Extremum condiționat

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 27 septembrie 2021; verificările necesită 2 modificări .

Extremum condiționat - valoarea maximă sau minimă pe care o atinge o funcție definită pe o mulțime și luând valori reale în ipoteza că valorile altor funcții cu același domeniu de definiție sunt supuse anumitor condiții restrictive (dacă există fără astfel de condiții suplimentare, atunci se vorbește de un extremum necondiționat ) [1] . $G$

În special, mulțimea poate fi o submulțime a unui spațiu vectorial aritmetic, iar restricțiile de mai sus, la rândul lor, pot fi date ca egalități sau inegalități . Mai jos avem în vedere problema clasică a extremului condiționat , în care toate condițiile sunt date sub formă de egalități, precum și problema Lagrange , una dintre problemele clasice ale calculului variațiilor [1] . $G$ $\mathbb{R} ^{n},$

Enunțul problemei clasice pentru un extremum condiționat

Fie un set deschis și funcțiile sunt date pe el ${G\subset \mathbb {R} ^{n}}$ $y_{i}=f_{i}({\vec {x))),\;i=1,2,\dots ,m.$ $E=\lbrace \,{\vec {x}}\in G:\,f_{i}({\vec {x}})=0\;\;\forall \,i=1,2 ,\puncte ,m\,\rbrace .$

Ecuații

(*)\qquad f_{i}({\vec {x)))=0

sunt numite ecuații de constrângere (terminologia este împrumutată de la mecanică ).

Fie definită și o funcție pe. Un punct se numește punct al unui extremum condiționat al unei funcții date în raport cu ecuațiile de constrângere, dacă este un punct al extremului obișnuit (necondiționat) al unei funcții dintr-o mulțime (modificare a definiția unui extremum se reduce la faptul că în loc de cartierele din , adică se consideră în el cartierele din, atunci au ) [2] . $G$ $y=f_{0}({\vec {x))).$ ${\vec {x}}_{0}\in E$ $(*),$ $f_{0}$ $E$ $G$ $U_{G}({\vec {x}}_{0})$ $E$ $U_{E}({\vec {x}}_{0})=U_{G}({\vec {x}}_{0})\bigcap E$

Metoda multiplicatorilor Lagrange pentru rezolvarea problemei extremumului condiționat

Teorema

Să presupunem că toate funcțiile care apar în formularea problemei clasice pentru extremul condiționat sunt diferențiabile continuu și să fie punctul extremului condiționat al funcției atunci când ecuațiile de constrângere sunt îndeplinite.Atunci în acest moment gradienții sunt liniar dependentă , adică de ex. dar [3] . ${\vec {x}}_{0}$ $f_{0}$ $(*).$ $\nabla f_{i},\,i=0,1,\dots ,m$ $\exists \,\lambda _{i},\,i=0,1,\dots,m\,\colon \;\sum _{i=0}^{m}|\lambda _{i }|\neq 0,$ $\sum _{i=0}^{m}\lambda _{i}\nabla f_{i}=0$

Numerele se numesc multiplicatori Lagrange și sunt definite până la înmulțire cu o constantă arbitrară diferită de zero. De cel mai mare interes este cazul când (atunci, înmulțind totul cu o constantă adecvată diferită de zero, puteți face factorul egal și, astfel, îl excludeți cu totul de la considerare). Într-o astfel de situație, în locul teoremei tocmai formulate, se folosește următorul corolar din aceasta [4] . $\lambda _{i},\,i=0,1,\dots,m$ $\lambda _{0}\neq 0$ $\lambda _{{i}}$ $\lambda _{0)$ $unu$

Consecință

Dacă este un punct al extremului condiționat al funcției în raport cu ecuațiile de constrângere și gradienții din acesta sunt liniar independenți , atunci astfel încât într-un punct dat în formă de coordonate, această egalitate vectorială este echivalentă cu îndeplinirea egalităților. ${\vec {x}}_{0}$ $f_{0}$ $(*),$ $\nabla f_{i},i=1,\dots,m$ $\există \,\lambda _{1},\dots,\lambda _{m)$ $\nabla f_{0}+\lambda _{1}\nabla f_{1}+\dots +\lambda _{m}\nabla f_{m}=0.$

