Formularea teoriei cuantice în termeni de integrale de cale

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 2 martie 2022; verificările necesită 2 modificări .

Formularea integrală a căii a mecanicii cuantice este o descriere a teoriei cuantice care generalizează principiul de funcționare al mecanicii clasice . Acesta înlocuiește definiția clasică a unei singure traiectorii de sistem unice cu o sumă completă (integrală funcțională) pe un set infinit de traiectorii posibile pentru a calcula amplitudinea cuantică. Metodologic, formularea în termeni a integralei de cale este apropiată de principiul Huygens-Fresnel din teoria clasică a undelor .

Formularea integrală a căii a fost dezvoltată în 1948 de Richard Feynman . Câteva puncte preliminare au fost dezvoltate mai devreme în timpul redactării disertației sale sub conducerea lui John Archibald Wheeler .

Această formulare a fost cheia dezvoltării ulterioare a fizicii teoretice , deoarece este clar simetrică în timp și spațiu (covarianta Lorentz). Spre deosebire de metodele anterioare, integrala de cale îi permite fizicianului să se deplaseze cu ușurință de la o coordonată la alta în descrierea canonică a aceluiași sistem cuantic.

Integrala de cale se aplică și proceselor cuantice și stocastice și a oferit baza pentru marea sinteză din anii 1970 care a combinat teoria cuantică a câmpului cu teoria statistică a fluctuațiilor câmpului în apropierea tranzițiilor de fază de ordinul doi . În acest caz, ecuația Schrödinger este o ecuație de difuzie cu un coeficient de difuzie imaginar , iar integrala de cale este o continuare analitică a metodei de însumare a tuturor căilor posibile. Din acest motiv, integralele de cale au fost folosite pentru a studia mișcarea și difuzia browniene puțin mai devreme decât au fost introduse în mecanica cuantică [1] .

Recent, definiția integralelor de cale a fost extinsă astfel încât, pe lângă mișcarea browniană, ele pot descrie și zborurile Levy . Formularea în termeni a integralelor de cale Lévy conduce la mecanica cuantică fracțională și o extensie fracțională a ecuației Schrödinger [2] .

Principiul cuantic al acțiunii

În mecanica cuantică tradițională , Hamiltonianul este un generator de translații temporale infinit mici (infinitesimale) (de exemplu, în spațiul stărilor unui sistem mecanic cuantic). Aceasta înseamnă că starea după un timp infinitezimal diferă de starea la un moment dat de timp printr-o valoare egală cu produsul lui prin acțiunea operatorului Hamilton asupra acestei stări. Pentru stările cu o anumită energie, aceasta exprimă relația de Broglie dintre frecvență și energie , iar relația generală este în concordanță cu aceasta, ținând cont de principiul suprapunerii . $dt$ $-i$ $dt$

Dar Hamiltonianul din mecanica clasică este derivat din Lagrangian , care este o mărime mai fundamentală în conformitate cu relativitatea specială . Hamiltonianul descrie dezvoltarea sistemului în timp, dar ideea de timp se schimbă atunci când se trece de la un cadru de referință la altul. Astfel, Hamiltonianul este diferit pentru diferite cadre de referință, iar în formularea inițială a mecanicii cuantice, invarianța lui Lorentz nu este evidentă.

Hamiltonianul este o funcție a coordonatelor și a momentului, iar din acesta sunt determinate coordonatele și impulsul la un moment ulterior în timp. Lagrangianul este o funcție de coordonate acum și coordonatele puțin mai târziu (sau, echivalent, pentru intervale de timp infinitezimale, este o funcție de coordonate și viteză). Prima și a doua sunt conectate prin transformarea Legendre, iar condiția care definește ecuațiile clasice de mișcare este condiția de acțiune minimă .

