Teorema Taylor

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 1 februarie 2019; verificările necesită 12 modificări . Acest articol este despre polinoamele Taylor ale funcțiilor diferențiabile . Pentru seria Taylor de funcții analitice, consultați articolul corespunzător.

Teorema lui Taylor oferă o aproximare a unei funcții diferențiabile de k ori în apropierea unui punct dat folosind un polinom Taylor de ordinul k . Pentru funcțiile analitice , polinomul Taylor într-un punct dat este o sumă parțială a seriei lor Taylor , care, la rândul său, definește complet funcția într-o vecinătate a punctului. Conținutul exact al teoremei lui Taylor nu a fost convenit până acum. Desigur, există mai multe versiuni ale teoremei aplicabile în diferite situații, iar unele dintre aceste versiuni conțin estimări ale erorii care apare la aproximarea unei funcții folosind un polinom Taylor.

Această teoremă poartă numele matematicianului Brooke Taylor , care a formulat o versiune a ei în 1712. O expresie explicită pentru eroarea de aproximare a fost dată mult mai târziu de Joseph Lagrange . Mai devreme, în 1671, James Gregory a menționat deja corolarul teoremei.

Teorema lui Taylor vă permite să stăpâniți tehnicile de calcul de nivel de intrare și este unul dintre instrumentele elementare centrale în analiza matematică . În studiul matematicii, este punctul de plecare pentru studiul analizei asimptotice . Teorema este folosită și în fizica matematică . De asemenea, se generalizează la funcții ale mai multor variabile și funcții vectoriale pentru orice dimensiune și . Această generalizare a teoremei lui Taylor stă la baza definiției așa-numitelor jeturi , care apar în geometria diferențială și în teoria ecuațiilor cu diferențe parțiale . $f\,:\,\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m)$ $n$ $m$

Condiții preliminare pentru introducerea teoremei

Dacă o funcție cu valoare reală f(x) este diferențiabilă în punctul a , atunci are o aproximare liniară în punctul a . Aceasta înseamnă că există o funcție h 1 astfel încât

f(x) = f(a) + f'(a)(xa) + h_1(x)(xa), \qquad \lim_{x\to a}h_1(x)=0.

Aici

P_1(x) = f(a) + f'(a)(xa) \

este o aproximare liniară a funcției f în punctul a . Graficul funcției y = P 1 ( x ) este tangent la graficul funcției f în punctul x = a . Eroarea de aproximare este

R_1(x) = f(x)-P_1(x) = h_1(x)(xa). \

Rețineți că eroarea se apropie de zero puțin mai repede decât diferența x − a se apropie de zero pe măsură ce x se apropie de a .

Dacă căutăm o mai bună aproximare a lui f , putem folosi un polinom de gradul doi în loc de o funcție liniară. În loc să găsim derivata lui f în punctul a , putem găsi două derivate, obținând astfel un polinom care, ca f , crește (sau descrește), și, ca f , are o convexitate (sau concavitate) în punctul a . Polinomul de gradul doi (polinomul pătrat) în acest caz va arăta astfel:

P_{2}(x)=f(a)+f'(a)(xa)+{\frac {f''(a)}{2}}(xa)^{2}.

Teorema lui Taylor face posibilă verificarea faptului că aproximarea pătratică este, într-o vecinătate suficient de mică a punctului a , o aproximare mai bună decât cea liniară. În special,

f(x) = P_2(x) + h_2(x)(xa)^2, \qquad \lim_{x\to a}h_2(x)=0.

Aici este eroarea de aproximare

R_2(x) = f(x)-P_2(x) = h_2(x)(xa)^2 \

care, dacă h 2 este mărginit , se apropie de zero mai repede decât se apropie de zero ( x − a ) 2 pe măsură ce x se apropie de a .

Astfel, vom continua să obținem aproximări mai bune pentru f dacă folosim polinoame de grad din ce în ce mai mare. În general, eroarea în aproximarea unei funcții cu polinoame de ordinul k se va apropia de zero puțin mai repede decât ( x − a ) k se apropie de zero pe măsură ce x se apropie de a .