(**)\qquad {\frac {\partial f_{0}}{\partial x_{i}}}({\vec {x}}_{0})+\lambda _{1}{ \frac {\partial f_{1}}{\partial x_{i}}}({\vec {x}}_{0})+\dots +\lambda _{m}{\frac {\partial f_{ m}}{\partial x_{i}}}({\vec {x}}_{0})=0\,,

unde [3] . $i=1,\dots ,n$

Egalităților li se poate da următoarea interpretare. Să presupunem că aceste egalități sunt valabile pentru numere și să le combinăm într-o coloană Compuneți funcția Lagrange : $(**)$ $\lambda _{1},\dots,\lambda _{m)$ ${\vec {\lambda }}_{0}.$

L({\vec {x));{\vec {f)),{\vec {\lambda }))=f_{0}({\vec {x)})+\sum _{i =1}^{m}\lambda _{i}\,f_{i}({\vec {x)))\,,

unde sunt numere arbitrare. Atunci, pentru , punctul este un punct staționar al funcției Lagrange, iar egalitățile pot fi scrise ca $\lambda _{1},\dots,\lambda _{m)$ ${\vec {\lambda }}={\vec {\lambda }}_{0}$ ${\vec {x}}_{0}$ $(**)$

{\frac {\partial L}{\partial x_{1)}}\,=\,{\frac {\partial L}{\partial x_{2))}\,=\,\dots \ ,=\,{\frac {\partial L}{\partial x_{n))}\,=\,0\,;

aceste relații sunt condițiile de staționaritate ale punctului .Adăugând la ele ecuațiile de constrângere, obținem ecuații pentru necunoscutele [5] [6] . ${\vec {x}}_{0}.$ $(*),$ $n+m$ $n+m$ $x_{1},\dots,x_{n},\lambda _{1},\dots,\lambda _{m)$

Exemplu. Găsiți laturile unui dreptunghi de suprafață maximă înscrisă într- un cerc Aici Compunând funcția Lagrange $x^{2}+y^{2}=r^{2}.$ $n=2,$ $m=1,$ $f_{0}(x,y)=4xy,$ $f_{1}(x,y)=x^{2}+y^{2}-r^{2}.$

L(x,y)\,=\,4xy+\lambda (x^{2}+y^{2}-r^{2})

și scrierea condițiilor pentru staționaritatea acestuia la punctul extremum condiționat

{\frac {\partial L}{\partial x)}\equiv 4y+2\lambda x\,=\,0\,,\qquad {\frac {\partial L}{\partial y)} \equiv 4x+2\lambda y\,=\,0\,,

găsim: și (dreptunghi de suprafață maximă s-a dovedit a fi un pătrat ) [6] . $\lambda =-2$ $x=y=r/{\sqrt {2}}$

O condiție suficientă pentru un extremum condiționat

Dacă egalitățile pentru sunt îndeplinite și în același timp (se presupune, în plus, că la punctul în care toate funcțiile care apar în formularea problemei clasice pentru un extremum condiționat sunt de două ori diferențiabile continuu) este o formă pătratică definită negativă (pozitivă) a variabilele, atunci este un punct al unui maxim condiționat strict al funcției (un minim condiționat strict pentru forma definită pozitivă). Dacă forma pătratică considerată nu este definită de semn, atunci nu există un extremum condiționat [7] . $(**)$ ${\vec {\lambda }}={\vec {\lambda }}_{0}$ ${\vec {x}}_{0}$ ${\rm {d}}^{2}L$ ${\rm {d}}x_{1},\dots ,{\rm {d}}x_{n},$ ${\vec {x}}_{0}$ $f_{0}$