În mecanica cuantică , transformarea Legendre este dificil de interpretat deoarece mișcarea nu urmează o cale definită. În mecanica clasică cu discretizare în timp

\varepsilon H=p{\big (}q(t+\varepsilon)-q(t){\big)}-\varepsilon L,

și

p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q)}}),

unde derivata parțială față de q lasă q ( t + ε ) fix. Transformarea Legendre inversă:

\varepsilon L=p\varepsilon {\dot {q}}-\varepsilon H,

Unde

{\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p)),

iar derivata parțială este acum luată în raport cu p cu q fix .

În mecanica cuantică, o stare este o suprapunere a diferitelor stări cu valori diferite ale lui q sau valori diferite ale lui p , iar mărimile p și q pot fi interpretate ca operatori care nu fac navetă. Operatorul p are valoare definită numai pe stările care nu au un q definit . Apoi ne imaginăm două stări separate în timp și acționăm asupra lor cu un operator corespunzător lagrangianului:

e^{i[p\{q(t+\varepsilon)-q(t)\}-\varepsilon H(p,q)]}.

Dacă operațiile de înmulțire din această formulă sunt considerate ca înmulțirea operatorilor (sau a matricelor acestora), atunci aceasta înseamnă că primul factor

e^{-ipq(t)}

iar suma tuturor stărilor este integrată peste toate valorile lui q ( t ) - astfel se realizează transformata Fourier la variabila p ( t ). Această acțiune se realizează pe spațiul Hilbert - trecerea la variabila p ( t ) la momentul t .

Urmează multiplicatorul

e^{-i\varepsilon H(p,q)},

descriind evoluția unui sistem pe un interval de timp infinitezimal.

Și ultimul multiplicator din această interpretare:

e^{ipq(t+\varepsilon )},

producând o schimbare de bază înapoi la q ( t ), dar la un moment ulterior în timp.

Aceasta nu este cu mult diferită de evoluția obișnuită în timp: H conține toată informația dinamică - împinge starea înainte în timp. Prima și ultima parte fac transformarea Fourier la variabila intermediară p ( t ) și înapoi.

Hamiltonianul este o funcție a lui p și q , deci expunerea acestei mărimi și schimbarea bazei de la p la q la fiecare pas permite ca elementul matricei H să fie exprimat ca o funcție simplă de-a lungul fiecărei căi. Această funcție este analogul cuantic al acțiunii clasice. Această observație a fost făcută pentru prima dată de Dirac .

Dirac a remarcat mai târziu că se poate lua pătratul operatorului de evoluție în reprezentarea S :

e^{i\varepsilon S},

obţinându-se astfel un operator de evoluţie din timp t în timp t + 2ε. În timp ce în reprezentarea H valoarea care însumează stările intermediare este un element de matrice neevident, în reprezentarea S este asociată cu o cale. În limita unui grad mare al acestui operator, reconstituie evoluția completă între două stări: una timpurie, care corespunde unor valori fixe ale coordonatelor q (0), și una târzie, cu un q ( t ) fix. ). Rezultatul este suma peste căi, faza fiind acțiunea cuantică.

Interpretarea lui Feynman

Lucrarea lui Dirac nu a oferit un algoritm exact pentru calcularea sumelor căilor și nu a arătat cum pot fi derivate ecuația Schrödinger sau relațiile de comutație canonice din această abordare. Acest lucru a fost făcut de Feynman.

Feynman a arătat că cuantumul acțiunii Dirac în cele mai multe cazuri interesante este pur și simplu egal cu acțiunea clasică, discretizată corespunzător. Aceasta înseamnă că acțiunea clasică este o fază care se desfășoară în evoluția cuantică între două puncte finale fixe. El a propus derivarea întregii mecanici cuantice din următoarele postulate:

Probabilitatea unui eveniment se obține ca pătrat al modulului unui număr complex numit „amplitudine”.
Amplitudinea se obține prin adunarea contribuțiilor tuturor istoriilor din spațiul de configurare.
Contribuția istoriei la amplitudine este proporțională cu , unde este constanta lui Planck , care poate fi stabilită egală cu unitatea prin alegerea unui sistem de unități, în timp ce S este acțiunea acestei istorii dată de integrala de timp a Lagrangianului de-a lungul calea corespunzătoare. $e^{{iS/\hbar }}$ $\hbar$

Pentru a găsi probabilitatea de amplitudine totală pentru un proces dat, trebuie să însumăm sau să integrăm amplitudinea în spațiul tuturor istoriilor posibile ale sistemului între stările inițiale și finale, inclusiv istoriile care sunt absurde pentru standardele clasice (de exemplu, particule. vitezele pe traiectorii pot depăşi viteza luminii). În calcularea amplitudinii unei singure particule care se deplasează dintr-un loc în altul într-un timp dat, este necesar să se includă povești în care particula descrie un model bizar, în care particula „zboară în spațiu” și zboară înapoi, etc. pe. Integrala de cale consideră că toate aceste amplitudini de poveste sunt egale ca mărime (modul), dar diferite ca fază (argumentul numărului complex). Contribuțiile care diferă substanțial de istoria clasică sunt suprimate doar prin interferența cu contribuțiile din istorii similare cu faza opusă (vezi mai jos).

Feynman a arătat că această formulare a mecanicii cuantice este echivalentă cu abordarea canonică a mecanicii cuantice atunci când hamiltonianul este patratic în impuls. Amplitudinea calculată conform principiilor Feynman generează și ecuația Schrödinger pentru Hamiltonianul corespunzător acțiunii date.

Principiile clasice de acțiune duc la o dificultate din cauza idealității lor: în loc să prezică viitorul din condițiile inițiale, ele prezic calea către un viitor dat printr-o combinație de condiții inițiale și finale, de parcă sistemul ar ști cumva ce stare ar trebui să fie. in. vino. Integrala de cale explică principiul clasic de acțiune în termeni de suprapunere cuantică. Sistemul nu trebuie să știe în prealabil încotro se îndreaptă - integrala de cale pur și simplu calculează amplitudinea probabilității pentru orice proces dat, iar traiectoria merge în toate direcțiile posibile. Cu toate acestea, după un timp suficient de lung, efectele de interferență asigură că numai contribuțiile din punctele de acțiune staționare oferă povești cu probabilități semnificative. Punctele de acțiune staționare corespund traiectoriilor clasice, astfel încât sistemul se mișcă în medie pe calea clasică.

Formulare precisă

Postulatele lui Feynman pot fi interpretate după cum urmează:

Tăierea timpului

Pentru o particulă într-un potențial neted, integrala de cale, care în cazul unidimensional este un produs al integralelor obișnuite, este aproximată prin trasee în zig-zag. Când o particulă se mișcă dintr-o poziție într-un punct în timp într-un punct la , secvența de timp poate fi împărțită în n segmente mici de durată fixă (un segment rămas poate fi neglijat, deoarece limita este considerată în cele din urmă ). Acest proces se numește time slicing. $x=x_{a}$ $t=t_{a)$ $x=x_{b}$ $t=t_{b)$ $t_{a}<t_{1}<\ldots <t_{n-1}<t_{n}<t_{b)$ $t_{j}-t_{j-1},\j=1,\dots ,n$ $\varepsilon \equiv \Delta t={\frac {t_{b}-t_{a}}{n+1}}$ $n\la \infty$

Aproximația pentru integrala de cale este proporțională cu expresia

\int \limits _{x_{1}=x_{a}}^{x_{1}=x_{b}}\ldots \int \limits _{x_{n}=x_{a}}^ {x_{n}=x_{b}}\exp \left({\frac {i}{\hbar }}\int \limits _{t_{a}}^{t_{b}}{\mathcal {L }}{\big (}x(t),v(t),t{\big )}\,dt\right)\,dx_{n}\ldots dx_{1},

unde este Lagrangianul unui sistem unidimensional în funcție de variabila spațială x ( t ) și de viteză și corespunde poziției la al j -lea pas de timp dacă integrala de timp este aproximată cu suma de n termeni. ${\mathcal {L}}(x,v,t)$ $v={\dot {x}}(t)$ $dx_{j)$

