Topologie banala
Topologia banala in topologia generala este topologia formata doar din spatiul intreg si multimea goala . Este mai logic, totuși, să numim această topologie antidiscretă, deoarece atât topologiile discrete , cât și cele antidiscrete sunt ambele destul de banale în sensul general al cuvântului.
Definiție
Fie o mulțime arbitrară . Familia de submulțimi unde denotă mulțimea goală este topologia . Această topologie se numește topologie trivială, antidiscretă sau de puncte lipicioase . Perechea se numește spațiu topologic banal (altfel: antidiscret) .
Notă
Dacă mulțimea conține mai mult de un punct, atunci toate nu se pot distinge din punct de vedere topologic, deoarece sunt conținute într-o singură vecinătate .
Proprietăți
- Singurele mulțimi închise dintr-un spațiu topologic antidiscret sunt și
- Topologia antidiscretă are o bază unică :
- Un spațiu topologic antidiscret nu satisface majoritatea axiomelor de separare . În special, nu este Hausdorff și, prin urmare, nu este metrizabil . Totuşi, spaţiul topologic antidiscret satisface axiomele T 3 , T 31 , T 4 datorită absenţei în el a acelor obiecte pentru care este necesară verificarea condiţiilor axiomelor. De aceea, definițiile spațiilor topologice regulate, complet regulate și normale sunt supuse cerinței de a satisface încă o axiomă de separabilitate: axioma T 1 .
- Un spațiu topologic antidiscret este compact și paracompact .
- Orice șir de puncte de la converge către orice punct din același spațiu. În special, un spațiu topologic antidiscret este secvenţial compact .
- Interiorul unei submulțimi propriu -zise arbitrare este gol.
- Închiderea unui submult arbitrar nevid coincide cu . În special, orice subset al unui spațiu topologic antidiscret este peste tot dens în
- Două spații topologice antidiscrete sunt homeomorfe dacă și numai dacă au aceeași cardinalitate .
