Efect de tunel

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 16 august 2022; verificările necesită 2 modificări .

Efect de tunel , tunelare - depășirea unei potențiale bariere de către o microparticulă în cazul în care energia sa totală (rămânând neschimbată în timpul tunelării) este mai mică decât înălțimea barierei. Efectul de tunel este un fenomen de natură exclusiv cuantică , imposibil în mecanica clasică și chiar contrazicându-l complet. Un analog al efectului de tunel în optica undelor poate fi pătrunderea unei unde luminoase într-un mediu reflectorizant (la distanțe de ordinul lungimii de undă a unei unde luminoase) în condițiile în care, din punctul de vedere al opticii geometrice , totalul intern . are loc reflexia . Fenomenul tunelului stă la baza multor procese importante din fizica atomică și moleculară , în fizica nucleului atomic , a stării solide etc.

Descrierea mecanică cuantică a esenței efectului

Conform mecanicii clasice, o particulă poate fi localizată numai în acele puncte din spațiu în care energia sa potențială este mai mică decât energia sa totală . Aceasta rezultă din faptul că energia cinetică a particulei $U$

E_{kin}={\frac {p^{2}}{2m}}=EU

nu poate (în fizica clasică) să fie negativă, deoarece în acest caz impulsul va fi o mărime imaginară . Adică, dacă două regiuni ale spațiului sunt separate printr-o barieră de potențial, astfel încât pătrunderea unei particule prin aceasta în cadrul teoriei clasice se dovedește a fi imposibilă. ${U}>{E}$

În mecanica cuantică, faptul că valoarea imaginară a impulsului unei particule nu este o prostie. Să presupunem că ecuația Schrödinger cu potențial constant = const, scrisă în cazul unidimensional ca $U(x)$

{\frac {{{\rm {d}}^{2}}{\psi }}{({\rm {d}}{x}}^{2}}}+{\frac {2m }{{\hbar }^{2))}{\left({E}-{U}\right)}{\psi }=0,

unde este funcția de undă dorită , este coordonata , este constanta Planck redusă , este masa particulei, are soluția $\psi$ $X$ ${\hbar )$ $m$

{\psi }=A\exp {\left(i\,{\frac {p}{\hbar }}\,x\right)+B\exp \left(-i\,{\frac { p}{\hbar }}\,x\right)},\quad p={\sqrt {2m\left(EU\right)))

Această soluție se aplică situației atât , cât și . În al doilea, imposibil în mecanica clasică, caz, sub exponenți va exista o valoare reală datorată unui impuls imaginar - fizic, o astfel de soluție descrie atenuarea sau amplificarea unei unde cu o coordonată. Concretizarea este determinată de condițiile la limită. $E>U$ $E<U$

Valorile diferite de zero ale lui indică faptul că există o anumită probabilitate ca particula să cadă într-o regiune clasic inaccesibilă, care în acest context se numește barieră. Dacă regiunea este infinit de groasă (semi-spațiu), funcția de undă scade cu o adâncime caracteristică. Dacă bariera are o grosime finită comparabilă cu această adâncime, atunci atenuarea se oprește în afara barierei, iar funcția de undă a undei transmise corespunde propagării ulterioare, deși cu o amplitudine mai mică (prezentată în figură). $|\psi (x)|^{2)$ $E<U$

În procesul de tunelizare, energia totală a particulei și componenta sa de impuls sunt conservate în planul perpendicular pe direcția tunelului: $E$ $\,{\vec {p}}_{\bot }$ $yz$

E={\rm {{const},\quad {\vec {p}}_{\bot }={\rm {const}}}}

Mai sus, luând în considerare cazul unidimensional, s-a presupus că ; dacă , atunci în expresia pentru ar fi necesar să se înlocuiască cu . Nerespectarea regulilor de conservare este posibilă numai sub acțiunea forțelor disipative care încalcă „puritatea” procesului de tunel. $p_{\bot}=0$ $p_{\bot }\neq 0$ $\psi$ $p$ $p_{x}=[2m\left(EU\right)-p_{\bot }^{2}]^{1/2)$