Acest corolar este de natură asimptotică: ne spune doar că eroarea R k a aproximării cu polinoamele Taylor de ordinul k -lea Pk se apropie de zero mai repede decât un polinom de ordinul k -e diferit de zero ca x → a . Nu ne spune cât de mare este eroarea în orice vecinătate a centrului de aproximare, dar există o formulă pentru restul pentru aceasta (dată mai jos).

Cele mai complete versiuni ale teoremei lui Taylor conduc în general la estimări uniforme ale erorii de aproximare într-o vecinătate mică a centrului de aproximare, dar aceste estimări nu sunt adecvate pentru vecinătăți prea mari, chiar dacă funcția f este analitică . În această situație, ar trebui alese mai multe polinoame Taylor cu centre de aproximare diferite pentru a avea o aproximare Taylor fiabilă a funcției originale (vezi figura animată de mai sus). De asemenea, este posibil ca mărirea ordinii polinomului să nu mărească deloc calitatea aproximării, chiar dacă funcția f este diferențiată de un număr infinit de ori. Un astfel de exemplu este prezentat mai jos.

Teorema lui Taylor pentru funcțiile unei variabile reale

Enunțul teoremei

Formularea exactă a majorității versiunilor de bază ale teoremei este următoarea.

Polinomul care apare în teorema lui Taylor este polinomul Taylor de ordinul k

P_k(x) = f(a) + f'(a)(xa) + \frac{f''(a)}{2!}(xa)^2 + \cdots + \frac{f^{(k) )}(a)}{k!}(xa)^k

funcția f în punctul a .

Teorema lui Taylor descrie comportamentul asimptotic al termenului rămas

\ R_k(x) = f(x) - P_k(x),

care este o eroare în găsirea unei aproximări a funcției f folosind polinoame Taylor. Folosind „O” mare și „o” mic , teorema lui Taylor poate fi formulată după cum urmează

R_k(x) = o(|xa|^k), \qquad x\to a.

Formule pentru rest

Există mai multe formule exacte pentru restul termenului R k al polinomului Taylor, dintre care cea mai generală este următoarea.

Aceste perfecționări ale teoremei lui Taylor sunt de obicei derivate folosind formula de incremente finite .

Puteți găsi și alte expresii pentru restul. De exemplu, dacă G ( t ) este continuă pe un interval închis și diferențiabilă cu o derivată nedisfuncțională pe un interval deschis între a și x , atunci

R_k(x) = \frac{f^{(k+1)}(\xi)}{k!}(x-\xi)^k \frac{G(x)-G(a)}{G' (\xi)}

pentru un număr ξ între a și x . Această versiune acoperă formele Lagrange și Cauchy ca cazuri speciale și este derivată folosind teorema valorii medii a lui Cauchy (o versiune extinsă a teoremei valorii medii a lui Lagrange ).

Scrierea formulei pentru restul în formă integrală este mai generală decât formulele anterioare și necesită o înțelegere a teoriei integrale Lebesgue . Totuși, este valabil și pentru integrala Riemann, cu condiția ca derivata de ordin ( k +1) a lui f să fie continuă pe intervalul închis [ a , x ].

Datorită continuității absolute a lui f ( k ) pe intervalul închis dintre a și x , derivata sa f ( k +1) există ca funcție L 1 -, iar această consecință poate fi obținută prin calcule formale folosind teorema Newton-Leibniz și integrarea pe părți .

Estimări ale restului

În practică, este adesea utilă estimarea numerică a valorii restului aproximării Taylor.

Vom presupune că f este ( k + 1) de ori diferențiabil continuu pe un interval I care conține a . Presupunem că există numere reale constante q și Q astfel încât

q\le f^{(k+1)}(x)\le Q

pe tot parcursul I. _ Atunci termenul rămas satisface inegalitatea [5]

q\frac{(xa)^{k+1}}{(k+1)!}\le R_k(x)\le Q\frac{(xa)^{k+1}}{(k+1) !},

dacă x > a , și o estimare similară dacă x < a . Aceasta este o consecință simplă a formei Lagrange a formulei restului. În special, dacă

|f^{(k+1)}(x)|\leq M

pe intervalul I = ( a − r , a + r ) cu ceva r >0, atunci

|R_k(x)| \le M\frac{|xa|^{k+1}}{(k+1)!}\le M\frac{r^{k+1}}{(k+1)!}

pentru toate x ∈( a − r , a + r ). A doua inegalitate se numește estimator uniform deoarece păstrează uniformitatea pentru tot x din intervalul ( a − r , a + r ).

