Valoare aleatoare

O variabilă aleatoare este o variabilă ale cărei valori reprezintă rezultatele numerice ale unui fenomen sau experiment aleatoriu. Cu alte cuvinte, este o expresie numerică a rezultatului unui eveniment aleatoriu. Variabila aleatoare este unul dintre conceptele de bază ale teoriei probabilităților . [1] Se obișnuiește să se folosească litera greacă „xi” pentru a desemna o variabilă aleatorie în matematică . Dacă definim o variabilă aleatoare mai strict, atunci este o funcție ale cărei valori exprimă numeric rezultatele unui experiment aleatoriu. Una dintre cerințele pentru această funcție va fi măsurabilitatea acesteia , care servește la filtrarea acelor cazuri în care valorile acestei funcții $\xi$ $y=\xi (\omega )$ $y$ $\omega$ $\xi (\omega )$ infinit sensibil la cea mai mică schimbare a rezultatului unui experiment aleatoriu. În multe cazuri practice, se poate considera o variabilă aleatoare ca o funcție arbitrară din [ 2] . $\Omega$ $\mathbb {R}$

Ca o funcție, o variabilă aleatoare nu este probabilitatea ca evenimentul să se producă , ci returnează o expresie numerică a rezultatului . Caracteristicile importante ale variabilelor aleatoare sunt așteptarea și varianța matematică [3] . $\xi (\omega )$ $\omega$ $\omega$

Un exemplu de obiecte care necesită utilizarea variabilelor aleatoare pentru a-și reprezenta starea sunt obiectele microscopice descrise de mecanica cuantică . Variabile aleatorii descriu evenimentele de transmitere a trăsăturilor ereditare de la organismele părinte la descendenții lor (vezi legile lui Mendel ). Evenimentele întâmplătoare includ dezintegrarea radioactivă a nucleelor atomice. [unu]

Există o serie de probleme de analiză matematică și teoria numerelor , pentru care este recomandabil să se considere funcțiile implicate în formulările lor ca variabile aleatoare definite pe spații de probabilitate adecvate [4] .

Istorie

Rolul unei variabile aleatoare, ca unul dintre conceptele de bază ale teoriei probabilităților, a fost mai întâi recunoscut clar de P. L. Cebyshev , care a fundamentat punctul de vedere general acceptat în prezent asupra acestui concept (1867) [5] . Înțelegerea unei variabile aleatoare ca caz special al conceptului general de funcție a venit mult mai târziu, în prima treime a secolului al XX-lea. Pentru prima dată, A. N. Kolmogorov (1933) [6] a dezvoltat o reprezentare complet formalizată a fundamentelor teoriei probabilităților bazată pe teoria măsurii , după care a devenit clar că o variabilă aleatorie este o funcție măsurabilă definită pe un spațiu de probabilitate . În literatura educațională, acest punct de vedere a fost mai întâi realizat în mod consecvent de W. Feller (vezi prefața la [7] , unde prezentarea se bazează pe conceptul de spațiu al evenimentelor elementare și se subliniază că numai în acest caz reprezentarea unei variabile aleatoare devine semnificativă).

Definiție

Definiția matematică formală este următoarea: fie un spațiu de probabilitate , atunci o variabilă aleatoare este o funcție măsurabilă în raport cu și σ-algebra Borel pe . Comportamentul probabilist al unei variabile aleatoare separate (independentă de altele) este complet descris de distribuția sa . $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $\xi \colon \Omega \to \mathbb {R}$ ${\mathcal {F}}$ $\mathbb {R}$

O variabilă aleatoare poate fi definită într-un alt mod echivalent [8] . O funcție este numită variabilă aleatoare dacă pentru orice numere reale și mulțimea de evenimente , astfel încât , aparține lui . $\xi \colon \Omega \to \mathbb {R}$ $A$ $b$ $\omega$ $\xi (\omega )\in (a,b)$ ${\mathcal {F}}$