Coeficientul de penetrare a barierei

Să existe o particulă în mișcare , pe calea căreia există o barieră potențială , și înainte și după ea . Mai departe, să coincidă începutul barierei cu originea coordonatelor, iar „lățimea” barierei este . $U(x)$ $U=0$ $A$

Apoi, pentru prima (înainte de barieră) și a treia (după) regiuni, ecuația Schrödinger oferă o soluție sub forma unei sume a două exponențiale cu exponenți reali:

{{\psi }_{I}}={A_{1}}\exp {\left(ikx\right)}+{B_{1}}\exp {\left(-ikx\right)}

{{\psi }_{III}}={A_{3}}\exp {\left(ik(xa)\right)}+{B_{3}}\exp {\left(-ik( xa)\dreapta)}

în timp ce pentru a doua zonă (barieră) soluția poate fi complexă și este determinată de tipul profilului . Aici $\psi _{II}(x)$ $U(x)$

k={\sqrt {\frac {2mE}{\hbar ^{2}}})

Deoarece termenul descrie unda reflectată care vine de la plus infinit, care este absentă în regiunea III, trebuie să punem . ${B_{3}}\exp {\left(-ik(xa)\right))$ ${B_{3}}=0$

Coeficientul de transparență (coeficientul de transmisie) al barierei este egal cu modulul raportului dintre densitatea de flux a particulelor trecute și densitatea de flux a particulelor căzute:

T={\frac {j_{III}}{j_{I}}}

Următoarea formulă este utilizată pentru a determina fluxul de particule:

{\displaystyle {j}={\frac {i{\hbar }}{2m}}{\left({\frac {{\partial }{{\psi }^{*}}}{{\partial }x }}{\psi }-{\frac {{\partial }{\psi }}({\partial }x}}({\psi }^{*}}\right))))

unde semnul * denotă conjugarea complexă . Înlocuind funcțiile de undă indicate mai sus în această formulă, obținem:

{T}={\frac {|{A_{3}}|^{2}}{|{A_{1}}|^{2}}}

Prin urmare, pentru a determina coeficientul de transmisie , este necesar să se cunoască și . $T$ $A_{1}$ $A_{3}$

Bariera de potențial dreptunghiulară

În cazul celei mai simple bariere dreptunghiulare la , funcția de undă din barieră are forma: $U(x)=U_{0}$ $0<x<a$

{{\psi }_{II}}={A_{2}}\exp {\left(-{\kappa}x\right)}+{B_{2}}\exp {\left({ \kappa }x\right)},

unde este numărul de undă .

\kappa ={\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\left({U_{0}-E}\right)}))

În calculul analitic al factorilor pre-exponenţiali din expresiile pentru , se folosesc „condiţiile pentru funcţiile de legătură”: cerinţele de continuitate şi derivatele acestora la ambele joncţiuni. $\psi _{I},$ $\psi _{II},$ $\psi _{III}$ $\psi$ $d\psi /dx$

După ce facem calculul, obținem:

T={\frac {1}{1+{\frac {U_{0}^{2}}{4E\left(U_{0}-E\right)))\sinh ^{2}( \kappa a)}}.

Scrierea acestei formule este mai firească pentru cazul Dar formula este valabilă și pentru trecerea peste barieră, în timp ce sinusul hiperbolic poate fi înlocuit cu cel obișnuit prin formula . $E<U_{0}.$ $E>U_{0},$ $\sinh(is)=i\sin s$

Din analiza formulei reiese clar că, spre deosebire de cazul clasic, în primul rând, trecerea este posibilă și la , iar în al doilea rând, trecerea la nu este garantată (vezi figura). $T$ $E<U_{0}$ $E>U_{0}$

În general, pentru energii mai mici , pentru ca coeficientul de transparență să aibă valori apreciabile, bariera trebuie să fie subțire și scăzută. $U_{0},$

În cazul în care coeficientul de transmisie este mic, formula este convertită în: $E\ll U_{0},$

T={\frac {16(U_{0}-E)E}{U_{0}^{2}}}\cdot \exp \left(-{\frac {2a{\sqrt {2m( U_{0}-E))))}{\hbar }}\dreapta),

unde factorul pre-exponenţial poate fi adesea considerat aproape de unitate şi poate fi omis.