Exemplu

Să presupunem că vrem să găsim o aproximare a funcției f ( x ) = e x pe intervalul [−1,1] și să ne asigurăm că eroarea nu depășește 10 −5 . În acest exemplu, presupunem că cunoaștem următoarele proprietăți ale funcției exponențiale:

(*) \qquad e^0=1, \qquad \frac{d}{dx} e^x = e^x, \qquad e^x>0, \qquad x\in\mathbb{R}.

Aceste proprietăți implică faptul că f ( k ) ( x ) = e x pentru toate k , și în special f ( k ) (0) = 1 . Rezultă că polinomul Taylor de ordinul k al funcției f în punctul 0 și termenul său rămas în forma Lagrange este dat de formula

P_k(x) = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^k}{k!}, \qquad R_k(x)=\frac{e^\xi}{ (k+1)!}x^{k+1},

unde ξ este un număr între 0 și x . Deoarece e x crește în funcție de (*), putem folosi e x ≤ 1 pentru x ∈ [−1, 0] pentru a estima restul pe subintervalul [−1, 0]. Pentru a găsi o limită superioară a valorii restului pe intervalul [0,1], putem folosi proprietatea e ξ << e x pentru 0< ξ<x pentru a estima

e^x = 1 + x + \frac{e^\xi}{2}x^2 < 1 + x + \frac{e^x}{2}x^2, \qquad 0 < x\leq 1

folosind un polinom Taylor de ordinul doi. Exprimând e x din această inegalitate , tragem concluzia că

e^x \leq \frac{1+x}{1-\frac{x^2}{2}} = 2\frac{1+x}{2-x^2} \leq 4, \qquad 0 \ leqx\leq 1

presupunând că numărătorul ia maximul tuturor valorilor sale posibile, iar numitorul ia minimul tuturor valorilor sale posibile. Folosind aceste estimări ale valorilor lui e x , vedem că

|R_k(x)| \leq \frac{4|x|^{k+1}}{(k+1)!} \leq \frac{4}{(k+1)!}, \qquad -1\leq x \leq 1 ,

iar precizia cerută este cu siguranță atinsă când

\frac{4}{(k+1)!} < 10^{-5} \quad \Leftrightarrow \quad 4\cdot 10^5 < (k+1)! \quad \Leftrightarrow \quad k \geq 7.

(unde factorialul este 7!=5040 și 8!=40320.) În cele din urmă, teorema lui Taylor conduce la aproximare

e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!} + \ldots + \frac{x^7}{7!} + R_7(x), \qquad |R_7(x)| < 10^{-5}, \qquad -1\leq x \leq 1.

Rețineți că această aproximare ne permite să calculăm valoarea lui e ≈2,71828 cu o precizie de până la a cincea zecimală.

Analitic

Extindere Taylor pentru funcții analitice reale

Fie un interval deschis . Prin definiție, o funcție este analitică reală dacă este definită într-o zonă dată de convergența unei serii de puteri . Aceasta înseamnă că pentru fiecare există r > 0 și o succesiune de coeficienți c k ∈ R astfel încât ( a − r , a + r ) ⊂ I și $I\subset \mathbb {R}$ $f\,:\,I\rightarrow \mathbb {R}$ $a\în I$

f(x) = \sum_{k=0}^\infty c_k(xa)^k = c_0 + c_1(xa) + c_2(xa)^2 + \cdots, \qquad |xa|<r.

În general, raza de convergență serii de puteri poate fi calculată folosind Cauchy-Hadamard

\frac{1}{R} = \limsup_{k\to\infty}|c_k|^\frac{1}{k}.

Acest rezultat se bazează pe o comparație cu o progresie geometrică infinit descrescătoare, iar aceeași metodă arată că, dacă o serie de puteri extinsă în a converge pentru niște b ∈ R , ea trebuie să convergă uniform pe intervalul închis [ a − r b , a + r b ] , unde r b = | b - a |. Aici am luat în considerare doar convergența seriei de puteri și este posibil ca domeniul ( a − R , a + R ) să se extindă dincolo de domeniul I al funcției f .

