Energie Willmore

Energia Willmore este o măsură numerică a abaterii unei suprafețe date de la o sferă rotundă . Matematic , energia Willmore a unei suprafețe închise netede încorporată în spațiul euclidian tridimensional este definită ca integrala pătratului curburii medii minus curbura gaussiană . Termenul este numit după geometrul englez Thomas Willmore .

Definiție

În termeni simbolici, energia Willmore a suprafeței S este

{\mathcal {W}}=\int _{S}H^{2}\,dA-\int _{S}K\,dA

unde este curbura medie , este curbura Gaussiană și dA este aria suprafeței lui S. Pentru o suprafață închisă, folosind formula Gauss-Bonnet , integrala de curbură Gauss poate fi calculată în funcție de caracteristica Euler a suprafeței $H$ $K$ $\chi (S)$

\int _{S}K\,dA=2\pi \chi (S),

care este invariantă din punct de vedere topologic și, prin urmare, nu depinde de o anumită încorporare în . Atunci energia Willmore poate fi exprimată ca $\mathbb {R} ^{3}$

{\mathcal {W}}=\int _{S}H^{2}\,dA-2\pi \chi (S)

O formulă alternativă, dar echivalentă este

{\mathcal {W}}={1 \over 4}\int _{S}(k_{1}-k_{2})^{2}\,dA

unde și sunt curburele principale ale suprafeței. $k_{1}$ $k_{2}$

Proprietăți

Energia Willmore este întotdeauna mai mare sau egală cu zero. O sferă rotundă are zero energie Willmore.

Energia Willmore poate fi privită ca o funcțională în spațiul înglobărilor într-un spațiu dat, în sensul calculului variațiilor, și se poate modifica înglobarea unei suprafețe lăsând-o neschimbată din punct de vedere topologic.

Puncte critice

Problema principală în calculul variațiilor este căutarea punctelor critice și a minimului funcționalului.

Pentru un spațiu topologic dat, aceasta este echivalentă cu găsirea punctelor critice ale funcției

\int _{S}H^{2}\,dA

întrucât caracteristica lui Euler este constantă.

Se poate găsi un minim (local) pentru energia Willmore folosind coborâre în gradient , care în acest context este numit flux Willmore.

Pentru o sferă încorporată în spațiul tridimensional, punctele critice au fost clasificate de Bryant [1] - toate sunt transformări conforme ale suprafețelor minime , o sferă rotundă este un minim și toate celelalte valori critice sunt numere întregi mai mari sau egale cu 4 . Se numesc suprafețe Willmore. $\pi$

Fluxul lui Willmore

Fluxul Willmore este fluxul geometric corespunzător energiei Willmore. Este - curgere în gradient . $L^{2}$

e[{\mathcal {M}}]={\frac {1}{2}}\int _{\mathcal {M}}H^{2}\,\mathrm {d} A

unde H înseamnă curbura medie a varietății . ${\mathcal {M}}$

Liniile de curgere satisfac ecuația diferențială:

\partial _{t}x(t)=-\nabla {\mathcal {W}}[x(t)]\,

unde se află la suprafață. $X$

Acest flux duce la o problemă evolutivă în geometria diferențială - suprafața evoluează în timp, în urma celei mai abrupte scăderi a energiei. Ca și difuzia de suprafață, curgerea este un flux de ordinul al patrulea, deoarece variația de energie conține o derivată a patra. ${\mathcal {M}}$

Aplicații

Membranele celulare tind spre poziția cu energie Willmore minimă [2] .
Energia Willmore este folosită pentru a construi o clasă de eversiune optimă a sferei , eversiune minimax .

Vezi și

Ipoteza lui Willmore

Note

↑ Bryant, 1984 , p. 23–53.
↑ Müller, Röger, 2014 , p. 109–139.

Literatură

Stefan Müller, Matthias Röger. Structuri limitate cu cea mai mică energie de încovoiere // Journal of Differential Geometry. - 2014. - Mai ( vol. 97 , numărul 1 ). doi : 10.4310 /jdg/1404912105 .
Willmore TJ Un studiu asupra imersiunilor Willmore // Geometria și topologia subvarietăților, IV (Leuven, 1991). River Edge, NJ: World Scientific, 1992. pp. 11–16.
Robert L. Bryant. O teoremă de dualitate pentru suprafețele Willmore // Journal of Differential Geometry . - 1984. - T. 20 , nr. 1 . — S. 23–53 .