, în orice) punct în care curbura este identic zero.

Proprietăți

O varietate Riemanniană este simetrică local dacă și numai dacă tensorul său de curbură este paralel .

Orice spațiu simplu conectat , complet , simetric local este simetric.
- În special, acoperirea universală a unui spațiu local simetric este simetrică.

Grupul de izometrie al unui spațiu simetric acționează tranzitiv asupra acestuia.
- În special, orice spațiu simetric este un spațiu omogen , unde este un grup Lie și este subgrupul său. $G/K$ $G$ $K$

Orice spațiu simetric pur și simplu conectat este izometric la un produs de ireductibile.

Rangul unui spațiu simetric este întotdeauna cel puțin 1.
- Dacă rangul este 1, atunci curbura secțiunii este pozitivă sau negativă în toate direcțiile secțiunii, iar spațiul este ireductibil.
- Spațiile de tip euclidian au un rang egal cu dimensiunea lor și sunt izometrice față de un spațiu euclidian al acelei dimensiuni.

Clasificare

Orice spațiu simetric este omogen , mai jos este clasificarea prin și , desemnările spațiilor sunt aceleași ca în Cartan. $G/K$ $G$ $K$

Desemnare	G	K	Dimensiune	Rang	Descriere geometrică
AI	${\mathrm {SU}}(n)$	${\mathrm {SO}}(n)$	$(n-1)(n+2)/2$	n - 1	Spațiul tuturor structurilor reale pe păstrarea determinantului complex $\mathbb{C}^n$
AI	$\mathrm {SU} (2n)$	$\mathrm {Sp} (n)$	$(n-1)(2n+1)$	n - 1	Spațiul structurilor cuaternioane pe cu o metrică hermitiană fixă $\mathbb {C} ^{2n)$
III	$\mathrm {SU} (p+q)$	$\mathrm {S} (\mathrm {U} (p)\times \mathrm {U} (q))$	$2pq$	min( p , q )	Grassmannian al subspațiilor p -dimensionale complexe în $\mathbb {C} ^{p+q}$
BDI	$\mathrm {SO} (p+q)$	$\mathrm {SO} (p)\times \mathrm {SO} (q)$	$pq$	min( p , q )	Grassmanian de p -dimensional orientat $\mathbb {R} ^{p+q)$
III	$\mathrm {SO} (2n)$	$\mathrm {U} (n)$	$n(n-1)$	[ n /2]	Spațiul structurilor complexe ortogonale pe $\mathbb {R} ^{2n)$
CI	$\mathrm {Sp} (n)$	$\mathrm {U} (n)$	$n(n+1)$	n	Spațiul structurilor complexe pe structuri care păstrează scalari $\mathbb {H} ^{n)$
II	$\mathrm {Sp} (p+q)$	$\mathrm {Sp} (p)\times \mathrm {Sp} (q)$	$4pq$	min( p , q )	Grassmannian al subspațiilor cuaternioane p -dimensionale în $\mathbb {H} ^{p+q)$
EI	$E_{6}$	$\mathrm {Sp} (4)/\{\pm I\)$	42	6
EII	$E_{6}$	$\mathrm {SU} (6)\cdot \mathrm {SU} (2)$	40	patru	Spațiul subspațiilor simetrice în izometric $(\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2)$ $(\mathbb {C} \otimes \mathbb {H} )P^{2)$
III	$E_{6}$	$\mathrm {SO} (10)\cdot \mathrm {SO} (2)$	32	2	Avion Kelly proiectiv complex $(\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2)$
EIV	$E_{6}$	$F_{4}$	26	2	Spațiul subspațiilor simetrice în izometric $(\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2)$ $\mathbb {OP} ^{2}$
EV	$E_7$	$\mathrm {SU} (8)/\{\pm I\)$	70	7
EVI	$E_7$	$\mathrm {SO} (12)\cdot \mathrm {SU} (2)$	64	patru
EVII	$E_7$	$E_{6}\cdot \mathrm {SO} (2)$	54	3	Spațiul subspațiilor simetrice în izomorfe $(\mathbb {H} \otimes \mathbb {O} )P^{2)$ $(\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2)$
EVIII	$E_8$	$\mathrm {Spin} (16)/\{\pm vol\)$	128	opt
EIX	$E_8$	$E_{7}\cdot \mathrm {SU} (2)$	112	patru	Spațiul subspațiilor simetrice în izomorfe $(\mathbb {O} \otimes \mathbb {O} )P^{2)$ $(\mathbb {H} \otimes \mathbb {O} )P^{2)$
FI	$F_{4}$	$\mathrm {Sp} (3)\cdot \mathrm {SU} (2)$	28	patru	Spațiul subspațiilor simetrice în izomorfe ${\mathbb {O}}P^{2}$ ${\mathbb {H}}P^{2}$
FII	$F_{4}$	$\mathrm {Rotire} (9)$	16	unu	avion Cayley ${\mathbb {O}}P^{2}$
G	$G_{2}$	$\mathrm {SO} (4)$	opt	2	Spațiul subalgebrelor algebrei Cayley izomorfe cu algebrei Quaternion ${\mathbb {O}}$ ${\mathbb {H}}$

Variații și generalizări

Definiție în termeni de grupuri Lie

O definiție mai generală este dată în limbajul grupurilor Lie . Un spațiu simetric generalizat este o acoperire regulată a unui spațiu omogen , unde grupul Lie și $G/K$ $G$

K=\{g\in G:\sigma (g)=g\)

pentru o oarecare involuție . $\sigma \colon G\to G$

Orice spațiu simetric este un spațiu simetric generalizat. În acest caz, involuția grupului de izometrie a spațiului este definită ca $\sigma \colon G\to G$ $G$ $\sigma \colon h\mapsto s_{p}\circ h\circ s_{p)$
- Reversul este adevărat dacă este compact. $K$

Aceste spații simetrice generalizate includ spații simetrice pseudo-riemanniene , în care metrica riemanniană este înlocuită cu metrica pseudo-riemanniană . În special

Spații slab simetrice

În anii 1950, Atle Selberg a dat o definiție a spațiului slab simetric . Ele sunt definite ca varietăți riemanniene cu un grup de izometrie tranzitivă astfel încât pentru fiecare punct în și vector tangent în , există o izometrie care depinde de în astfel încât $p$ $M$ $v$ $p$ $i$ $v$ $p$

$i$ remedieri ; $p$
$di(v)=-v$ .

Dacă se poate alege independent de , atunci spațiul este simetric. $i$ $v$

Clasificarea spațiilor slab simetrice este dată de Akhiezer și Vinberg și se bazează pe clasificarea automorfismelor periodice ale algebrelor Lie semisimple complexe [1] .

Spații sferice

Se spune că un spațiu omogen compact este sferic dacă orice reprezentare ireductibilă a unui grup are cel mult un vector invariant. Spațiile simetrice sunt sferice. [2] [3] [4] [5] $G/K$ $G$ $K-$

Spații simetrice hermitiene

Un spațiu simetric care este prevăzut suplimentar cu o structură complexă paralelă compatibilă cu metrica riemanniană se numește spațiu simetric hermitian.

Note

↑ Akhiezer, D.N. & Vinberg, E.B. (1999), Spații slab simetrice și varietăți sferice , Transf. Grupuri T. 4: 3-24 , DOI 10.1007/BF01236659
↑ M. Krämer, Sphärische Untergruppen in kompakten zusammenhängenden Liegruppen, Compositio Math. 38(1979), nr. 2, 129-153.
↑ I. V. Mikityuk, Despre integrabilitatea sistemelor hamiltoniene invariante cu spații de configurare omogene, Mat. sat. 129(171) (1986), nr. 4, 514-534. Engleză transl.: IV Mikityuk, Despre integrabilitatea sistemelor hamiltoniene invariante cu spații de configurare omogene, Math. URSS Sbornik 57(1987), nr. 2, 527–546.
↑ M. Brion, Classification des espaces homogenes sphériques, Compositio Math. 63(1987), nr. 2, 189–208
↑ F. Knop, B. Krötz, T. Pecher, H. Schlichtkrull. Clasificarea perechilor sferice reale reductive II. Arhivat 16 decembrie 2019 la Wayback Machine Cazul semisimplu. Transformation Groups 24, 467–510 (2019)

Literatură

Cartan E. Geometria grupurilor de Lie și a spațiilor simetrice. - IL, 1949.
Helgason S. Geometrie diferențială și spații simetrice. - Lumea, 1964.
Loos O. Spații simetrice. - Știință, 1985.