În limita în care n tinde spre infinit, această expresie devine o integrală funcțională , care (în afară de un factor nesemnificativ) este direct produsul amplitudinilor densităților de probabilitate de a găsi o particulă mecanică cuantică at în starea inițială și at în stare finală . $\langle x_{a},t_{a}|x_{b},t_{b}\rangle$ $t=t_{a)$ $x=x_{a}$ $t=t_{b)$ $x=x_{b}$

De fapt, este Lagrangianul clasic al sistemului unidimensional luat în considerare, , unde este Hamiltonianul ( p este impulsul, egal prin definiție, iar „zigzagul” menționat mai sus corespunde apariției termenilor ${\mathcal L}$ ${\mathcal {L}}(x,{\dot {x}},t)=p{\dot {x}}-{\mathcal {H}}(x,p,t)$ $\mathcal H$ $p=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {x)),$

\exp \left({\frac {i}{\hbar }}\,\varepsilon \cdot \sum _{j=1}^{n}{\mathcal {L}}\left({\tilde {x}}_{j},{\tfrac {x_{j}-x_{j-1}}{\varepsilon }},j\right)\right),

unde este un punct din segmentul corespunzător. De exemplu, puteți lua centrul segmentului: . ${\tilde x}_{j}\in [x_{{j-1}},x_{j}]$ ${\tilde {x}}_{j}={\tfrac {x_{j}+x_{j-1}}{2}}$

Astfel, spre deosebire de mecanica clasică, contribuie nu numai traiectoria staționară, ci, de fapt, toate traiectoriile virtuale dintre punctele de început și de sfârșit.

Cu toate acestea, aproximarea Feynman a cuantizării timpului nu există pentru cele mai importante integrale de cale mecanică cuantică pentru atomi datorită singularității potențialului Coulomb la zero. Numai după înlocuirea timpului t cu un alt parametru dependent de cale („pseudo-timp”) este eliminată singularitatea și există o aproximare de cuantificare a timpului care este exact integrabilă, deoarece poate fi făcută armonică cu o simplă transformare de coordonate, așa cum arată İsmail Hakkı Duru și Hagen Kleinert în 1979 [3] . Aplicarea combinată a transformării timp-„pseudo-timp” și a transformărilor de coordonate este o tehnică importantă pentru calcularea multor integrale de drum și se numește transformarea Duru-Kleinert. $e^{2}/r$ $s=\int dt/r(t)$

Particule libere

În reprezentarea integrală a căii, amplitudinea cuantică se deplasează de la punctul x la punctul y ca o integrală pe toate căile. Pentru o particulă liberă, acțiunea ( , ) integrală $m=1$ $\hbar = 1$

S=\int {{\dot {x}}^{2} \over 2}dt

poate fi găsit în mod explicit.

Pentru a face acest lucru, este convenabil din punct de vedere conceptual să începeți fără factorul i în exponent, astfel încât abaterile mari să fie compensate de numere mici, mai degrabă decât de anularea contribuțiilor fluctuante:

K(xy;T)=\int _{{x(0)=x}}^{{x(T)=y}}e^{{-\int _{0}^{T}{{\dot {x}}^{2} \over 2}dt}}Dx.

