Proprietate generică

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 5 decembrie 2018; verificarea necesită 1 editare .

În multe domenii ale matematicii , o construcție utilă poate fi adesea văzută ca „cea mai eficientă soluție” la o anumită problemă. Definiția unei proprietăți universale folosește limbajul teoriei categoriilor pentru a face această definiție precisă și a o studia cu metode teoretice.

Acest articol oferă o descriere generală a proprietății generice. Pentru a înțelege mai bine acest concept, va fi util să studiem mai întâi câteva exemple, dintre care sunt destul de multe: produs direct și coprodus , grup liber , grup Grothendieck , compactare Stone-Cech , produs tensor , limită directă și limită inversă , kernel și cokernel , pătrat cartezian și codcartes pătrat , egalizator și co-egalizator .

Motivație

Înainte de a da o definiție formală, oferim o anumită motivație pentru studierea unor astfel de construcții.

Definiție formală

Fie U : D → C  un functor din categoria D la categoria C , iar X  un obiect al categoriei C . Luați în considerare următoarele definiții duale:

Săgeata inițială (repulsivă) de la X la U  este obiectul inițial din categoria morfismelor de la X la U . Cu alte cuvinte, este o pereche ( A , φ), unde A  este un obiect din categoria D și φ: X → U ( A ) este un morfism din categoria C astfel încât următoarea proprietate inițială este valabilă :

O săgeată terminală (atractivă) de la U la X  este un obiect terminal din categoria morfismelor de la U la X . Cu alte cuvinte, este o pereche ( A , φ), unde A  este un obiect din categoria D și φ: U ( A ) → X  este un morfism din categoria C astfel încât următoarea proprietate terminală este valabilă :

Termenul săgeată universală înseamnă „săgeată inițială sau terminală”, termenul proprietate generică înseamnă „proprietate inițială sau terminală”.

Exemple

Mai multe exemple vor fi date aici pentru a ilustra ideea generală. Cititorul va putea construi mult mai multe exemple citind lucrările citate în introducere.

Algebre tensorale

Fie C  categoria spațiilor vectoriale peste un câmp K și D  categoria algebrelor asociative peste K . Luați în considerare functorul uituc

U  : K -Alg → K -Vect

atribuind fiecărei algebre spațiul vectorial subiacent.

Având în vedere un obiect arbitrar X din K-Vect  — un spațiu vectorial V  — se poate obține algebra sa tensorală T(V) . Și anume, se caracterizează prin următoarea proprietate universală:

„Orice mapare liniară de la V la o K - algebră A poate fi extinsă în mod unic la un homomorfism algebric T(V) → A. ”

Această afirmație descrie proprietatea inițială a algebrei tensoriale, adică faptul că perechea ( T ( V ), i ), unde i  : V → T ( V ) este încorporarea standard, este săgeata inițială din spațiul vectorial V. la functorul U . Am obținut un functor T de la K -Vect la K -Alg. Aceasta înseamnă că T este functorul adjunct stâng al functorului uitător U (vezi secțiunea despre conexiunea cu functorii adjuncți).

Lucrări

Un produs din teoria categoriei poate fi caracterizat prin proprietatea sa universală. Și anume, fie X și Y  obiecte din categoria D , iar C  produsul categoriilor D × D . Definim functorul diagonal

Δ : D → D × D

ca Δ( X ) = ( X , X ) și Δ( f  : X → Y ) = ( f , f ). Atunci, dacă ( A , φ ) este o săgeată terminală de la Δ la ( X , Y ) este un obiect din categoria D × D , atunci A  este un obiect din categoria D , numit produsul direct al lui X × Y , iar φ este un pereche de proiecții

π 1  : X × Y → X π 2  : X × Y → Y .

Proprietăți

Existenta si unicitatea

Definirea unei proprietăți nu garantează existența unui obiect care o satisface. Dacă, totuși, un astfel de ( A , φ) există, atunci este unic. Mai precis, este unic până la un izomorfism unic. Să verificăm acest lucru pentru cazul săgeții inițiale: dacă ( A ′, φ ) este o altă astfel de pereche, atunci există un izomorfism unic k : A → A ′ astfel încât φ′ = U ( k )φ. Acest lucru poate fi ușor de văzut prin înlocuirea ( Y , f ) din definiția proprietății inițiale cu ( A ′, φ′).

Formulări echivalente

Definiția unei săgeți universale poate fi reformulată în mai multe moduri. Fie U  un functor de la D la C , X  un obiect de categoria C . Atunci următoarele afirmații sunt echivalente:

precum şi formulările lor duale.

Conexiune cu functorii adjuncți

Fie ( A 1 , φ 1 ) săgeata inițială de la X 1 la U și ( A 2 , φ 2 ) săgeata inițială de la X 2 la U . Prin proprietatea inițială, orice morfism h : X 1 → X 2 corespunde unui morfism unic g : A 1 → A 2 astfel încât următoarea diagramă este comutativă:

Dacă fiecare obiect X i din categoria C admite o săgeată inițială în U , atunci corespondențele și definesc un functor V de la C la D . Iar mapările φ i definesc apoi o transformare naturală de la 1 C (functor de identitate C ) la UV . Functorii ( V , U ) formează o pereche de functori adjuncţi . Afirmații similare sunt adevărate în situația duală a morfismelor terminale din U , caz în care ( U , V ) va fi o pereche de functori adjuncți.

De fapt, toate perechile de functori adjuncți sunt obținute din construcții de acest fel. Fie F : С → D și G : D → C  o pereche de functori adjuncți cu identitate η și conțin ε (vezi articolul functori adjuncți ). Atunci există morfisme universale pentru fiecare obiect din categoriile C și D :

Construcțiile universale sunt mai generale decât construcțiile de functori conjugați: o construcție universală este similară cu o problemă de optimizare, iar o pereche de functori adjuncți este definită numai dacă această problemă are o soluție pentru toate obiectele categoriei.

Istorie

Proprietățile universale ale multor construcții topologice au fost descrise de Pierre Samuel în 1948. Mai târziu au fost folosite activ de Bourbaki . Conceptul strâns legat de functori adjuncți a fost propus independent de Daniel Kahn în 1958.

Note

Literatură