Teoria Morse

Teoria Morse este o teorie matematică dezvoltată în anii 1920 - 1930 de Marston Morse , conectând proprietățile algebric-topologice ale varietăților și comportamentul funcțiilor netede asupra acesteia în punctele critice .

Una dintre primele aplicații istorice ale metodelor de topologie diferențială în analiză . Morse a numit teoria „calcul variațional în mare” (în engleză variation calculus in large ), în timp ce începând cu anii 1960, odată cu generalizarea rezultatelor la varietăți cu dimensiuni infinite, teoria Morse a început să fie considerată o subsecțiune a analizei globale - analiză pe varietati [1] . La rândul lor, în lucrările lui Raoul Bott din a doua jumătate a anilor 1950, metodele teoriei Morse au fost aplicate problemelor pur topologice, iar rezultatele obținute (în primul rând teorema periodicității ) au servit în mare măsură ca fundație pentru o dezvoltare independentă. secțiunea de matematică - K-theory .

Se disting trei domenii principale dezvoltate succesiv ale teoriei Morse: teoria clasică a punctelor critice pe o varietate netedă , teoria Morse pentru geodezică pe o varietate riemanniană , care a fost o aplicație a construcțiilor teoriei clasice și Morse. teoria asupra varietăților Banach , care extinde în mod firesc teoria geodezicilor și este generalizarea directă a teoriei clasice [2] .

Teoria punctelor critice pe o varietate netedă

Rezultatul cheie al teoriei punctelor critice pe o varietate netedă este lema lui Morse , care descrie comportamentul unei funcții reale pe o varietate la un punct critic nedegenerat : conform lemei, există o hartă pentru vecinătate astfel încât pentru toti si in ansamblu avem : $f:M\la \mathbb{R}$ $b\în M$ $(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ $U\nb$ $x_{i}(b)=0$ $i$ $U$

f(x)=f(b)-x_{1}^{2}-\cdots -x_{{\alpha }}^{2}+x_{{\alpha +1}}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}

(Aici , indicele la punctul .) O generalizare a lemei la spații Hilbert este lema Morse-Pale . $\alfa$ $f$ $b$

Un alt rezultat important este legat de aplicarea transformării Morse : dacă o mulțime este compactă, nu intersectează granița varietatii și conține exact un punct critic care are indicele Morse , atunci este difeomorfă cu varietatea obținută prin lipire . mânerul index . $f^{{-1}}([a,b])$ $M$ $k$ $f^{{-1}}(b)$ $f^{{-1}}(a)$ $k$

Fiecare funcție Morse pe o varietate netedă fără graniță (astfel încât toate mulțimile să fie compacte) corespunde unui complex CW homotopic echivalent cu varietatea ale cărei celule sunt în corespondență unu-la-unu cu punctele critice ale funcției și dimensiunea lui celula este egală cu indicele Morse al punctului critic corespunzător. Consecințele importante ale acestui rezultat sunt inegalitățile Morse . De asemenea, acest rezultat oferă un instrument puternic pentru studierea topologiei varietăților și nu numai indicii sunt importanți, ci și numărul de puncte critice. De exemplu, dacă o funcție Morse este dată pe o varietate închisă care are exact puncte critice (ai căror indici sunt necunoscuți), atunci: $f$ $M$ $f^{{-1}}(a)$ $M$ $f$ $f:M\la R$ $m$

cazul este imposibil conform inegalităților Morse; $m=1$
în cazul : teorema sferei lui Reeb afirmă că este homeomorf (dar, în general, nu difeomorf ) cu o sferă ; $m=2$ $M$ $S^{n}$
cazul este posibil numai în unele dimensiuni mici, fiind în același timp homeomorf pentru varietatea Eales-Kuiper . $m=3$ $M$

Note

↑ Smale S. Ce este analiza globală? (engleză) // American Mathematical Monthly. - 1969. - Vol. 76 , nr. 1 . - P. 4-9 . — ISSN 0002-9890 . - doi : 10.2307/2316777 .
↑ Teoria Morse - Encyclopedia of Mathematics articol . M. M. Postnikov , Yu. B. Rudyak

Literatură

Milnor, J. Teoria Morse / Per. din engleza. V. I. Arnold . - 1965. - 184 p.
V. A. Sharafutdinov. Prelegeri. Capitolul 3: Fundamentele teoriei Morse