Metode de căutare

Puteți seta o variabilă aleatoare, descriind toate proprietățile ei probabilistice ca o variabilă aleatoare separată, folosind funcția de distribuție , densitatea de probabilitate și funcția caracteristică , determinând probabilitățile valorilor posibile ale acesteia. Funcția de distribuție este egală cu probabilitatea ca valoarea unei variabile aleatoare să fie mai mică decât un număr real . Din această definiție rezultă că probabilitatea ca valoarea unei variabile aleatoare să cadă în intervalul [a, b) este egală cu . Avantajul utilizării funcției de distribuție este că, cu ajutorul ei, se poate realiza o descriere matematică uniformă a variabilelor aleatoare discrete, continue și discrete-continue. Cu toate acestea, există variabile aleatoare diferite care au aceleași funcții de distribuție. De exemplu, dacă o variabilă aleatoare ia valorile +1 și -1 cu aceeași probabilitate 1/2, atunci variabilele aleatoare și sunt descrise de aceeași funcție de distribuție F(x). $F(x)$ $X$ $F(b)-F(a)$ $\xi$ $\xi$ $\xi ^{3}$

O altă modalitate de a specifica o variabilă aleatoare este transformarea funcțională a unei variabile aleatoare . Dacă este o funcție Borel , atunci este și o variabilă aleatorie. De exemplu, dacă este o variabilă aleatoare normală standard , atunci variabila aleatoare are o distribuție chi-pătrat cu un grad de libertate. Multe distribuții, inclusiv distribuția lui Fisher , distribuția lui Student sunt distribuții de transformări funcționale ale variabilelor aleatoare normale. $\xi$ $f(x)$ $\eta =f(\xi )$ $\xi$ $\chi ^{2}=\xi ^{2}$

Dacă o variabilă aleatoare este discretă, atunci o descriere matematică completă și neechivocă a distribuției sale este determinată prin indicarea funcției de probabilitate a tuturor valorilor posibile ale acestei variabile aleatoare. Ca exemplu, luați în considerare legile binomului și distribuției Poisson. $p_{k}=P(\xi =x_{k}),\;k\in \mathbb {N}$

Legea distribuției binomiale descrie variabile aleatoare ale căror valori determină numărul de „reușite” și „eșecuri” atunci când experimentul este repetat de ori. În fiecare experiment, „succesul” poate apărea cu o probabilitate de , „eșec” - cu o probabilitate de . Legea distribuției în acest caz este determinată de formula Bernoulli : $N$ $p$ $q=1-p$

P_{k,n}=C_{n}^{k}\cdot p^{k}\cdot q^{nk}

Dacă produsul rămâne constant pe măsură ce se apropie de infinit , atunci legea distribuției binomiale converge către legea lui Poisson , care este descrisă de următoarea formulă: $n$ $np$ $\lambda>0$

p(k)\equiv \mathbb {P} (Y=k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,e^{-\lambda }

Unde

simbolul " " reprezintă factorial , $!$
$e=2,7182818284\ldots$ este baza logaritmului natural .

Caracteristicile numerice ale variabilelor aleatoare

Așteptarea matematică sau valoarea medie a unei variabile aleatoare într-un spațiu normat liniar X pe spațiul evenimentelor elementare se numește integrală $\xi =\xi (\omega )$ $(\Omega, {\mathfrak {A}),\mathbb {P} )$

\mathop {\mathbb {E} } \xi =\int \limits _{\Omega}\xi (\omega)\,\mathbb {P} (d\omega)=\int \limits _{\ Omega }x\mathbb {P_{\xi }} (d\omega )

(presupunând că funcția este integrabilă). $\xi =\xi (\omega )$

Varianta unei variabile aleatoare este o cantitate egală cu: $\xi$

\operatorname {D} \xi =\mathop {\mathbb {E} } (\xi -\mathop {\mathbb {E} } \xi )^{2}=\mathop {\mathbb {E} } \xi ^{2}-(\mathop {\mathbb {E} } \xi )^{2}~.

În statistici , varianța este adesea notă cu sau . Valoare egală cu $\sigma _{\xi }^{2)$ $\sigma ^{2}$ $\sigma$

\sigma ={\sqrt {\operatorname {D} \xi }}

numită abatere standard, abatere standard sau spread standard.

Covarianța variabilelor aleatoare este următoarea variabilă: $\xi$ $\eta$

\mathrm {cov} (\xi ,\eta )

\operatorname {E} (\xi -\operatorname {E} {\xi })({\eta }-\operatorname {E} {\eta })

(se presupune că așteptările matematice sunt definite).

Dacă = 0, atunci variabilele aleatoare și se numesc necorelate . Variabilele aleatoare independente sunt întotdeauna necorelate, dar inversul nu este adevărat [9] . $\mathrm {cov} (\xi ,\eta )$ $\xi$ $\eta$

Funcțiile variabilelor aleatoare

Dacă este o funcție Borel și este o variabilă aleatoare, atunci transformarea sa funcțională este și o variabilă aleatoare. De exemplu, dacă este o variabilă aleatoare normală standard , variabila aleatoare are o distribuție chi-pătrat cu un grad de libertate. Multe distribuții, inclusiv distribuția Fisher și distribuția Student , sunt distribuții ale transformărilor funcționale ale variabilelor aleatoare normale. $f(x)$ $\xi$ $\eta =f(\xi )$ $\xi$ $\chi ^{2}=\xi ^{2}$

Dacă și cu distribuția comună , și este o funcție Borel, atunci pentru [ 10] : $\xi$ $\eta$ $F_{\xi \eta}(x,y)$ $\phi =\phi (x,y)$ $\zeta =\phi (\xi,\eta)$

F_{\zeta}(z)=\int \limits _{\{x,y:\phi (x,y)\leqslant z\}}\,dF_{\xi \eta}(x,y )~.

Dacă , și sunt independente, atunci . Aplicând teorema lui Fubini , obținem: $\phi (x,y)=x+y$ $\xi$ $\eta$ $F_{\xi \eta}(x,y)=F_{\xi }(y)F_{\eta }(y)$

F_{\zeta}(z)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\,F_{\eta}(zx)dF_{\xi }(x)

si asemanator:

F_{\zeta}(z)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\,F_{\xi }(zy)dF_{\eta }(y)~.

Dacă și funcțiile de distribuție, atunci funcția $F$ $G$

H(z)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\,F(zx)dG(x)

se numește circumvoluție și și denotă . Funcția caracteristică a sumei variabilelor aleatoare independente și este transformata Fourier a convoluției funcțiilor de distribuție și și este egală cu produsul funcțiilor caracteristice și : $F$ $G$ $F*G$
$\zeta =\xi +\eta$ $\xi$ $\eta$ $F*G$ $F$ $G$ $\xi$ $\eta$

\phi _{\zeta }(u)=\phi _{\xi }(u)\phi _{\eta }(u)~.

Exemple

Variabilă aleatoare discretă

Exemple de variabile aleatoare discrete sunt citirile vitezometrului sau măsurătorile temperaturii la momente specifice [11] .

Aruncarea monedelor

Toate rezultatele posibile ale aruncării unei monede pot fi descrise prin spațiul evenimentelor elementare capete, cozi sau pe scurt . Fie variabila aleatoare egală cu câștigul ca rezultat al aruncării unei monede. Lăsați ca câștigul să fie de 10 ruble de fiecare dată când moneda iese din cap și de −33 de ruble dacă se ridică. Matematic, această funcție de plată poate fi reprezentată după cum urmează: $\Omega =\{$ $\}$ $\{op,pe\)$ $\xi$

\xi (\omega )={\begin{cases}10,&{\text{if }}\omega ={\text{op)),\\[6pt]-33,&{\text{ dacă }}\omega ={\text{pe}}.\end{cases}}

Dacă moneda este perfectă, atunci câștigul va avea o probabilitate dată ca: $\xi$

P(\xi =y)={\begin{cases}{\tfrac {1}{2)),&{\text{if }}y=10,\\[6pt]{\tfrac {1 }{2}},&{\text{if }}y=-33,\end{cases}}

unde este probabilitatea de a câștiga ruble la aruncarea unei monede.

