Teoreme de izomorfism

Teoremele de izomorfism din algebră sunt o serie de teoreme care leagă conceptele de factor , homomorfism și obiect imbricat . Enunțul teoremelor este un izomorfism al unor perechi de grupuri , inele , module , spații liniare , algebre Lie sau alte structuri algebrice (în funcție de aplicație). Există de obicei trei teoreme de izomorfism, numite Prima (de asemenea, teorema fundamentală a homomorfismului ), a doua și a treia. Deși astfel de teoreme decurg destul de ușor din definiția factorului și onoarea descoperirii lor nu este atribuită în mod special nimănui, se crede că Emmy Noether a dat cele mai generale formulări .

Grupuri

Prima teoremă

Fie un homomorfism de grup , atunci:

  1. Nuezul φ este un subgrup normal al lui  G ;
  2. Imaginea φ este un subgrup de  H ;
  3. Imaginea φ este izomorfă cu grupul de factori G  / ker φ.

În special, dacă homomorfismul φ este surjectiv (adică este un epimorfism ), atunci grupul H este izomorf cu grupul de factori G  /ker φ.

A doua teoremă

Fie G un grup, S un subgrup al lui  G , N un subgrup normal al lui  G , atunci:

  1. Produsul este un subgrup al lui  G ;
  2. Intersecția este un subgrup normal al lui  S ;
  3. Grupări de factori și sunt izomorfe.

A treia teoremă

Fie G un grup, N și K subgrupuri normale ale lui  G astfel încât K  ⊆  N , atunci:

  1. N  /  K este un subgrup normal al  G  /  K ;
  2. Grupul de coeficient de grupări de coeficient ( G  /  K )/( N  /  K ) este izomorf cu grupul de coeficient G  /  N .

Inele

În acest domeniu, conceptul de subgrup normal este înlocuit cu conceptul de ideal al unui inel .

Prima teoremă

Fie un homomorfism inel , atunci:

  1. Nucleul φ este un ideal în  R ;
  2. Imaginea φ este un subinel în  S ;
  3. Imaginea φ este izomorfă cu inelul factor R  / ker φ.

În special, dacă homomorfismul φ este surjectiv (adică este un epimorfism), atunci inelul S este izomorf cu inelul factor R  / ker φ.

A doua teoremă

Fie R un inel, S un subinel în  R , I un ideal în  R , atunci:

  1. Suma S  +  I este un subinel în  R ;
  2. Intersecţia S  ∩  I este un ideal în  S ;
  3. Inelele factoriale ( S  +  I ) /  I și S  / ( S  ∩  I ) sunt izomorfe.

A treia teoremă

Fie R un inel, A și B ideali în  R astfel încât B  ⊆  A , atunci:

  1. A  /  B este un ideal în  R  /  B ;
  2. Inelul coeficient al inelelor coeficient ( R  /  B ) / ( A  /  B ) este izomorf cu inelul coeficient R  /  A .

Module, grupuri abeliene și spații liniare

Teoremele de izomorfism pentru grupuri abeliene și spații liniare sunt un caz special de teoreme pentru module , care vor fi formulate. Pentru spațiile liniare, mai multe informații pot fi găsite în articolul „ nucleu de mapare liniară ”.

Prima teoremă

Fie un homomorfism de module, atunci:

  1. Nucleul φ este un submodul în  M ​​;
  2. Imaginea φ este un submodul în  N ;
  3. Imaginea φ este izomorfă cu modulul de coeficient M  / ker φ.

A doua teoremă

Fie M un modul, S și T submodule în  M ​​, atunci:

  1. Suma S  +  T este un submodul în  M ​​;
  2. Intersecția S  ∩  T este un submodul în  M ​​;
  3. Modulul coeficient (S + T) / T este izomorf cu modulul coeficient S  / ( S  ∩  T ).

A treia teoremă

Fie M un modul, S și T submodule în  M astfel încât T  ⊆  S , atunci:

  1. S  /  T este un submodul în  M  /  T ;
  2. Setul de factori de module de factori ( M  /  T ) / ( S  /  T ) este izomorf cu modulul de factori M  /  S .

Vezi și