Pliere cadru

Cadrele pliabile , sau blocarea cardanului , este, de asemenea, eronată blocarea cardanului ( argo ) ( în engleză gimbal lock ) este un termen legat de domeniul giroscopiei și al navigației inerțiale . Pentru un giroscop liber într-un cardan biaxial , termenul descrie un eveniment care poate apărea atunci când cadrul interior al giroscopului se rotește cu 90 de grade față de cadrul exterior și, în acest caz, vectorul moment unghiular este direcționat de-a lungul axei cadrului exterior. . În această poziție, giroscopul își va pierde proprietatea principală - de a păstra direcția în spațiul inerțial , care este dată de vectorul moment unghiular. Fenomenul este descris în cadrul teoriei precesiunii giroscoapelor. În conformitate cu aceasta, viteza liniară a vectorului modulo constant al momentului cinetic , egală cu produsul vectorial al vectorilor și , este egală cu momentul care acționează asupra rotorului în rotație . Acesta este $\vec{L}$ ${\vec {\Omega ))$ $\vec{L}$ ${\vec {M}}$

{\vec {M}}={\vec {\Omega }}\times {\vec {L}}

(unu),

unde este vectorul viteză unghiulară al triedrului OXYZ, în care axa OZ este direcționată de-a lungul vectorului moment unghiular, iar axele OX și OY sunt direcționate astfel încât triedrul OXYZ să fie drept. Pentru un giroscop liber ideal, viteza unghiulară este zero. ${\vec {\Omega }}=(\Omega _{x},\Omega _{Y},\Omega _{Z})$ ${\vec {\Omega ))$

Să conectăm cu corpul unui giroscop liber un triedru Oxyz, a cărui axă Ox este îndreptată de-a lungul axei de rotație a cadrului exterior. Triedrul OXYZ se obține din triedrul Oxyz prin două rotații succesive printr-un unghi față de axa cadrului exterior și printr-un unghi față de axa cadrului interior. Matricea de rotație de la triedrul Oxyz la triedrul OXYZ este $\beta$ $\alfa$

{\begin{aligned}R&={\begin{bmatrix}\cos \alpha &0&-\sin \alpha \\0&1&0\\\sin \alpha &0&\cos \alpha \end{bmatrix}}{\begin {bmatrix}1&0&0\\0&\cos \beta &\sin \beta \\0&-\sin \beta &\cos \beta \end{bmatrix}}\end{aligned}}

{\begin{aligned}R&={\begin{bmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha \sin \beta &-\sin \alpha \cos \beta \\0&\cos \beta &\sin \beta \\\sin \alpha &-\cos \alpha \sin \beta &\cos \alpha \cos \beta \end{bmatrix}}\end{aligned}}

(2).

Să proiectăm egalitatea (1) pe axa cadrelor de-a lungul cărora momentele corespunzătoare , . Drept urmare, obținem $M_{\alpha )$ $M_{\beta )$

\Omega _{X}=-{\frac {M_{\alpha }}{\left|{\overrightarrow {L}}\right\vert }}

\Omega _{Y}={\frac {M_{\beta }}{\left|{\overrightarrow {L}}\right\vert \cos \alpha }}

(3).

Este evident că atunci când cadrul interior este rotit cu 90 de grade, viteza de precesie a giroscopului devine arbitrar mare, adică giroscopul își pierde proprietatea principală - pentru a menține direcția în spațiul inerțial, are loc „plierea cadrului”.

În navigația inerțială, termenul de „pliere a cadrului” este folosit atunci când este vorba de așa-numitele sisteme cu platformă girostabilizată. Platformele girostabilizate sunt concepute pentru a instala accelerometre - dispozitive care măsoară accelerația . Platforma este izolată de carenă prin trei cadre: rame de pas , de rotire și de rulare . Senzorii de moment sunt amplasați de-a lungul axelor cadrelor. Dacă platforma se abate, de exemplu, de la o poziție constantă în spațiul inerțial, senzorii amplasați pe ea (de regulă, care integrează senzori de viteză unghiulară, giroscoape plutitoare) măsoară aceste abateri, iar semnalele proporționale cu aceste abateri sunt trimise la cuplul corespunzător. senzori pentru a anula abaterile. Dacă al doilea cadru al platformei este rotit cu 90 de grade, prima și a treia axă ale platformei devin coliniare , adică posibilitatea de a controla abaterea platformei de-a lungul celei de-a treia axe dispare, platforma devine doar parțial controlată și poate îşi schimbă poziţia stabilizată în spaţiul inerţial. Acestea sunt cele două cazuri la care se poate aplica termenul de „cadru”.

Termenul englezesc menționat „gimbal lock” este folosit și în matematică aplicată , sau mai bine zis, în probleme de parametrizare a poziției unghiulare a unui corp absolut rigid . Aceste sarcini constau în precizarea poziției unui triedru cartezian mobil față de un triedru fix folosind un anumit număr de parametri numerici. Există mai multe astfel de metode. De exemplu, poziția unui corp rigid poate fi specificată folosind nouă elemente dintr-o matrice dreptunghiulară de cosinus de direcție, sau patru parametri Euler sau, în final, un cuaternion . Întrucât un corp absolut rigid cu un punct fix are trei grade de libertate , atunci pentru parametrizare, în general, este suficient să specificați trei parametri. Cel mai adesea, dar nu întotdeauna, unghiurile Euler sunt alese ca atare parametri . Pentru orice set de unghiuri Euler, există exact o poziție a unui triedru mobil conectat cu un corp rigid față de unul fix. Cu toate acestea, inversul nu este întotdeauna adevărat. Adică, există o astfel de poziție a unui corp rigid la care este imposibil să se determine în mod unic unghiurile Euler. Cu alegerea standard a unghiurilor Euler ca înclinare, rotire și rostogolire, această poziție specială are loc la un unghi de înclinare de 90 de grade. Prin urmare, orice rotație continuă care se întrerupe în punctul în care unghiul de pas este de 90 de grade nu poate fi reprezentată ca o curbă continuă în spațiul unghiului Euler; dacă cadrele pivotante ale balamalei controlează unghiurile Euler, atunci o astfel de rotație va necesita ca acestea să se miște la un moment dat infinit de rapid. În problema compensării rotației externe (cu alte cuvinte, menținerea orientării), aceasta duce la o pierdere a orientării - o legătură evidentă cu sensul anterior al frazei.

Soluția problemei este adăugarea unui al patrulea cadru exterior (gimbal redundant), prin controlul căruia rama din mijloc este ținută departe de zona de „blocare a cardanului” [1] .

Vezi și

Precesiune

Note

↑ Gimbal Angles, Gimbal Lock și un al patrulea Gimbal pentru Crăciun . Preluat la 11 august 2014. Arhivat din original la 12 august 2014. (nedefinit)