P(\xi =y)

y

Aruncarea zarurilor

O variabilă aleatorie poate fi folosită și pentru a descrie procesul de aruncare a zarurilor, precum și pentru a calcula probabilitatea unui anumit rezultat al unor astfel de aruncări. Unul dintre exemplele clasice ale acestui experiment folosește două zaruri și , fiecare dintre acestea putând lua valori din setul {1, 2, 3, 4, 5, 6} (numărul de puncte de pe părțile laterale ale zarului). Numărul total de puncte aruncate pe zar va fi valoarea variabilei noastre aleatoare , care este dată de funcția: $n_{1}$ $n_{2}$ $\xi$

{\displaystyle \xi ((n_{1},n_{2}))=n_{1}+n_{2))

și (dacă zarurile sunt perfecte) funcția de probabilitate pentru este dată de: $\xi$

P(S)={\frac {\min(S-1,13-S)}{36)),{\text{ pentru }}S\in \{2,3,4,5,6 ,7,8,9,10,11,12\}

, unde este suma punctelor de pe zarurile aruncate.

S

Un pachet de cărți

Lăsați experimentatorul să tragă la întâmplare una dintre cărțile din pachetul de cărți de joc . Apoi va reprezenta una dintre cărțile extrase; aici nu este un număr, ci o hartă - un obiect fizic, al cărui nume este notat cu simbolul . Apoi funcția , luând „numele” obiectului drept argument, va returna numărul cu care vom asocia în continuare harta . Lăsați experimentatorul să atragă Regele Treselor în cazul nostru, adică , după ce înlocuim acest rezultat în funcție , vom obține deja un număr, de exemplu, 13. Acest număr nu este probabilitatea de a extrage regele din pachet sau orice alt card. Acest număr este rezultatul transferului unui obiect din lumea fizică într-un obiect al lumii matematice, deoarece cu numărul 13 este deja posibil să se efectueze operații matematice , în timp ce aceste operații nu au putut fi efectuate cu obiectul. $\omega$ $\omega$ $\omega$ $\xi (\omega )$ $\omega$ $\omega =K_{\clubsuit )$ $\xi (K_{\clubsuit })$ $K_{\clubsuit )$

Variabilă aleatoare absolut continuă

O altă clasă de variabile aleatoare sunt acelea pentru care există o funcție nenegativă care satisface egalitatea pentru orice . Variabilele aleatoare care îndeplinesc această proprietate se numesc absolut continue, iar funcția se numește densitatea distribuției de probabilitate. $p(x)$ $X$ $P(\omega \mid \xi (\omega)\leq x)=\textstyle \int \limits _{-\infty }^{x}\displaystyle p(z)dz$ $p(x)$

Numărul de valori posibile ale unei variabile aleatoare absolut continue este infinit. Un exemplu de variabilă aleatorie absolut continuă: măsurarea vitezei de mișcare a oricărui tip de transport sau temperatură într-un anumit interval de timp. [unsprezece]

