Funcția trigam

Funcția trigamă în matematică este a doua dintre funcțiile poligamă . Se notează și se definește ca $\psi_{{1}}(z)$

\psi _{1}(z)={\frac {{{\rm {d}}}^{2}}{{{\rm {d}}}z^{2}}}\ln \Gamma ( z)\;,

unde este funcția gamma [1] . Din această definiţie rezultă că $\Gamma(z)$

\psi _{1}(z)={\frac {({\rm {d}}}}{({\rm {d}}}z}}\psi (z)\;,

unde este funcția digamma (prima dintre funcțiile poligam ) [2] . $\psi (z)$

Funcția trigamma poate fi definită și în termenii sumei următoarelor serii:

\psi _{1}(z)=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {1}{(z+n)^{2}}},

de unde se vede că este un caz special al funcției zeta Hurwitz [2 ] ,

\psi _{1}(z)=\zeta (2,z)\;.

Aceste formule sunt adevărate atunci când (în punctele indicate, funcția are singularități pătratice , vezi graficul funcției). $z\neq 0,\;-1,\;-2,\;-3,\ldots$ $\psi_{{1}}(z)$

Există și alte notații utilizate în literatură: $\psi_{{1}}(z)$

\psi '(z),\;\;\;\psi ^{{(1)}}(z)\;.

Uneori termenul „funcție trigam” este folosit pentru funcția [1] . $F'(z)=\psi _{{1}}(z+1)$

Reprezentări integrale

Folosind reprezentarea în serie, precum și formula pentru suma termenilor unei progresii geometrice , se poate obține următoarea reprezentare dublă integrală:

\psi _{1}(z)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{y}{\frac {x^{z-1}y}{1-x }}\,{\rm {d}}x\,{\rm {d}}y\;.

Integrarea pe părți oferă următoarea reprezentare unică:

\psi _{1}(z)=-\int _{0}^{1}{\frac {x^{z-1}\ln {x}}{1-x}}\,{ \rm {d}}x\;.

Se folosește și o altă reprezentare, care se poate obține din cea anterioară prin înlocuirea x = e -t :

\psi _{1}(z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-zt)} {1-e^{-t))}\,{\ rm {d}}t\;.

Alte formule

Funcția trigamma satisface relația recursivă [2]

\psi _{1}(z+1)=\psi _{1}(z)-{\frac {1}{z^{2}}}\;,

precum și formula complementului [2]

\psi _{1}(1-z)+\psi _{1}(z)={\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}(\pi z)))\;.

Funcția trigamma a unui argument multiplu are următoarea proprietate [2] :

\psi _{1}(kz)={\frac {1}{k^{2}}}\sum _{{n=0}}^{{k-1}}\psi _{1}\left (z+{\frac {n}{k}}\dreapta)\;.

De asemenea, oferim o expansiune asimptotică folosind numerele Bernoulli :

\psi _{1}(z+1)={\frac {1}{z}}-{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{k=1}^ {\infty }{\frac {B_{2k}}{z^{2k+1}}}\;.

Valori private

Mai jos sunt valorile particulare ale funcției trigam [1] :

\psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G\;,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{3}}\right)={\tfrac {2}{3}}\pi ^{2}+3{\sqrt { 3}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{2}}\right)={\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}\;,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {2}{3}}\right)={\tfrac {2}{3}}\pi ^{2}-3{\sqrt { 3}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)=\pi ^{2}-8G\;,

\psi _{1}(1)\;={\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}\;,

unde G este constanta Catalana și este funcția Clausen legată de partea imaginară a dilogaritmului prin ${\mathrm {Cl}}_{2}(\theta )$

{\mathrm {Cl}}_{2}(\theta )={\mathrm {Im}}\left[{\mathrm {Li}}_{2}\!\left(e^{{{\mathrm { i}}\theta }}\dreapta)\dreapta]\;.

Folosind formula cu argumente multiple și formula complementului, precum și legătura cu funcția Clausen [3] [4] , obținem: $\psi_{{1}}\!\left({\tfrac 18}\right)$

\psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{6}}\right)=2\pi ^{2}+15{\sqrt {3}}\;\mathrm {Cl } _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {5}{6}}\right)=2\pi ^{2}-15{\sqrt {3}}\;\mathrm {Cl } _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{8}}\right)=(2+{\sqrt {2}})\pi ^{2}+4(4- {\sqrt {2}})G+16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\; ,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {3}{8}}\right)=(2-{\sqrt {2}})\pi ^{2}-4(4+ {\sqrt {2}})G+16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\; ,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {5}{8}}\right)=(2-{\sqrt {2}})\pi ^{2}+4(4+ {\sqrt {2}})G-16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\; ,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {7}{8}}\right)=(2+{\sqrt {2}})\pi ^{2}-4(4- {\sqrt {2}})G-16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\; .

Pentru valorile în afara intervalului , se poate folosi recurența de mai sus. De exemplu [1] , $0<z\leq 1$

\psi _{1}\!\left({\tfrac {5}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G-16\;,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {3}{2}}\right)={\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}-4\;,

\psi _{1}(2)\;={\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}-1\;.

Vezi și

Note

↑ 1 2 3 4 Eric W. Weisstein. Funcția Trigamma (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
↑ 1 2 3 4 5 Eric W. Weisstein. Funcția Polygamma (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
↑ C.C. Grosjean, Formule privind calculul integralei Clausen ${\mathrm {Cl}}_{2}(\theta )$ , J. Comp. Aplic. Matematică. 11 (1984) 331-342
↑ PJ de Doelder, On the Clausen integral and a related integral ${\mathrm {Cl}}_{2}(\theta )$ , J. Comp. Aplic. Matematică. 11 (1984) 325-330

Link -uri

Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions , (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 . Vezi secțiunea §6.4
Eric W. Weisstein, Funcția Trigamma , MathWorld - mathworld.wolfram.com
Eric W. Weisstein, Funcția poligamă , MathWorld - mathworld.wolfram.com