Polinomul Taylor într-o funcție analitică reală f într-un punct a

P_k(x) = \sum_{j=0}^k c_j(xa)^j, \qquad c_j = \frac{f^{(j)}(a)}{j!}

este o trunchiere simplă a seriei de puteri corespunzătoare acestei funcții definită pe un anumit interval , iar termenul rămas pe acest interval este dat de funcția analitică

R_k(x) = \sum_{j=k+1}^\infty c_j(xa)^j = (xa)^k h_k(x), \qquad |xa|<r.

Aici funcția

h_k:(ar,a+r)\la \R; \qquad h_k(x) = (xa)\sum_{j=0}^\infty c_{k+1+j}(xa)^j

este, de asemenea, analitică, deoarece seria sa de putere are aceeași rază de convergență ca și seria originală. Cu condiția ca [ a − r , a + r ] ⊂ I și r < R , toate aceste serii converg uniform pe intervalul ( a − r , a + r ) . Desigur, în cazul funcțiilor analitice, este posibil să se estimeze termenul rămas R k ( x ) prin „taierea” secvenței derivatelor f′ ( a ) în centrul aproximării, dar când se utilizează analiza complexă , alte apar posibilități, care sunt descrise mai jos.

Teorema lui Taylor și convergența seriei Taylor

Există un dezacord între polinoamele Taylor ale funcțiilor diferențiabile și seria Taylor de funcții analitice. Se poate considera (în mod corect) seria Taylor

f(x) \aproximativ \sum_{k=0}^\infty c_k(xa)^k = c_0 + c_1(xa) + c_2(xa)^2 + \ldots

un număr infinit de ori funcție diferențiabilă f : R → R ca „polinomul lui Taylor de ordin infinit” în punctul a . Acum estimarea pentru restul polinomului Taylor implică că pentru orice ordin k și pentru orice r >0 există o constantă M k,r >0 astfel încât

(*) \quad |R_k(x)|\leq M_{k,r}\frac{|xa|^{k+1}}{(k+1)!}

pentru fiecare x ∈( ar, a+r ). Uneori aceste constante pot fi alese astfel încât M k,r → 0 ca k → ∞ și r să rămână la fel. Apoi seria Taylor a funcției f converge uniform către o funcție analitică

T_f:(ar,a+r)\to\mathbb R; \qquad T_f(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(xa)^k.

Este important să menționăm aici un punct subtil . Este posibil ca o funcție diferențiabilă de infinit de ori f să aibă o serie Taylor în punctul a care converge într-o vecinătate deschisă a punctului a , dar funcția limită T f diferă de f . Un exemplu important al acestui fenomen este

f:\mathbb R \to \mathbb R; \qquad f(x) = \begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}} &, x>0, \\ 0 &, x\leq 0.\end{cases}

Folosind regula lanțului se poate arăta inductiv că pentru orice ordin k ,

f^{(k)}(x)={\begin{cases}{\frac {p_{k}(x)}{x^{3k)}}e^{-{\frac {1} {x^{2}}}}&,x>0\\0&,x\leq 0\end{cases}}}

pentru un polinom p k . Funcția tinde la zero mai repede decât orice polinom ca x → 0 , atunci f este infinit derivabilă și f ( k ) (0) = 0 pentru fiecare număr întreg pozitiv k . Acum estimările pentru restul polinomului Taylor al funcției f arată că seria Taylor converge uniform către funcția zero pe întreaga axă a numerelor reale. Nu va exista nicio eroare în următoarele afirmații: $e^{-\frac{1}{x^2}}$

Seria Taylor a funcției f converge uniform către funcția zero T f ( x )=0.
Funcția nulă este analitică și fiecare coeficient al seriei sale Taylor este zero.
Funcția f este infinit diferențiabilă, dar nu analitică.
Pentru orice k ∈ N și r >0, există M k, r >0 astfel încât restul termenului din polinomul Taylor de ordinul k al funcției f satisface condiția (*).

