Secvență fundamentală

O secvență fundamentală , sau o secvență auto-convergentă sau o secvență Cauchy  este o secvență de puncte dintr- un spațiu metric astfel încât pentru orice distanță dată diferită de zero există un element al șirului, începând de la care toate elementele secvenței sunt mai puțin decât o distanță dată unul de celălalt.

Definiție

O secvență de puncte dintr- un spațiu metric se numește fundamentală dacă îndeplinește criteriul Cauchy :

Definiții înrudite

• Un spațiu metric în care fiecare secvență fundamentală converge către un element din același spațiu se numește complet .

Proprietăți

• Fiecare succesiune convergentă este fundamentală, dar nu orice succesiune fundamentală converge către un element din spațiul său.
• Un spațiu metric este complet dacă și numai dacă orice sistem de bile închise imbricate cu rază infinit descrescătoare are o intersecție nevidă constând dintr-un punct.
• Dacă o secvență este fundamentală și conține o subsecvență convergentă, atunci șirul în sine converge.
• Dacă o secvență este fundamentală, atunci este mărginită.

Literatură

• Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elemente de teoria funcțiilor și analiză funcțională, - M . : Nauka, 2004. - Ed. a VII-a.
• Shilov G. E. Analiză matematică. Funcțiile unei variabile. Partea 3, - M .: Nauka, 1970.