Creșterea unui trecător

Fie că într-unul dintre experimente este necesar să selectăm aleatoriu o persoană (să o notăm ca ) din grupul de subiecți, apoi să lăsăm variabila aleatoare să exprime creșterea persoanei pe care am ales-o. În acest caz, din punct de vedere matematic, o variabilă aleatoare este interpretată ca o funcție care transformă fiecare subiect într-un număr - creșterea lui . Pentru a calcula probabilitatea ca înălțimea unei persoane să scadă între 180 cm și 190 cm, sau probabilitatea ca înălțimea sa să fie peste 150 cm, trebuie să cunoașteți distribuția probabilității , care, împreună cu și vă permite să calculați probabilitățile a anumitor rezultate ale experimentelor aleatorii. $\omega$ $\xi$ $\xi$ $y=\xi (\omega )$ $\omega$ $y$ $\xi$ $\xi$

Cele mai simple generalizări

O variabilă aleatorie, în general, poate lua valori în orice spațiu măsurabil. Apoi este adesea numit un vector aleator sau un element aleator. De exemplu,

O funcție măsurabilă se numește vector aleator -dimensional (în raport cu algebra Borel pe ). $\xi \colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ $n$ $\sigma$ $\mathbb {R} ^{n}$
O funcție măsurabilă se numește vector aleator complex -dimensional (tot în raport cu algebra Borel corespunzătoare ). $\xi \colon \Omega \to \mathbb {C} ^{n}$ $n$ $\sigma$
O funcție măsurabilă care mapează un spațiu de probabilitate în spațiul de submulțimi ale unei mulțimi (finite) se numește mulțime aleatoare (finită).

Vezi și

Note

↑ 1 2 Prokhorov Yu. V. Variabilă aleatoare // Enciclopedia matematică / Ed. Vinogradova I. M. - M .: Enciclopedia Sovietică, 1985.-V.5.- Pp. 9.- 623 p.
↑ Chernova, 2007 , p. 49-50.
↑ Variabila aleatorie - articol din Marea Enciclopedie Sovietică .
↑ Katz M., Independența statistică în teoria probabilităților, analiză și teoria numerelor, trad. din engleză, M., 1963.
↑ Cebyshev P. L., Pe valori medii, în cartea: Complete. Sobr. Soch., v. 2, M.-L., 1947
↑ Kolmogorov A. N., Concepte de bază ale teoriei probabilităților, ed. a II-a, M., 1974
↑ V. Feller, Introducere în teoria probabilității și aplicațiile ei, trad. din engleză, ed. a II-a, vol. 1, M., 1967
↑ Chernova N. I. Capitolul 6. Variabile aleatoare și distribuțiile lor § 1. Variabile aleatoare // Teoria probabilității . - Tutorial. - Novosibirsk: Universitatea de Stat din Novosibirsk. un-t, 2007. - 160 p.
↑ Joseph P. Romano, Andrew F. Siegel. Contraexemple în probabilitate și statistică. - Belmont, California: Wadsworth, Inc., 1986. - 326 p. — ISBN 0534055680 .
↑ Probabilitatea Shiryaev A.N. — M:. : Știința. Ch. ed. Fiz.-Matematică. lit., 1989. - 640 p. — ISBN 5-02-013995-6 .
↑ 1 2 Portal educațional TSU . edu.tltsu.ru . Data accesului: 26 iunie 2020. (nedefinit)

Literatură

Gnedenko B. V. Curs de teoria probabilității. - Ed. a 8-a. adăuga. si corecta. - M. : Editorial URSS, 2005. - 448 p. — ISBN 5-354-01091-8 .
Dicţionar Enciclopedic Matematic / Ch. ed. Prokhorov Yu. V .. - ed. a II-a. - M . : „Enciclopedia Sovietică”, 1998. - 847 p.
Tihonov V.I., Kharisov V.N. Analiza statistică și sinteza dispozitivelor și sistemelor de inginerie radio. — Manual pentru universități. - M . : Radio şi comunicare, 1991. - 608 p. — ISBN 5-256-00789-0 .
Teoria probabilității Chernova N.I. - Tutorial. - Novosibirsk: Universitatea de Stat din Novosibirsk. un-t, 2007. - 160 p.

Link -uri

Variabile aleatoare multivariate