Teorema lui Taylor în analiza complexă

Teorema lui Taylor generalizează funcții care sunt diferențiabile complexe pe o submulțime deschisă U ⊂ C a planului complex . Cu toate acestea, utilitatea sa este redusă de alte teoreme de analiză complexă , și anume: versiuni mai complete ale rezultatelor similare pot fi derivate pentru funcții diferențiabile complex f : U → C folosind formula integrală Cauchy, așa cum se arată mai jos. $f:\mathbb C\la\mathbb C$

Fie r > 0 astfel încât cercul închis B ( z , r ) ∪ S ( z , r ) să fie conținut în U . Atunci formula integrală Cauchy cu parametrizare pozitivă γ ( t )= re it a cercului S ( z, r ) cu t ∈ [0,2 π ] dă

f(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f(w)}{wz}dw, \quad f'(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f(w)}{(wz)^2}dw, \quad \ldots, \quad f^{(k)}(z) = \frac{k!}{2\ pi i}\int_\gamma \frac{f(w)}{(wz)^{k+1}}dw.

Aici, toți integranții sunt continui pe cercul S ( z , r ), ceea ce justifică diferențierea sub semnul integral . În special, dacă f este odată complex derivabil pe o mulțime deschisă U , atunci este de fapt de un număr infinit de ori complex derivabil pe U. Avem estimarea Cauchy [6]

|f^{(k)}(z)| \leq \frac{k!}{2\pi}\int_\gamma \frac{M_r}{|wz|^{k+1}}dw = \frac{k!M_r}{r^k}, \qquad M_r = \max_{|wc|=r}|f(w)|

pentru orice z ∈ U și r > 0 astfel încât B ( z , r ) ∪ S ( c , r ) ⊂ U . Aceste estimări implică faptul că seria complexă Taylor

f(z) \aproximativ \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(c)}{k!}(zc)^k

funcția f converge uniform în orice cerc B ( c , r ) ⊂ U cu S ( c , r ) ⊂ U în vreo funcție T f . De asemenea, folosind formula de integrare a conturului pentru derivatele f ( k ) ( c ),

\begin{align} T_f(z) = \ & \sum_{k=0}^\infty \frac{(zc)^k}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f(w)}{ (wc)^{k+1}}dw = \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)}{wc} \sum_{k=0}^\infty \Big (\frac{zc}{wc}\Big)^k dw \\ = \ & \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)}{wc}\Big( \ frac{1}{1-\frac{zc}{wc}} \Big) dw = \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)}{wz} dw = f (z), \end{align}

astfel orice funcție complexă derivabilă f pe o mulțime deschisă U ⊂ C este analitică complexă . Tot ceea ce a fost scris mai sus pentru funcțiile analitice reale este valabil și pentru funcțiile analitice complexe, unde intervalul deschis I este înlocuit cu o submulțime deschisă U ∈ C și intervalele a -centrate ( a - r , a + r ) sunt înlocuite cu c - cercuri centrate B ( c , r ). În special, expansiunea Taylor este păstrată ca

f(z) = P_k(z) + R_k(z), \qquad P_k(z) = \sum_{j=0}^k \frac{f^{(k)}(c)}{k!}( zc)^k,

unde restul termenului R k este analitic complex. Când luăm în considerare seria Taylor, metodele de analiză complexă permit obținerea unor rezultate ceva mai puternice. De exemplu, folosind o formulă integrală pentru orice curbă Jordan orientată pozitiv γ care parametriză limita ∂ W ⊂ U a unui domeniu W ⊂ U , se poate obține o expresie pentru derivatele lui f ( j ) ( c ) așa cum se arată mai sus și modificați puțin calculele pentru T f ( z ) = f ( z ) , ajungeți la formula exactă

R_k(z) = \sum_{j=k+1}^\infty \frac{(zc)^j}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)}{(wc)^{ j+1}}dw = \frac{(zc)^{k+1}}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)dw}{(wc)^{k+1}( wz)} , \qquad z\in W.

O caracteristică importantă aici este că calitatea aproximării polinomului Taylor în domeniul W ⊂ U este dominată de valorile funcției f la granița ∂ W ⊂ U . De asemenea, aplicând estimările Cauchy la expresia pentru restul Serii, obținem estimările uniforme

|R_k(z)| \leq \sum_{j=k+1}^\infty \frac{M_r |zc|^j}{r^j} = \frac{M_r}{r^{k+1}} \frac{|zc| ^{k+1}}{1-\frac{|zc|}{r}} \leq \frac{M_r \beta^{k+1}}{1-\beta} , \qquad \frac{|zc |}{r}\leq \beta < 1.

Exemplu

Funcția f : R → R definită de ecuație

f(x) = \frac{1}{1+x^2}

este analitică reală , adică în domeniul dat este determinată de seria lui Taylor. Una dintre figurile de mai sus arată că unele funcții foarte simple nu pot fi exprimate folosind aproximarea Taylor în vecinătatea centrului de aproximare dacă această vecinătate este prea mare. Această proprietate este ușor de înțeles în cadrul unei analize complexe. Mai precis, funcția f se extinde la o funcție meromorfă

f:\mathbb C\cup\{\infty\} \la \mathbb C\cup\{\infty\}; \quad f(z) = \frac{1}{1+z^2}

pe planul complex compactificat. Are axe simple în punctele z = i și z = − i și este peste tot analitică. Seria lui Taylor centrată pe z 0 converge pe orice cerc B ( z 0 , r ) cu r <| zz 0 |, unde aceeași serie Taylor converge pentru z ∈ C . Ca urmare, seria Taylor a funcției f centrată la 0 converge pe B (0,1) și nu converge pentru orice z ∈ C cu | z |>1 datorită prezenței axelor în punctele i și − i . Din aceleași motive, seria Taylor a funcției f centrată pe 1 converge pe B (1,√2) și nu converge pentru orice z ∈ C cu | z -1|>√2.

Generalizări ale teoremei lui Taylor

Ordine superioare de diferențiere

O funcție f : R n → R este diferențiabilă într-un punct a ∈ R n dacă și numai dacă există o formă liniară L : R n → R și o funcție h : R n → R astfel încât

f(\boldsymbol{x}) = f(\boldsymbol{a}) + L(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}) + h(\boldsymbol{x})(\boldsymbol{x}-\boldsymbol {a}), \qquad \lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}h(\boldsymbol{x})=0.

Dacă acest caz este valabil, atunci L = df ( a ) este diferența funcției f în punctul a . În plus, când derivatele parțiale ale funcției f există în punctul a , atunci diferența lui f în punctul a este dată de formula

df( \boldsymbol{a} )( \boldsymbol{v} ) = \frac{\partial f}{\partial x_1}(\boldsymbol{a})v_1 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}(\boldsymbol{a})v_n.

Prezentând multi-indexul , scriem

|\alpha| = \alpha_1+\cdots+\alpha_n, \quad \alpha!=\alpha_1!\cdots\alpha_n!, \quad \boldsymbol{x}^\alpha=x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}

pentru α ∈ N n și x ∈ R n . Dacă toate derivatele parțiale de ordinul k ale unei funcții f : R n → R sunt continue la a ∈ R n , atunci, prin teorema lui Clairaut , se poate modifica ordinea derivatelor mixte într-un punct a , apoi scriind

D^\alpha f = \frac{\partial^{|\alpha|}f}{\partial x_1^{\alpha_1}\cdots \partial x_n^{\alpha_n)), \qquad |\alpha|\leq k

pentru derivatele parțiale de ordin superior este legitimă în această situație. Același lucru este adevărat dacă toate derivatele parțiale de ordinul 1 ale funcției f există într-o vecinătate a punctului a și sunt diferențiabile în punctul a . Atunci putem spune că funcția f este de k ori diferențiabilă în punctul a .

Teorema lui Taylor pentru funcțiile mai multor variabile

Dacă o funcție f : R n → R este k + 1 ori diferențiabilă continuu într- o bilă închisă B , atunci se poate obține o formulă exactă pentru restul expansiunii Taylor de ordinul ( k + 1) a lui f în această vecinătate. Și anume

f( \boldsymbol{x} ) = \sum_{|\alpha|=0}^k \frac{D^\alpha f(\boldsymbol{a})}{\alpha!} (\boldsymbol{x}-\ boldsymbol{a})^\alpha + \sum_{|\beta|=k+1} R_\beta(\boldsymbol{x})(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})^\beta, \qquad R_\beta( \boldsymbol{x} ) = \frac{|\beta|}{\beta!} \int_0^1 (1-t)^{|\beta|-1}D^\beta f \big( \boldsymbol{a}+t( \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a} )\big) \, dt.

