Funcția Landau

Funcția Landau în teoria numerelor , numită după matematicianul german Edmund Landau , este definită pentru orice număr natural n ca ordinul cel mai mare al unui element al grupului simetric . $g(n)$ $S_{n}$

Definiții

Definiții echivalente: egal cu cel mai mare dintre cei mai mici multipli comuni (LCM) pe toate partițiile numărului n , sau numărul maxim de ori în care o permutare a n elemente poate fi aplicată succesiv înainte de prima apariție a secvenței originale. Deci formal: $g(n)$

g(n)=\max \limits _{k_{1}+\ldots +k_{m}=n}HOK(k_{1},\ldots,k_{m})

De exemplu, 5 = 2 + 3 și LCM(2,3) = 6. Nicio altă partiție nu oferă un cel mai mic multiplu comun mai mare, deci . Un element de ordinul 6 dintr-un grup poate fi scris ca un produs a două cicluri: (1 2) (3 4 5). $g(5)=6$ $S_5$

Proprietăți

Secvență întreagă g (0)=1, g (1)=1, g (2)=2, g (3)=3, g (4)=4, g (5)=6, g (6)=6 , g (7) = 12, g (8) = 15, … este secvența OEIS A000793 , numită după Edmund Landau , care a demonstrat în 1902 [1] că

\lim _{n\to \infty }{\frac {\ln(g(n))}{\sqrt {n\ln(n))}}=1

(unde ln reprezintă logaritmul natural ).

În acest caz, maximele locale ale expresiei sub semnul limită apar la n = 2, 3, 5, 7, 9, 10, 12, 17, 19, 30, 36, 40, … (secvența A103635 în OEIS ).

Afirmația că

\ln g(n)<{\sqrt {\operatorname {Li} ^{-1}(n)))

pentru tot n , unde denotă inversul logaritmului integral , este echivalent cu ipoteza Riemann . $\operatorname {Li} ^{-1)$

Alte rapoarte:

În LCM (1, 2, …, n) . Prima inegalitate rezultă din faptul că este una dintre partiții, a doua asimptotică din afirmația lui Landau. $\leqslant \ln g\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)\sim n{\sqrt {\ln n}}$ $1+2+\dots +n={\frac {n(n+1)}{2))$
Fie gpf( g(n) ) cel mai mare factor prim al lui g(n) . Valorile acestei funcții pentru n=2, 3, ... vor fi 2, 3, 2, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 7 , 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 11, … (secvența A129759 în OEIS ). J.L. Nicolas în 1969 a arătat că . J.P. Massias şi colab. (1988, 1989) au arătat că pentru toți , iar J. Grantham (1995) a arătat că pentru toți constanta 2,86 poate fi îmbunătățită la 1,328. $\operatorname {gpf} (g(n))\sim {\sqrt {n\ln n))$ $n\geqslant 2$ $\operatorname {gpf} (g(n))\leqslant 2{,}86{\sqrt {n\ln n)}$ $n\geqslant 5$

Note

↑ Landau, pp. 92-103

Literatură

E. Landau , „Über die Maximalordnung der Permutationen gegebenen Grade [Despre ordinea maximă de permutare a unui ordin dat]”, Arh. Matematică. Fiz. Ser. 3, voi. 5, 1903.
W. Miller, „Ordinea maximă a unui element al unui grup simetric finit”, American Mathematical Monthly , voi. 94, 1987, pp. 497-506.
J.L. Nicolas, „Despre funcția lui Landau g ( n )”, în Matematica lui Paul Erdős , vol. 1, Springer-Verlag , 1997, pp. 228-240.

Link -uri

Weisstein, Eric W. Landau Function (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
secvența A000793 din OEIS este funcția Landau pentru numere naturale.