Formă liberă barieră potențială

O barieră potențială de formă arbitrară poate fi împărțită mental într-un sistem de bariere dreptunghiulare de lățime mică, cu energia potențială stând chiar una lângă alta . $U(x)$ $\Delta x$ $U_{i}.$

T=\prod T_{i}=\prod \exp \left(-{\frac {2{\sqrt {2m(U_{i}-E))}}{\hbar }}\Delta x\ dreapta)=\exp \left(-\sum {\frac {2{\sqrt {2m(U_{i}-E)))}{\hbar }}\Delta x\right).

Factorul pre-exponențial a fost setat la unu. Dacă avem tendința la zero în ultima expresie și trecem de la însumare la integrare, obținem [1] : $\Delta x$

T=\exp \left(-{\frac {2}{\hbar }}\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m(U(x) -E)))\,{\rm {{d}x}}\dreapta),

unde și sunt din condiția: $x_{1}$ $x_{2}$ ${U(x_{1})}={U(x_{2})}=E.$

Mai justificat, această formulă poate fi derivată prin intermediul așa-numitei aproximări semiclasice (este și aproximarea Wentzel-Kramers-Brillouin).

Explicație simplificată

Efectul de tunel poate fi explicat prin relația de incertitudine scrisă astfel:

\Delta x\Delta p\geqslant {\frac {\hbar }{2))

arată că atunci când o particulă cuantică este limitată în spațiu, adică certitudinea ei în x crește , impulsul ei p devine mai puțin sigur. În mod aleatoriu, incertitudinea de impuls poate adăuga energie particulei pentru a depăși bariera. Astfel, cu o oarecare probabilitate, o particulă cuantică poate pătrunde în barieră. Această probabilitate este cu atât mai mare, cu cât masa particulei este mai mică, cu atât bariera potențială este mai îngustă și cu atât îi lipsește particulei mai puțină energie pentru a ajunge la înălțimea barierei, energia medie a particulei care pătrunde va rămâne neschimbată [2] . $\Delta p$

Energia totală a sistemului este suma cinetică și potențială și, prin urmare, menținând energia totală, pentru o particulă aflată sub o barieră de potențial, energia cinetică trebuie să fie negativă. Această aparentă contradicție este rezolvată folosind următoarea considerație. Este imposibil să se împartă energia totală în două cinetice și potențiale, deoarece rezultă că impulsul și coordonatele sunt cunoscute pentru particulă, ceea ce este imposibil din principiul incertitudinii. Limitând poziția particulei la zona de sub barieră, trebuie luată în considerare și incertitudinea impulsului. Din formula pentru coeficientul de trecere prin barieră rezultă că particulele trec prin bariera de potențial într-un mod vizibil numai atunci când grosimea acesteia este determinată de egalitatea aproximativă. $l$

{\frac {2}{\hbar }}{\sqrt {2m{\left(U_{m}-E\right))}}l\aproximativ 1

Aici , este înălțimea maximă a barierei. Pentru a detecta o particulă în interiorul unei bariere potențiale, trebuie să măsurăm coordonatele acesteia cu o precizie care să nu depășească adâncimea de penetrare . Din principiul incertitudinii rezultă că în acest caz impulsul particulei capătă o dispersie $U_{m)$ $\Delta x<l$

