Teorema triunghiului dreptunghic a lui Fermat

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 27 octombrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Teorema triunghiului dreptunghic a lui Fermat este o dovadă a inexistenței în teoria numerelor , singura demonstrație completă rămasă de Pierre Fermat [1] . Teorema are mai multe formulări echivalente:

Dacă trei numere pătrate formează o progresie aritmetică , atunci pasul progresiei nu poate fi un pătrat.
Nu există două triple pitagorice în care două catete ale unui triplu sunt catetul și ipotenuza celuilalt triplu.
Un triunghi dreptunghic , în care lungimile tuturor celor trei laturi sunt un număr rațional , nu poate avea o zonă egală cu pătratul unui număr rațional. Aria definită în acest fel se numește număr congruent , deci niciun număr congruent nu poate fi un pătrat.
Un triunghi dreptunghic și un pătrat cu aceeași zonă nu pot avea laturi comensurabile (valorile sunt comensurabile dacă câtul acestor mărimi este un număr rațional).
Singurele puncte raționale de pe o curbă eliptică sunt cele trei puncte triviale (0,0), (1,0) și (−1,0). $y^{2}=x(x-1)(x+1)$
Ecuația diofantină nu are soluții întregi. $x^{4}-y^{4}=z^{2}$

O consecință imediată a ultimei dintre aceste afirmații este validitatea ultimei teoreme a lui Fermat pentru exponentul . $n=4$

Formulare

Pătratele progresiilor aritmetice

În 1225, matematicianului italian Fibonacci a fost rugat să găsească o modalitate de a construi triple de pătrate care sunt la aceeași distanță unele de altele, formând o progresie aritmetică [2] . O modalitate de a descrie soluția Fibonacci este de a reprezenta aceste numere ca diferența catetelor, ipotenuzei și suma catetelor triplei pitagoreice , iar apoi pasul de progresie va fi egal cu aria cvadrupla a acestui triunghi [3] ] . Într-o lucrare ulterioară asupra acestei probleme, publicată în Book of Squares , Fibonacci a remarcat că pasul unei progresii aritmetice a pătratelor nu poate fi el însuși un pătrat, dar nu a oferit o dovadă satisfăcătoare a acestui fapt [4] [5 ]. ] .

Dacă trei pătrate , și ar forma o progresie aritmetică, în care pasul este și un pătrat , atunci aceste numere ar satisface ecuațiile diofantine $a^2$ $b^{2}$ $c^{2}$ $d^{2}$

a^{2}+d^{2}=b^{2}

și .

b^{2}+d^{2}=c^{2}

În acest caz, prin teorema lui Pitagora , ele ar forma două triunghiuri dreptunghiulare cu laturile întregi, în care perechea ar fi catetul și ipotenuza triunghiului mai mic și aceeași pereche ar fi catetele triunghiului mai mare. Dar dacă (după cum a arătat Fibonacci) nu există un pas pătrat în succesiunea aritmetică a pătratelor, atunci nu pot exista două triunghiuri dreptunghiulare cu laturi întregi ale căror două laturi care coincid sunt conectate în acest fel [6] . $(d,b)$

Arii de triunghiuri dreptunghiulare

Deoarece pasul unei progresii de pătrate este egal cu patru arii ale unui triunghi pitagoreic, iar înmulțirea cu patru nu schimbă dacă un număr este pătrat, existența unui pas de pătrat într-o succesiune aritmetică de pătrate este echivalentă cu existența un triunghi pitagoreic cu aria egală cu pătratul unui număr întreg. Aceasta este varianta pe care Fermat a considerat-o în demonstrația sa și în care a arătat că astfel de triunghiuri nu există [1] . Nu Fibonacci l-a îndemnat pe Fermat la această sarcină, ci citirea cărții lui Diophantus , publicată de Claude Gaspard Bachet [1] . Această carte descrie diferite triunghiuri dreptunghiulare speciale a căror zonă este legată de pătrate, dar nu se presupune că sunt pătrate [7] .

Transformând ecuațiile pentru cele două triunghiuri pitagorice de mai sus și apoi înmulțindu-le, putem obține ecuația diofantină

b^{4}-d^{4}=(b^{2}-d^{2})(b^{2}+d^{2})=a^{2}c^{2}

care poate fi simplificat la

b^{4}-d^{4}=e^{2}.

Dimpotrivă, orice soluție a acestei ecuații poate fi extinsă în așa fel încât să obținem pasul pătratului în succesiunea aritmetică a pătratelor. Astfel, solvabilitatea acestei ecuații este echivalentă cu existența unui pas pătrat într-o succesiune aritmetică de pătrate. Dar dacă Ultima Teoremă a lui Fermat nu ar fi adevărată pentru exponentul , atunci orice contraexemplu ar fi chiar cele trei pătrate care satisfac ecuația. Astfel, din demonstrația lui Fermat că nu există un triunghi pitagoreic cu aria egală cu pătratul unui număr întreg, rezultă că ecuația nu are soluții și de aceea (pentru acest caz) ultima teoremă a lui Fermat este adevărată [7] . $n=4$

O altă formulare a aceleiași probleme folosește numere congruente , numere care sunt ariile triunghiurilor dreptunghiulare cu laturile raționale . Înmulțind ambele părți cu un numitor comun, orice număr congruent poate fi convertit în aria unui triunghi pitagoreic, ceea ce implică faptul că numerele congruente sunt exact numerele obținute prin înmulțirea pasului dintr-o succesiune aritmetică de pătrate cu pătratul unui Numar rational. Astfel, nu există un pas pătrat în succesiunea aritmetică de pătrate dacă și numai dacă numărul 1 nu este congruent [8] [9] . Formulare echivalentă: este imposibil ca un pătrat ( figura geometrică ) și un triunghi dreptunghic să aibă aceeași arie și toate laturile să fie comonsurabile perechi (valorile sunt comensurabile dacă câtul acestor mărimi este un număr rațional) [5] .

