Teorema ATC

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 8 septembrie 2021; verificările necesită 3 modificări .

Teorema ATS - o teoremă privind aproximarea unei sume trigonometrice cu una mai scurtă.

În unele domenii ale matematicii și fizicii matematice, sumele formei

S=\sum _{a<k\leq b}\varphi (k)e^{2\pi if(k)}.

Iată și sunt funcții reale ale unui argument real, $\varphi(x)$ $f(x)$ $i^2= -1.$

Astfel de sume apar, de exemplu, în teoria numerelor când se analizează funcția zeta Riemann , când se rezolvă probleme legate de distribuția punctelor întregi în diferite zone dintr-un plan și în spațiu , când se studiază seria Fourier , când se rezolvă ecuații diferențiale precum valul . ecuație , ecuație conductivitate termică etc.

Observații introductive

Să numim lungimea sumei $S$ un număr (pentru numere întregi și acesta este doar numărul de termeni din ). $ba$ $A$ $b$ $S$

Vom folosi următoarea notație:

Dacă sau notația înseamnă că există constante și , astfel încât $B > 0, B \la +\infty$ $B \la 0$ $1 \ll \frac{A}{B} \ll 1$ $C_1 > 0$ $C_2 > 0,$ $C_{1}\leq {\frac {|A|}{B}}\leq C_{2}.$
Pentru o notație reală înseamnă că $\alfa$ $\|\alpha \|$ $\|\alpha \|=\min(\{\alpha \},1-\{\alpha \}),$ unde este partea fracțională $\{\alfa\}$ $\alfa.$

Să formulăm teorema principală privind înlocuirea unei sume trigonometrice (uneori numită și exponențială) cu una mai scurtă.

Teorema ATS

Fie funcțiile reale și satisface următoarele condiții pe interval: $f(x)$ $\varphi(x)$ $[a,b]$

$f''(x)$ și sunt continue; $\varphi''(x)$
există numere și așa încât $H$ $U$ $V$ $H>0,~~1\ll U\ll V,~~0<ba\leq V,$ $\begin{array}{rc} \frac{1}{U} \ll f''(x) \ll \frac{1}{U} \ ,& \varphi(x) \ll H ,\\ f' ''(x) \ll \frac{1}{UV} \ ,& \varphi'(x) \ll \frac{H}{V} ,\\ f''''(x) \ll \frac{ 1}{UV^2} \ ,& \varphi''(x) \ll \frac{H}{V^2} . \\ \end{matrice}$

Apoi, determinând numerele din ecuație $x_{\mu }$

f'(x_{\mu}) = \mu,

avem

\sum_{a< \mu\le b} \varphi(\mu)e^{2\pi if(\mu)} = \sum_{f'(a)\le\mu\le f'(b)} C(\mu)Z(\mu) + R ,

Unde

R = O \left(\frac{HU}{ba} + HT_a + HT_b + H\log\left(f'(b)-f'(a)+2\right)\right);

T_{j}=\left\{{\begin{array}{rc}0\ ,&\ {{\textit {i}}f}\ \ f'(j)\ {{\textit {i} }}s\ an\ întreg};\\\min \left({\frac {1}{\|f'(j)\|}}),{\sqrt {U}}\right)\ ,&\ { {\textit {i}}f}\ \ \|f'(j)\|\neq 0;\\\end{array}}\right.

j = a,b;

C(\mu) = \left\{ \begin{array}{rc} 1 \ \ ,& \ \ {\textit if} \ \ f'(a) < \mu < f'(b) ;\\ \ frac{1}{2} \ \ ,& \ \ {\textit if} \ \ \mu = f'(a) \ \ {\textit sau} \ \ \mu = f'(b) ;\\ \end {matrice}\dreapta.

Z(\mu) = \frac{1+i}{\sqrt 2}\frac{\varphi(x_{\mu})}{\sqrt{f''(x_{\mu)))))e^ { 2\pi i(f(x_{\mu})- \mu x_{\mu})} \ .

Lema lui Van der Corput

Cea mai simplă versiune a teoremei formulate este o afirmație numită în literatură lema van der Corput .

Fie o funcție reală diferențiabilă pe intervalul , în plus, în cadrul acestui interval derivata sa este o funcție monotonă și constantă de semn, iar pentru , satisface inegalitatea $f(x)$ $a< x \le b$ $f'(x)$ $\delta = const$ $0 < \delta < 1$

|f'(x)| \leq \delta .