Problema Lagrange

Această problemă aparține calculului variațiilor și este una dintre posibilele generalizări ale problemei clasice pentru un extremum condiționat. În problema Lagrange, este necesar să se găsească o funcție diferențiabilă continuu dată pe un segment și să furnizeze un extremum (maxim sau minim) la funcțional ${\vec {x}}={\vec {x}}(t),$ $[t_{0},t_{1}]$

J\;=\;\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}F\,(t,{\vec {x}}(t),{\dot {\vec {x}}}(t))\,\,{\rm {d}}t

(punctul denotă operația de diferențiere în raport cu ) în condiții la limită fixe și îndeplinirea ecuațiilor de constrângere $t$ ${\vec {x}}(t_{0})={\vec {x}}_{0},$ ${\vec {x}}(t_{1})={\vec {x}}_{1}$

f_{i}\,(t,{\vec {x}}(t),{\dot {\vec {x}}}(t))\,=\,0\,,

unde [8] [9] . $i=1,2,\dots ,m$

În această problemă este aplicabilă și metoda multiplicatorilor Lagrange. Presupunând că ecuațiile de constrângere sunt independente, introducem funcții necunoscute în considerare și reducem problema inițială la o problemă de optimizare neconstrânsă, înlocuind integrandul cu funcția $m$ $\lambda _{1}(t),\dots ,\lambda _{m}(t)$

\Phi \,=\,F\,(t,{\vec {x}}(t),{\dot {\vec {x}}}(t))\,+\,\sum _ {i=1}^{m}\lambda _{i}(t)\,f_{i}\,(t,{\vec {x}}(t),{\dot {\vec {x}} }(t))\,;

ca analog al egalităților (adică în rolul condițiilor necesare pentru un extremum), acum acționează ecuațiile Euler-Lagrange , care în cazul în cauză au forma $(**)$

{\frac {\rm {d}}({\rm {d}}t}}{\frac {\partial \Phi }{\partial {\dot {x}}_{k}}}- {\frac {\partial \Phi }{\partial x_{k))}\,=\,0\,,

unde Din aceste ecuații diferențiale obișnuite , completate de ecuațiile de constrângere, se găsesc (ținând cont de condițiile la limită existente) funcții necunoscute [10] . $k=1,2,\dots ,n.$ $n$ $n+m$ $x_{1}(t),\dots,x_{n}(t),\lambda _{1}(t),\dots,\lambda _{m}(t)$

Vezi și

Note

↑ 1 2 Vapnyarsky I. B. . Extremum condiționat // Enciclopedie matematică. T. 5 / Ch. ed. I. M. Vinogradov . - M. : Enciclopedia sovietică , 1985. Copie de arhivă din 17 noiembrie 2020 la Wayback Machine - 1248 stb. - Stb. 565-566.
↑ Kudryavtsev, vol. 2, 1981 , p. 92-93.
↑ 1 2 Kudryavtsev, vol. 2, 1981 , p. 96.
↑ Alekseev, Tihomirov, Fomin, 1979 , p. 48.
↑ Kudryavtsev, vol. 2, 1981 , p. 96-97.
↑ 1 2 Korn și Korn, 1978 , p. 336.
↑ Kudryavtsev, vol. 2, 1981 , p. 110.
↑ Alekseev, Tihomirov, Fomin, 1979 , p. 40-41, 80-81.
↑ Korn și Korn, 1978 , p. 346-349.
↑ Korn și Korn, 1978 , p. 348-349.

Literatură

Alekseev V. M. , Tikhomirov V. M. , Fomin S. V. . Control optim. — M .: Nauka , 1979. — 432 p.
Korn G., Korn T. . Manual de matematică pentru oameni de știință și ingineri. a 4-a ed. — M .: Nauka , 1978. — 832 p.
Kudryavtsev L. D. . Curs de analiză matematică. T. 2. - M . : Şcoala superioară , 1981. - 584 p.