{\overline {\Delta p^{2)}}>{\frac {\hbar ^{2}} {4{\overline {\Delta x^{2}}}}}={\frac { \hbar ^{2}}{4l^{2}}}

Valoarea poate fi găsită din formula , ca rezultat obținem $l$ ${\frac {2}{\hbar }}{\sqrt {2m{\left(U_{m}-E\right))}}l\aproximativ 1$

{\frac {\overline {\Delta p^{2}}}{2m}}>U_{m}-E

Astfel, energia cinetică a unei particule la trecerea prin barieră crește cu cantitatea necesară pentru a trece bariera ca urmare a apariției incertitudinii impulsului acesteia, determinată de principiul incertitudinii ca urmare a incertitudinii măsurării coordonatelor sale. [3] . Această expresie poate fi obținută și din relația de incertitudine pentru energie - timp [4] . $\Delta E\Delta t\geqslant \hbar /2$

Exemple de manifestare a efectului de tunel

Despre diversitatea sferelor de manifestare

Efectul de tunel, în ciuda universalității teoriei sale, se manifestă într-o mare varietate de sisteme fizice. Tipuri specifice de sisteme diferă în modul de creare a unui profil de energie potențială (în cazuri neunidimensionale ) și în tipul de particule de tunel. De exemplu, în efectul Josephson , așa-numitele perechi Cooper tunel printr-un film dielectric între supraconductori . În cazul dezintegrarii alfa, particulele tunelizate sunt nucleele atomilor de heliu (particule alfa), iar dependența de coordonate a energiei potențiale „cu o barieră” se formează din cauza forțelor nucleare puternice. $U(x)$ $U({\vec {r)})$

Exemple în electronică solidă

Un caz important de tunelare este transferul de electroni în structurile care conțin straturi semiconductoare sau dielectrice. După cum se știe din teoria benzilor unui corp solid , un electron din astfel de materiale poate să nu aibă nicio energie, ci doar sub o anumită valoare sau deasupra alteia.Regiunea este numită interzisă și de obicei se ridică la câțiva eV . Într-un material omogen fără aplicarea tensiunii electrice, profilele sunt linii orizontale (în figură - a). Cu toate acestea, dacă există mai multe straturi, salturile apar și la joncțiuni, adică se creează o barieră (în figură - b, d). Barierele pot fi create sau modificate și în prezența unui câmp electric care provoacă îndoire/înclinare (în figură - c). Pentru ca curentul de tunel să curgă, trebuie să existe o diferență în energiile Fermi la stânga și la dreapta barierei. $E_{v}$ $E_{c}.$ $E_{v}\ldots E_{c}$ $(E_{g})$ $E_{v}(x),$ $E_{c}(x)$ $E_{v}$ $E_{c}$ $E_{v}(x),$ $E_{c}(x)$ $E_F$

Există multe structuri și dispozitive în stare solidă de importanță practică cu profile energetice similare ale marginilor zonei permise (b, d în figură). Dintre structurile clasei discutate:

majoritatea tipurilor de tranzistoare cu efect de câmp cu o poartă izolată, structuri semiconductoare (adesea siliciu policristalin poliSi) - dielectric (adesea SiO 2 ) - semiconductor (adesea Si );
diodă tunel (două regiuni semiconductoare în condițiile în care una dintre ele este mai mare decât cealaltă, în figura - c); $E_{v}$ $E_{c}$
sisteme cu pelicule subțiri de oxid care acoperă o serie de metale (în special aluminiu ), tunelarea purtătorilor de sarcină prin astfel de filme (fig. mijloc d) asigură conductivitatea punctelor de conectare mecanică a conductorilor (răsuciri de sârmă, cleme, jumperi );
sisteme în care se realizează emisia autoelectronică - tunelarea electronilor printr-o barieră de potențial dintr-un corp solid în vid la un câmp electric ridicat în apropierea suprafeței sale (chiar în figura - d);
diverse dispozitive de tunelare bazate pe heterostructuri , inclusiv diode de tunelare rezonante.

Mai jos sunt prezentate mai detaliat dioda tunel „obișnuită” și cea rezonantă.

Dioda tunel

O diodă tunel este un fel de diodă semiconductoare ( joncțiune pn ), a cărei caracteristică este o dopare puternică, până la degenerare , a părților p și n. Cu un astfel de dopaj, suprapunerea energetică a benzii de valență a părții p și a benzii de conducere a părții n are loc nu numai la tensiunea inversă („-” pe p), ci și la valori mici ale direct („+” la p). În plus, regiunea de epuizare formată în apropierea graniței de tranziție se dovedește a fi mult mai îngustă decât în cazul dopajului ușor și, prin urmare, este permeabilă la tunel. Pe măsură ce tensiunea oricărei polarități crește de la zero, curentul crește rapid datorită efectului tunelului de electroni între banda de conducere a părții n și banda de valență a părții p. Modul de polarizare directă este cel mai semnificativ: tunelarea la această polaritate continuă până la tensiunea la care marginea benzii de valență a părții p (în afara regiunii de epuizare) și marginea benzii de conducere a părții n (de asemenea în afara regiunea de epuizare) sunt egale ca energie. La tensiuni directe mai mari, dioda funcționează normal [5] .

Datorită procesului de tunelizare, caracteristica curent continuu-tensiune a diodei tunel este în formă de N și are o secțiune de rezistență diferențială negativă - în care curentul scade odată cu creșterea tensiunii. În plus, tunelul este un proces rapid. Aceste proprietăți ale diodei tunel sunt utilizate în unele aplicații, cum ar fi dispozitivele de înaltă frecvență, unde probabilitatea caracteristică de tunelare variază la aceeași frecvență cu tensiunea de polarizare [5] .

Dioda de tunel rezonanta

Dioda de tunel rezonantă (RTD) prezintă, de asemenea, o caracteristică în formă de N, dar mecanismul de tunel cuantic este diferit. O astfel de diodă are o tensiune de rezonanță, care corespunde unui curent mare, care se realizează într-o structură cu două bariere subțiri plasate foarte aproape una de cealaltă (profilul marginii benzii de conducție are forma unei bariere-puț- barieră). Există un set de niveluri de energie discrete în puțul potențial pentru purtătorii de curent . Când cel mai scăzut nivel cvasi-staționar al puțului este mai mare în energie decât energia tipică a electronilor din contactul emițător, tunelul este extrem de slab și aproape că nu trece curent prin diodă. De îndată ce aceste energii sunt egalizate prin creșterea tensiunii aplicate, electronii vor curge ca printr-un conductor. Pe măsură ce tensiunea crește și mai mult, are loc detonarea din starea de rezonanță și tunelarea devine mult mai puțin probabilă. Curentul prin RTD scade și rămâne mic până când este îndeplinită condiția trecerii rezonante prin al doilea nivel de energie [6] .

Istorie și exploratori

Descoperirea efectului de tunel a fost precedată de descoperirea de către A. Becquerel în 1896 a dezintegrarii radioactive , al cărei studiu a fost continuat de soții Marie și Pierre Curie , care au primit Premiul Nobel pentru cercetările lor în 1903 [7] . Pe baza cercetărilor lor din următorul deceniu, a fost formulată teoria timpului de înjumătățire radioactiv, care a fost confirmată în curând experimental.

În același timp, în 1901, un tânăr om de știință, Robert Francis Earhart, care investiga comportamentul gazelor între electrozi în diferite moduri cu un interferometru , a primit brusc date inexplicabile. Familiarizându-se cu rezultatele experimentelor, celebrul om de știință D. Thomson a sugerat că aici funcționează o lege încă nedescrisă și a chemat oamenii de știință pentru cercetări suplimentare. În 1911 și în 1914, unul dintre studenții săi absolvenți , Franz Rother, a repetat experimentul lui Earhart, folosind un galvanometru mai sensibil pentru măsurători în loc de un interferometru și a fixat cu siguranță un câmp de emisie de electroni staționar inexplicabil care apare între electrozi . În 1926, același Roser a folosit în experiment cel mai recent galvanometru cu o sensibilitate de 26 pA și a înregistrat un câmp staționar de emisie de electroni care apare între electrozi distanțați aproape chiar și în vid înalt [8] .

În 1927, fizicianul german Friedrich Hund a devenit primul care a dezvăluit matematic „efectul de tunel” atunci când a calculat restul potențialului dublu puț [7] . În același an, Leonid Mandelstam și Mihail Leontovici , analizând consecințele „noii” ecuații de undă Schrödinger de atunci , au publicat în mod independent o lucrare în care au prezentat o considerație mai generală a acestui fenomen [9] . În 1928, independent unele de altele, formulele efectului de tunel au fost aplicate în lucrările lor de către omul de știință rus Georgy Gamow (care știa despre descoperirile lui Mandelstam și Leontovici [10] ) și oamenii de știință americani Ronald Gurney și Edward Condon în dezvoltarea teoriei dezintegrarii alfa [11] [12] [13] [14] [15] . Ambele studii au rezolvat simultan ecuația Schrödinger pentru modelul potențialului nuclear și au fundamentat matematic relația dintre timpul de înjumătățire radioactiv al particulelor și emisia lor radioactivă, probabilitatea tunelului.

După ce a participat la seminarul lui Gamow, omul de știință german Max Born și-a dezvoltat cu succes teoria, sugerând că „efectul de tunel” nu se limitează la domeniul fizicii nucleare, ci are un efect mult mai larg, deoarece apare în conformitate cu legile mecanicii cuantice și , astfel, este aplicabil pentru a descrie fenomene în multe alte sisteme [16] . Cu emisie autonomă dintr-un metal în vid, de exemplu, conform „Legii Fowler-Nordheim” , formulată în același 1928.

În 1957, studiul semiconductorilor , dezvoltarea tehnologiilor de tranzistori și diode , a condus la descoperirea tunelului de electroni în particulele mecanice. În 1973, americanul David Josephson a primit Premiul Nobel pentru Fizică „Pentru predicția teoretică a proprietăților curentului de supraconductivitate care trece printr-o barieră de tunel”, împreună cu japonezul Leo Esaki și norvegianul Ivar Giever „Pentru descoperirile experimentale ale tunelului . fenomene în semiconductori și respectiv supraconductori” [ 16] . În 2016, a fost descoperit și „ tunelul cuantic al apei ” [17] .

Note

↑ Yavorsky B. M. , Detlaf A. A. , Lebedev A. K. Manual de fizică pentru ingineri și studenți. - M .: Oniks, 2007. - ISBN 978-5-488-01248-6 . – Tiraj 5.100 exemplare. - S. 774.
↑ Articolul „Efectul de tunel” din TSB , al doilea paragraf
↑ Blokhintsev D.I. Fundamentele mecanicii cuantice. Tutorial .. - 5-e. - M . : Nauka, 1976. - S. 421-423. — 664 p.
↑ Razavy, 2013 , p. zece.
↑ 1 2 Krane, Kenneth. Fizica modernă (nedefinită) . - New York: John Wiley and Sons , 1983. - p . 423 . - ISBN 978-0-471-07963-7 .
↑ Knight, RD Fizica pentru oameni de știință și ingineri : cu fizica modernă . — Pearson Education, 2004. - P. 1311. - ISBN 978-0-321-22369-2 .
↑ 12 Nimtz ; haibel. Spațiu de timp zero (nedefinit) . - Wiley-VCH , 2008. - P. 1.
↑ Thomas Cuff. The STM (Scanning Tunneling Microscope) [Contribuția uitată a lui Robert Francis Earhart la descoperirea tunelului cuantic. ] . ResearchGate . Preluat la 1 iunie 2016. Arhivat din original la 26 ianuarie 2017. (nedefinit)
↑ Mandelstam, L.; Leontowitsch, M. (1928). Zur Theorie der Schrödingerschen Gleichung. Zeitschrift blana Physik . 47 (1-2): 131-136. Cod biblic : 1928ZPhy ...47..131M . DOI : 10.1007/BF01391061 . S2CID 125101370 .
↑ Feinberg, E. L. (2002). „Strămoșul (despre Leonid Isaakovich Mandelstam)”. Fizica-Uspekhi . 45 (1): 81-100. Cod biblic : 2002PhyU ...45...81F . DOI : 10.1070/PU2002v045n01ABEH001126 .
↑ G. Gamov . Eseu despre dezvoltarea teoriei structurii nucleului atomic (I. Teoria dezintegrarii radioactive) // UFN 1930. V. 4. Copie de arhivă din 5 februarie 2011 la Wayback Machine
↑ Gurney, RW; Condon, Mecanica cuantică a UE și dezintegrarea radioactivă // Natura . - 1928. - Vol. 122 , nr. 3073 . — P. 439 . - doi : 10.1038/122439a0 . — Cod .
↑ Gurney, RW; Condon, Mecanica cuantică a UE și dezintegrarea radioactivă (neopr.) // Fiz. Rev. - 1929. - T. 33 , nr 2 . - S. 127-140 . - doi : 10.1103/PhysRev.33.127 . - Cod biblic .
↑ Bethe, Hans (27 octombrie 1966), Hans Bethe - Sesiunea I . Interviu cu Charles Weiner; Jagdish Mehra , Universitatea Cornell, Biblioteca și Arhivele Niels Bohr, Institutul American de Fizică, College Park, MD SUA , < https://www.aip.org/history-programs/niels-bohr-library/oral-histories/4504- 1 > . Recuperat la 1 mai 2016. .
↑ Friedlander, Gerhart; Kennedy, Joseph E.; Miller, Julian Malcolm. Nuclear și Radiochimie (neopr.) . — al 2-lea. - New York: John Wiley & Sons , 1964. - S. 225-227. - ISBN 978-0-471-86255-0 .
↑ 1 2 Razavy, Mohsen. Teoria cuantică a tunelurilor (neopr.) . - World Scientific , 2003. - P. 4 , 462. - ISBN 9812564888 .
↑ Kolesnikov și colab. Tunnelarea cuantică a apei în beril: o nouă stare a moleculei de apă . Physical Review Letters (22 aprilie 2016). doi : 10.1103/PhysRevLett.116.167802 . Preluat la 23 aprilie 2016. Arhivat din original la 12 mai 2021. (nedefinit)

Link -uri

Emisia tunelului - articol din Marea Enciclopedie Sovietică .
Efect de tunel // Marea Enciclopedie Sovietică : [în 30 de volume] / cap. ed. A. M. Prohorov . - Ed. a 3-a. - M . : Enciclopedia Sovietică, 1969-1978.

Literatură

Gol'danskii VI, Trakhtenberg LI, Flerov VN Fenomene de tunel în fizica chimică. M.: Nauka, 1986. - 296 p.
Blokhintsev D. I. Fundamentele mecanicii cuantice, ed. a 4-a, M., 1963.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Mecanica cuantică (teorie non-relativista). — Ediția a III-a, revizuită și mărită. — M .: Nauka , 1974. — 752 p. - (" Fizica teoretică ", Volumul III).
Razavy Mohsen. Teoria cuantică a tunelului = Quantum Theory of Tunneling. — al 2-lea. - Singapore: World Scientific Publishing Co., 2013. - 820 p. — ISBN 9814525006 .

Dicționare și enciclopedii	Mare norvegian Mare norvegian Rusă mare Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	GND : 4136216-0 J9U : 987007555903405171 LCCN : sh85138672 NDL : 00573280