Teorema Nash-Kuiper

Teorema Nash-Kuiper afirmă că orice încorporare scurtă netedă (sau imersiune ) a unei varietăți Riemanniane -dimensionale într-un spațiu euclidian la poate fi aproximată printr-o încorporare izometrică netedă (sau, respectiv, imersie). $n$ $\mathbb {R} ^{q)$ $q>n$ $C^1$

Formulare

Termenul „înglobare/imersie izometrică” înseamnă aici încorporare/imersie, respectiv, care păstrează lungimile curbelor.

Mai precis:

Fie o varietate riemanniană și să fie o încorporare (sau scufundare ) scurtă și netedă în spațiul euclidian și . Atunci pentru oricare există o încorporare (sau, respectiv, o imersiune) astfel încât $(M,g)$ $f\colon M^{n}\la \mathbb {R} ^{q)$ ${\displaystyle C^{\infty ))$ ${\mathbb {R} }^{q)$ $q>n$ $\varepsilon >0$ $f_{\varepsilon}\colon M^{n}\la \mathbb {R} ^{q)$

$f_{\varepsilon }$ este netedă, $C^1$
(izometric) pentru oricare doi vectori tangenți din spațiul tangent al unui punct avem: $v,w\in T_{x}(M)$ $x\în M$

g(v,w)=\langle df_{\epsilon}(v),df_{\epsilon }(w)\rangle .

( -proximitatea) pentru toți . $C^{0}$ $|f(x)-f_{\varepsilon }(x)|<\varepsilon$ $x\în M$

Acest rezultat este extrem de contraintuitiv . În special, rezultă din aceasta că orice suprafață orientată închisă poate fi încorporată izometric într-o bilă tridimensională arbitrar mică. Din formula Gauss rezultă că o astfel de încorporare este imposibilă în clasa -înglobare. $C^1$ $C^{2}$

Istorie

Teorema a fost dovedită de Nash sub ipoteza în schimb și adusă la forma actuală de Kuiper cu ajutorul unui truc simplu. $q>n+1$ $q>n$

Variații de generalizare

Teorema Nash asupra înglobărilor regulate
Teorema de pliere a lui Gromov afirmă că pentru orice mapare scurtă de la o varietate Riemanniană -dimensională la există o mapare arbitrar apropiată (nenetedă) care păstrează lungimile curbelor. $n$ $\mathbb {R} ^{n}$

Literatură

N. H. Kuiper . Pe C 1 -înglobări izometrice // Matematică . - 1957. - T. 1 , nr 2 . - S. 17-28 . (Rusă)

J. Nash . C 1 -înglobări izometrice // Matematică . - 1957. - T. 1 , nr 2 . - P. 3-16 . (Rusă)