Teorema lui Pascal

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 26 februarie 2022; verificarea necesită 1 editare .

Teorema lui Pascal [1] este o teoremă clasică a geometriei proiective .

Formulare

Dacă un hexagon este înscris într- un cerc (sau orice altă secțiune conică - elipsă , parabolă , hiperbolă sau chiar o pereche de linii drepte ), atunci punctele de intersecție a trei perechi de laturi opuse se află pe aceeași linie dreaptă. Această linie se numește linia lui Pascal [2] .

Istorie

Prima formulată și demonstrată de Blaise Pascal la vârsta de 16 ani ca o generalizare a teoremei lui Pappus . Pascal a luat această teoremă ca bază a tratatului său despre secțiunile conice. Tratatul în sine a dispărut și se cunoaște doar un rezumat al lui dintr-o scrisoare a lui Leibniz, care în timpul șederii sale la Paris l-a avut în mâini, și un rezumat al principalelor teoreme ale acestui tratat, întocmit de însuși Pascal (Experiment on conic). secțiuni). Pascal însuși a considerat perechea de linii din teorema lui Pappus ca fiind o secțiune conică, iar teorema lui Pappus un caz special al teoremei sale.

Despre dovezi

Una dintre dovezi folosește dubla numărare .
O posibilă demonstrație se bazează pe o aplicare consecventă a teoremei lui Menelaus .
Printr-o transformare proiectivă, se poate transforma conica descrisă într-un cerc, în timp ce condiția teoremei este păstrată. Pentru un cerc, teorema poate fi demonstrată din existența unei conjugări izogonale .
- În cazul unui poligon convex înscris într-un cerc, este posibilă efectuarea unei transformări proiective care lasă cercul pe loc, iar linia care trece prin punctele de intersecție a două perechi de laturi opuse poate fi dusă la infinit. În acest caz, afirmația teoremei devine evidentă.
O posibilă demonstrație s-ar putea baza și pe teorema celor 9 puncte pe zar .

Aplicație

Vă permite să construiți o secțiune conică cu cinci puncte, ca loc al punctelor corespunzător celui de-al șaselea punct al hexagonului din configurație.

Variații și generalizări

Teorema lui Pascal este duală cu teorema lui Brianchon .

Dacă diagonalele principale ale unui hexagon se intersectează într-un punct, atunci linia corespunzătoare care apare în teorema lui Pascal este polara acestui punct în raport cu conica în care este înscris hexagonul.
- În general, linia din teorema lui Pascal pentru un hexagon înscris într-o conică este polară în raport cu punctul din teorema lui Brianchon pentru un hexagon format din tangente la vârfurile hexagonului original. ${\mathcal {K}}$ ${\mathcal {K}}$ ${\mathcal {K}}$

Teorema este adevărată și în cazul în care două sau chiar trei vârfuri învecinate coincid (dar nu mai mult de două la un moment dat). În acest caz, tangenta la linie în acest punct este luată ca o dreaptă care trece prin două vârfuri care coincid. În special:
- O tangentă la o dreaptă de ordinul 2 trasată la unul dintre vârfurile unui pentagon înscris se intersectează cu latura opusă acestui vârf într-un punct care se află pe o linie dreaptă care trece prin punctele de intersecție ale perechilor rămase de laturi neadiacente ale acestui vârf. pentagon.
- Dacă ABCD este un patrulater înscris într-o linie de ordinul 2, atunci punctele de intersecție ale tangentelor de la vârfurile C și D, respectiv, cu laturile AD și BC, și punctul de intersecție al dreptelor AB și CD se află pe unul. linia.
- Dacă ABCD este un patrulater înscris într-o dreaptă de ordinul 2, atunci punctele de intersecție ale tangentelor de la vârfurile C și D, dreptele AC și BD și dreptele AD și BC se află pe aceeași dreaptă.
- Punctele de intersecție ale tangentelor de la vârfurile unui triunghi înscris într-o linie de ordinul 2 cu laturi opuse se află pe aceeași dreaptă.
  - Această linie se numește linia Pascal a triunghiului dat.

În 1847 , a apărut o generalizare a teoremei lui Pascal făcută de Möbius , care sună astfel:
- Dacă un poligon cu laturi este înscris într-o secțiune conică și laturile sale opuse sunt extinse astfel încât să se intersecteze într-un punct, atunci dacă aceste puncte se află pe o dreaptă, ultimul punct se va afla pe aceeași dreaptă. $4n+2$ $2n+1$ $2n$

Teorema lui Kirkman : Fie punctele , , , , și se află pe aceeași secțiune conică. Apoi liniile lui Pascal de hexagoane și se intersectează într-un punct. $A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $F$ $ABFDCE$ $AEFBDC$ $ABDFEC$

Teorema aproximativ 9 puncte pe un cub

Ilustrații suplimentare

Note

↑ Cunoscută și sub numele latin teorema hexagrammum mysticum
↑ Dmitri Efremov . New Triangle Geometry Arhivat 25 februarie 2020 la Wayback Machine . - Odesa, 1902. - S. 7-8. Capitolul I, punctul 11.

Literatură

Hexagonul lui Kotelnikov K. Pascal // V.O.F.E.M. . - 1888. - Nr. 50 . - S. 34-35 .
Pascal . Un experiment pe secțiuni conice cu un apendice la scrisoarea lui Leibniz către E. Perrier. Traducere și comentariu de G. I. Ignatius. // Cercetări istorice și matematice . Problema XIV.
Freivert D. M. Un nou subiect în geometria euclidiană pe plan: teoria „punctelor Pascal” formate folosind un cerc pe laturile unui patrulater . - 2019. - S. 37-42 .
Şal . O revizuire istorică a originii și dezvoltării metodelor geometrice . Ch. 2, § 16-19. M., 1883.
R. Courant, G. Robbins, Ce este matematica? Capitolul IV, § 8.4.
Desene live (în Java )
- Teorema lui Pascal despre Cut the knot
- teorema lui Pascal
Ponarin Ya. P. Geometrie elementară. În 2 volume - M . : MTSNMO , 2004. - S. 76-78. — ISBN 5-94057-170-0 .
D. Fraivert. Teoria unui patrulater convex și a unui cerc care formează punctele Pascal - proprietățile punctelor Pascal de pe laturile unui patrulater convex // Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications. - 2016. - T. 40 . — P. 1–34. - doi : 10.18642/jmsaa_7100121666 .
D. Fraivert. Proprietățile unui cerc de puncte Pascal într-un patrulater cu diagonale perpendiculare // Forum Geometricorum. - 2017. - Vol. 17. - P. 509-526.