În acest caz, datorită continuității derivatelor parțiale de ordinul ( k + 1) pe mulțimea compactă B , obținem direct

\big|R_\beta(\boldsymbol{x})| \leq \frac{|\beta|}{\beta!} \max_{|\alpha|=|\beta|} \max_{\boldsymbol{y}\in B} |D^\alpha f(\boldsymbol{ y})|, \qquad \boldsymbol{x}\în B.

Dovezi

Dovada teoremei lui Taylor pentru o variabilă reală

Lasă [7]

h_k(x) = \begin{cases} \frac{f(x) - P(x)}{(xa)^k} & x\not=a\\ 0&x=a \end{cases}

unde, după cum se spune în formularea teoremei lui Taylor,

P(x) = f(a) + f'(a)(xa) + \frac{f''(a)}{2!}(xa)^2 + \cdots + \frac{f^{(k) )}(a)}{k!}(xa)^k.

Este suficient să arătăm asta

\lim _{x\to a}h_{k}(x)=0.

Dovada se bazează pe o aplicare repetată a regulii lui L'Hospital . Rețineți că fiecare j = 0,1,…, k −1 , . Prin urmare, fiecare derivată ulterioară a numărătorului funcției tinde spre zero în punctul , și același lucru este valabil și pentru numitor. Apoi $f^{(j)}(a)=P^{(j)}(a)$ $h_k(x)$ $x=a$

\begin{align} \lim_{x\to a} \frac{f(x) - P(x)}{(xa)^k} &= \lim_{x\to a} \frac{\frac{d }{dx}(f(x) - P(x))}{\frac{d}{dx}(xa)^k} = \cdots = \lim_{x\to a} \frac{\frac{d ^{k-1}}{dx^{k-1}}(f(x) - P(x))}{\frac{d^{k-1}}{dx^{k-1}}( xa)^k}\\ &=\frac{1}{k!}\lim_{x\to a} \frac{f^{(k-1)}(x) - P^{(k-1) }(x)}{xa}\\ &=\frac{1}{k!}(f^{(k)}(a) - P^{(k)}(a)) = 0 \end{align }

unde trecerea de la penultima expresie la ultima rezultă din definirea derivatei în punctul x = a .

Note

↑ Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), formula lui Taylor , Enciclopedia matematicii , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
↑ Klein, 1998 , §20.3; Apostol, 1967 , §7.7.
↑ Apostol, 1967 , §7.7.
↑ Apostol, 1967 , §7.5.
↑ Apostol, 1967 , §7.6
↑ Rudin, 1987, § 10.26.
↑ Stromberg, 1981

Surse

Apostol, Tom (1967), Calculus , Jon Wiley & Sons, Inc., ISBN 0-471-00005-1 .
Bartle & Sherbert (2000), Introduction to Real Analysis (ed. a treia), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 0-471-32148-6 .
Hörmander, L. (1976), Linear Partial Differential Operators, Volumul 1 , Springer-Verlag, ISBN 978-3540006626 .
Klein, Morris (1998), Calcul: O abordare intuitivă și fizică , Dover, ISBN 0-486-40453-6 .
Pedrick, George (1994), Un prim curs de analiză , Springer-Verlag, ISBN 0-387-94108-8 .
Stromberg, Karl (1981), Introducere în analiza reală clasică , Wadsworth, Inc., ISBN 978-0534980122 .
Rudin, Walter (1987), Analiza reală și complexă, ed. a III-a. , Compania de carte McGraw-Hill, ISBN 0-07-054234-1 .

Link -uri

Seria Taylor Aproximarea la cosinus la tăierea nodului
Applet demonstrativ interactiv Trigonometric Taylor Expansion
Seria Taylor revizuită la Institutul de Metode Numerice Holistice