Împărțim integrala în părți:

K(x,y;T)=\int _{{x(0)=x}}^{{x(T)=y}}\Pi _{t}e^{{-{\frac 12}\ stânga({x(t+\varepsilon )-x(t) \over \varepsilon }\right)^{2}\varepsilon }}\,Dx,

unde Dx este interpretat ca o colecție finită de integrări peste fiecare factor întreg ε. Fiecare factor din produs este un gaussian în funcție de x ( t + ε ) centrat pe x ( t ) cu variație ε. Integrale multiple sunt convoluții repetate ale acestui Gaussian G ε cu copii ale lui însuși în timpi adiacente:

K(xy;T)=G_{\varepsilon }*G_{\varepsilon }*\dots *G_{\varepsilon },

unde numărul de circumvoluții este egal cu T /ε. Rezultatul este ușor de obținut prin transformarea Fourier a ambelor părți, astfel încât convoluțiile devin înmulțiri:

{\tilde {K}}(p;T)={\tilde {G}}_{\varepsilon }(p)^{{T \over \varepsilon }}.

Transformarea Fourier a lui Gaussian G este un alt Gaussian de variație inversă[ clarifica ] :

{\tilde {G}}_{\varepsilon }(p)=e^{{-\varepsilon {p^{2} \over 2}}},

si rezultat

{\tilde {K}}(p;T)=e^{{-T{p^{2} \over 2}}}.

Transformarea Fourier dă K , iar acesta este din nou un Gaussian cu variație inversă:

K(xy;T)\sim e^{{-(xy)^{2} \over 2T}}.

Constanta de proporționalitate nu este definită cu adevărat de abordarea timpului fracționat, este definit doar raportul dintre valorile diferitelor alegeri finale. Trebuie aleasă o constantă de proporționalitate pentru a se asigura că între fiecare dintre cele două partiții de timp evoluția timpului este unitară mecanic cuantic, dar o modalitate mai iluminatoare de a corecta normalizarea este asumarea integralei de cale ca o descriere a unui proces stocastic.

Rezultatul are o interpretare probabilistică. Suma tuturor traiectoriilor factorului exponențial poate fi reprezentată ca suma tuturor traiectoriilor a probabilității de a alege o traiectorie dată. Probabilitatea este produsul pe fiecare segment al probabilității de selecție a unui segment dat, astfel încât fiecare segment este selectat probabil în mod independent. Faptul că răspunsul este un Gaussian care se propagă liniar în timp este o teoremă limită centrală care poate fi interpretată ca prima derivație istorică a integralei de cale statistică.

Interpretarea probabilistică oferă o alegere naturală a normalizării. Integrala traseului trebuie definită astfel încât:

\int K(xy;T)dy=1.

Această condiție normalizează Gaussianul și formează un nucleu care satisface ecuația de difuzie:

{d \over dt}K(x;T)={\nabla ^{2} \over 2}K.

Pentru integralele de cale oscilante, cele cu i în numărător, împărțirea în timp produce gaussieni deformați, ca înainte. Acum, totuși, produsul de curbură este singular în cea mai mică măsură, deoarece are nevoie de limite atente pentru a defini integralele oscilante. Pentru ca factorii să fie bine definiți, cel mai simplu mod este să adăugați o mică parte imaginară la termenul de timp ε. Apoi, același argument de răsucire ca înainte dă nucleul de propagare:

K(xy;T)\propto e^{i(xy)^{2} \over 2T}.

Care, cu aceeași normalizare ca înainte (nu normalizarea sumă-pătrat! această funcție are o normă divergentă), satisface ecuația liberă a lui Schrödinger

{d \over dt}K(x;T)={\rm {i}}{\nabla ^{2} \over 2}K.

Aceasta înseamnă că orice suprapunere a lui K va satisface, de asemenea, aceeași ecuație, liniar. Definire

\psi _{t}(y)=\int \psi _{0}(x)K(xy;t)dx=\int \psi _{0}(x)\int _{x(0) )=x}^{x(t)=y}e^{iS}Dx,

atunci ψt satisface ecuația Schrödinger liberă, precum și K:

{\rm {i}}{\partial \over \partial t}\psi _{t}=-{\nabla ^{2} \over 2}\psi _{t}.

