Teorema lui Hilbert 90

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 24 aprilie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Teorema lui Hilbert 90 este una dintre principalele afirmații pentru extensiile Galois ciclice finite .

Forma multiplicativă

Fie grupul Galois al unei extensii ciclice finite și să fie generatorul acesteia. Atunci norma oricărui element este 1 dacă și numai dacă există un element diferit de zero , adică $G$ $E/K,$ $\sigma$ $\beta \în E$ $\alpha \in E$ $\beta ={\frac \alpha {\sigma (\alpha ))).$

Dovada

Suficiența este evidentă: dacă atunci, ținând cont de multiplicativitatea normei, avem Deoarece norma pentru extensiile separabile este egală cu produsul tuturor și aplicarea unui astfel de produs duce doar la o permutare a factorilor, atunci $\beta ={\frac \alpha {\sigma (\alpha ))),$ $N(\beta)={\frac {N(\alpha )}{N(\sigma (\alpha )))).$ $\sigma _{i}(\alpha ),$ $\sigma$ ${\frac {N(\alpha )}{N(\sigma (\alpha ))))={\frac {N(\alpha )}{N(\alpha )))=1.$

Pentru a demonstra necesitatea, scriem următoarea mapare:

{\mathrm {id}}+\beta \sigma +\beta \sigma (\beta )\sigma ^{2}+\ldots +(\beta \sigma (\beta )\ldots \sigma ^{{n-2 }}(\beta )\sigma ^{{n-1}}).

Conform teoremei privind independența liniară a caracterelor, această mapare nu este zero. Prin urmare, există un element pentru care $\gamma \în E,$

0\neq \alpha =\gamma +\beta \sigma (\gamma )+\beta \sigma (\beta )\sigma ^{2}(\gamma )+\ldots +(\beta \sigma (\beta )\ ldots \sigma ^{{n-2}}(\beta )\sigma ^{{n-1}}(\gamma ).

Dacă aplicăm maparea și apoi înmulțim expresia rezultată cu atunci primul termen va merge la al doilea și așa mai departe, iar ultimul va merge la primul, deoarece $\sigma$ $\alpha ,$ $\beta ,$ $\beta \sigma (\beta )\ldots \sigma ^{{n-2}}(\beta )\sigma ^{{n-1}}(\beta )=N(\beta )=1.$

Apoi obținem că împărțirea la avem Necesitatea este dovedită. $\beta \sigma (\alpha )=\alpha ,$ $\sigma (\alpha )\neq 0$ $\beta ={\frac \alpha {\sigma (\alpha ))).$

Forma aditivă

Fie grupul Galois al unei extensii ciclice finite și să fie generatorul acesteia. Atunci urma unui element este 0 dacă și numai dacă există un element diferit de zero astfel încât $G$ $E/K,$ $\sigma$ $\beta \în E$ $\alpha\în E,$ $\beta =\alpha -\sigma (\alpha ).$

Dovada suficienței este complet analogă cu cazul multiplicativ și, dacă este necesar, luăm în considerare un element pentru care și construim necesarul sub forma: $\gamma \în E,$ ${\mathrm {tr}}\gamma \neq 0$ $\alfa$

\alpha ={\frac {1}{{\mathrm {tr}}\gamma }}[\beta \sigma (\gamma )+(\beta +\sigma (\beta ))\sigma ^{2}(\ gamma )+\ldots +(\beta +\ldots +\sigma ^{{n-2}}(\beta ))\sigma ^{{n-1}}(\gamma )|.

Literatură

Leng S. Algebra . - M . : Mir, 1967. - S. 243 -244.

Vezi și

Coomologie Galois

Contribuția lui David Hilbert la știință
spatii	Spațiul Hilbert Spațiul pre-Hilbert Cărămidă Gilbert
axiomatica	axiomatica lui Hilbert
Teoreme	Teorema lui Hilbert 90 Teorema de bază a lui Hilbert Teorema nulă a lui Hilbert Teorema Hilbert-Schmidt
Operatori	Transformarea Hilbert operator Hilbert-Schmidt
Relativitatea generală	Ecuații Einstein-Hilbert „ Hilbert și ecuațiile câmpului gravitațional ”
Alte	Probleme Hilbert curba Hilbert matricea Hilbert Problema Hilbert-Arnold Seria Hilbert și polinomul Hilbert Paradoxul „Grand Hotel”