Apoi

\sum_{a<k\le b} e^{2\pi if(k)} = \int_a^be^{2\pi if(x)}dx + \theta\left(3 + \frac{2\ delta}{1-\delta}\dreapta),

Unde $|\theta| \le 1.$

Dacă parametrii și sunt numere întregi , atunci ultima expresie poate fi înlocuită cu următoarea: $A$ $b$

\sum_{a<k\le b} e^{2\pi if(k)} = \int_a^be^{2\pi if(x)}dx + \frac12e^{2\pi if(b)} - \frac12e^{2\pi if(a)} + \theta\frac{2\delta}{1-\delta},

unde . $|\theta| \le 1$

Aplicație

Vezi [1] , [2] , vezi și [3] , [4] pentru aplicații ale ATS în probleme de fizică .

Istorie

Problema aproximării unei serii trigonometrice prin orice funcție adecvată a fost luată în considerare de Euler și Poisson .

În anumite condiții, suma poate fi înlocuită cu o bună acuratețe cu o altă sumă $\varphi(x)$ $f(x)$ $S$ $S_1,$

S_1 = \sum_{\alpha<k\le \beta} \Phi(k)e^{2\pi i F(k)} ,

a căror lungime este mult mai mică decât primele relaţii ale formei $\beta-\alpha$ $ba.$

S=S_{1}+R\ ,

unde este termenul rămas, cu funcții specifice și au fost obținute de G. Hardy și J. Littlewood [5] [6] [7] la derivarea unei ecuații funcționale pentru funcția zeta Riemann și I. Vinogradov [8] , când se consideră numărul de puncte întregi în zonele din plan. În termeni generali, teorema a fost demonstrată de J. Van der Corput [9] [10] (pentru rezultate recente legate de teorema lui Van der Corput , vezi [11] ). $R$ $\varphi(x)$ $f(x),$ $\zeta (s)$

În fiecare dintre lucrările de mai sus au fost impuse unele restricții asupra funcțiilor și . Cu restricții convenabile pentru aplicații, teorema a fost demonstrată de A. A. Karatsuba în [12] (vezi și [13] [14] ). $\varphi(x)$ $f(x)$

Note

↑ EA Karatsuba Aproximarea sumelor sumelor oscilante în anumite probleme fizice, - JMP 45:11 , pp. 4310-4321 (2004).
↑ EA Karatsuba Despre o abordare a studiului sumei Jaynes-Cummings în optica cuantică, - Numerical Algorithms, Vol. 45, Nr.1-4, pp. 127-137 (2007).
↑ E. Chassande-Mottin, A. Pai Cel mai bun lanț de chirplet: detectarea aproape optimă a ciripiturilor undelor gravitaționale, Phys. Rev. D73 :4 , 042003, pp. 1-23 (2006).
↑ M. Fleischhauer, W.P. Schleich Revivals made simple: Poisson summation formula as a key to the revivals in the Jaynes-Cummings model, Phys. Rev. A 47:3 , pp. 4258-4269 (1993).
↑ GH Hardy și JE Littlewood Seria trigonometrică asociată cu funcțiile eliptice θ, Acta Math. 37 , pp. 193-239 (1914).
↑ GH Hardy și JE Littlewood Contribuții la teoria funcției zeta Riemann și teoria distribuției primelor, - Acta Math. 41 , pp. 119-196 (1918).
↑ GH Hardy și JE Littlewood Zerourile funcției zeta a lui Riemann pe linia critică, Math. Z., 10 , pp. 283-317 (1921).
↑ I. M. Vinogradov Despre valoarea medie a numărului de clase de forme pur rădăcină ale unui determinant negativ, - Soobshch. Harkov. Mat. Insulele, vol. 16, nr. 1/2, p. 10-38 (1918).
↑ JG Van der Corput Zahlentheoretische Abschätzungen, Math. Ann. 84 , pp. 53-79 (1921).
↑ JG Van der Corput Verschärfung der abschätzung beim teilerproblem, Math. Ann., 87 , pp. 39-65 (1922).
↑ HL Montgomery Zece prelegeri despre interfața dintre teoria analitică a numerelor și analiza armonică, - Am. Matematică. Soc., 1994.
↑ A.A. Karatsuba Aproximarea sumelor exponenţiale prin sume mai scurte, - Proc. Indian. Acad. sci. (Math. Sci.) 97:1-3 , pp. 167-178 (1987).
↑ S. M. Voronin, A. A. Karatsuba Riemann zeta function, - M. : Fizmatlit, 1994.
↑ A. A. Karatsuba, M. A. Korolev O teoremă privind aproximarea unei sume trigonometrice mai scurte, Izvestiya RAN. Seria Matematică, vol. 71, nr.2, p. 123-150 (2007).