Link -uri

^ Kleinert , H. Gauge Fields in Condensed Matter . - Singapore: World Scientific, 1989. - Vol. I. - ISBN 9971-5-0210-0 . Arhivat din original pe 14 mai 2006. Copie arhivată (link indisponibil) . Consultat la 20 septembrie 2009. Arhivat din original pe 14 mai 2006. (nedefinit) Disponibil și online: Vol. Am arhivat 27 mai 2008 la Wayback Machine .
↑ Laskin N. Fractional Quantum Mechanics // Physical Review E. - 2000. - V. 62 . - S. 3135-3145 . - doi : 10.1103/PhysRevE.62.3135 . arXiv : 0811.1769 .
↑ I. H. Duru, H. Kleinert. Rezolvarea integralei de cale pentru atomul H (engleză) // Fizică Litere B. - 1979. - Vol. 84 , iss. 2 . - P. 185-188 . - doi : 10.1016/0370-2693(79)90280-6 .

Vezi și

Literatură

Simon B. Integrare funcțională și fizică cuantică. — Academic Press, 1979.
Berezin F. A. A doua metodă de cuantizare. — M .: Nauka, 1986. — 320 p.
Zinn-Justin J. Integrală continuu în mecanica cuantică. - M. : Fizmatlit, 2010. - 360 p.
Lobanov Yu. Yu. Metode aproximative de integrare funcțională pentru investigarea numerică a modelelor în fizica cuantică (disertație pentru gradul de doctor în științe fizice și matematice). - M. , 2009.
Polyakov A. M. Câmpuri de ecartament și șiruri. - Izhevsk: RHD, 1999. - 316 p.
Popov VN Integrale continue în teoria cuantică a câmpurilor și mecanica statistică. — M .: Atomizdat , 1976. — 256 p.
Slavnov AA, Faddeev LD Introducere în teoria cuantică a câmpurilor gauge. - M. : Nauka, 1988. - 272 p.
Smolyanov O. G. , Shavgulidze E. T. Integrale continue. — M .: Nauka, 1990. — 150 p.
Feynman R., Hibs A. Mecanica cuantică și integralele de cale. - M. : Mir, 1968. - 384 p.
Shestakova TP Metoda integrală a drumului în teoria câmpului cuantic. Curs de curs. - M . : Computer In-t. issled., 2005. - 228 p. — ISBN 5-939724-07-8 .
Articolul din Enciclopedia fizică (A. A. Slavnov): http://femto.com.ua/articles/part_2/4433.html

Richard Feynman
Știința	Diagramele Feynman Diagrama Feynman cu o singură buclă Formula Feynman-Katz Teoria absorbției Wheeler-Feynman Formula Bethe-Feynman Teorema Hellmann-Feynman Notație slash Feynman Parametrizare Feynman Formulare în termeni de integrale de cale Parton (particulă) propagator argument de mărgele lipicioase Teoria unui univers cu un singur electron Automat cuantic celular Comisia Rogers Tabla de șah Feynman Punctul Feynman Stropitor Feynman Clichet Feynman-Smoluchowski
Lucrări	„ Multy of Room Below ” (1959) „ Prelegerile Feynman despre fizică ” (1964) „ Natura legilor fizice ” (1965) „ QED este o teorie ciudată a luminii și materiei ” (1985) „ Bineînțeles că glumiți, domnule Feynman! » (1985) „ Ce îți pasă de ce cred alții? » (1988) „ Prelecția pierdută a lui Feynman ” (1997) „ Semnificația tuturor ” (1999) „ Plăcerea de a afla lucruri ” (1999) „ Abateri perfect rezonabile de la drumul bătut ” (2005)
Alte	Cultul științific al încărcăturii „ Omul cuantic: viața în știință a lui Richard Feynman ” (2011) Tuva sau Bust! Premiul Feynman pentru nanotehnologie „ Infinity ” (film, 1996) " QED " (piesa de teatru, 2001) " Challenger " (film, 2013)