Curba eliptică

O altă formulare echivalentă a teoremei lui Fermat folosește o curbă eliptică constând din puncte ale căror coordonate carteziene satisfac ecuația $(X y)$

y^{2}=x(x+1)(x-1).

Această ecuație are soluții evidente (0,0), (1,0) și (−1,0). Teorema lui Fermat este echivalentă cu afirmația că numai aceste puncte ale curbei au ambele coordonate raționale [9] [10] .

Dovada lui Fermat

În timpul vieții sale, Fermat a sugerat altor matematicieni că nu există un triunghi pitagoreic cu o zonă care este un pătrat, dar nu a publicat el însuși dovada. Cu toate acestea, el a notat dovada în marginea Aritmeticii lui Diophantus , publicată de Claude Bachet , care a fost în curând descoperită și publicată postum de fiul său [1] [5] .

Dovada lui Fermat folosește metoda coborârii infinite . El a arătat că din orice exemplu de triunghi pitagoreic cu o suprafață pătrată, se poate obține aceeași instanță cu o zonă mai mică. Întrucât triunghiurile lui Pitagora au o zonă întreagă pozitivă și nu există o succesiune infinită descrescătoare de numere întregi pozitive, nu poate exista triunghiuri pitagorice cu o zonă care este pătratul unui număr întreg [1] [5] .

Să presupunem că , și sunt laturile întregi ale unui triunghi dreptunghic cu aria fiind pătratul unui număr întreg. După împărțirea la factori comuni, putem considera triunghiul simplu [5] , iar din formulele cunoscute pentru triunghiuri pitagorice simple, putem presupune , și , în urma cărora problema se transformă în găsirea numerelor întregi coprime și (dintre care unul este chiar), astfel că este un pătrat. Cei patru factori liniari , , și sunt coprimi și, prin urmare, trebuie să fie ei înșiși pătrați. Lasă și . Este important să rețineți că și , și trebuie să fie impar, deoarece doar unul dintre numere este fie par, iar celălalt este impar. Astfel, și , și sunt pare, iar unul dintre ei este divizibil cu 4. Din aceste două numere, Fermat obține alte două numere, și , dintre care unul este par. Deoarece este un pătrat și sunt catetele unui alt triunghi pitagoreic simplu, aria lui care este egală cu . Deoarece el însuși este un pătrat și, din moment ce este par, este un pătrat. Astfel, orice triunghi pitagoreic cu aria egală cu pătratul unui număr întreg duce la un triunghi pitagoreic cu aria pătrată mai mic, care completează demonstrația [1] [7] [5] . $X$ $y$ $z$ $x=2pq$ $y=p^{2}-q^{2}$ $z=p^{2}+q^{2}$ $p$ $q$ $pq(p^{2}-q^{2})$ $p$ $q$ $p+q$ $pq$ $p+q=r^{2}$ $pq=s^{2}$ $r$ $s$ $p$ $q$ $(rs)$ $(r+s)$ $u=(rs)/2$ $v=(r+s)/2$ $u^{2}+v^{2}=p$ $u$ $v$ $(uv)/2=q/4$ $q$ $UV$ $q/4$

Link -uri

↑ 1 2 3 4 5 6 G. Edwards. Ultima teoremă a lui Fermat: o introducere genetică în teoria algebrică a numerelor. - M . : Mir, 1980. - S. 24; 1.6 O dovadă a lui Fermat.
↑ Michael John. The Birth of Mathematics: Ancient Times to 1300. - Editura Infobase, 2006. - P. 124. - ISBN 978-0-8160-5423-7 .
↑ Albert H. Beiler. Recreeri în teoria numerelor: regina matematicii distrează. - Courier Corporation, 1964. - P. 153. - ISBN 978-0-486-21096-4 .
↑ Øystein Ore. Teoria numerelor și istoria ei. - Courier Dover Corporation, 2012. - S. 202-203. — ISBN 978-0-486-13643-1 .
↑ 1 2 3 4 5 6 Leonard Eugene Dickson. Istoria teoriei numerelor. - Societatea Americană de Matematică, 1999. - V. 2. - S. 615-626. — ISBN 978-0-8218-1935-7 .
↑ Joshua Cooper, Chris Poirel. Partiție-regularitate pitagoreică și sisteme triple ordonate cu proprietatea Sum. - 2008. - T. 0809 . - S. 3478 . - Cod . - arXiv : 0809.3478 .
↑ 1 2 3 John Stillwell. numere și geometrie. - Springer, 1998. - S. 131-133. - (Texte de licență în matematică). - ISBN 978-0-387-98289-2 .
↑ Keith Conrad. Problema numerelor congruente // Harvard College Mathematical Review. - 2008. - Vol. 2 , numărul. 2 . — p. 58–73 . Arhivat din original pe 20 ianuarie 2013.
↑ 12 Neal Koblitz . Introducere în curbele eliptice și forme modulare. - Springer-Verlag, 1984. - (Texte de absolvire în matematică). - ISBN 0-387-97966-2 .
↑ Kazuya Kato, Takeshi Saitō. Teoria numerelor: visul lui Fermat. - Societatea Americană de Matematică, 2000. - P. 17. - ISBN 978-0-8218-0863-4 .

Link- uri externe

Weisstein, Teorema triunghiului drept al lui Eric W. Fermat (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .