Ierarhie în creștere rapidă

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 22 martie 2020; verificările necesită 9 modificări .

Ierarhia cu creștere rapidă (numită și ierarhia Grzegorczyk extinsă ) este o familie de funcții cu creștere rapidă indexate prin ordinale . Cel mai faimos caz special al unei ierarhii în creștere rapidă este ierarhia Loeb - Weiner.

Definiție

O ierarhie în creștere rapidă este definită de următoarele reguli

$f_{0}(n)=n+1$ (în general poate fi orice funcție de creștere), $f_{0}(n)$
$f_{\alpha +1}(n)=f_{\alpha }^{n}(n)=\underbrace {f_{\alpha }(f_{\alpha }(\cdots (f_{\alpha } (f_{\alpha }(} _{n{\mbox{ ori))}n))\cdots ))$ ,
$f_{\alpha }(n)=f_{\alpha [n]}(n)$ dacă ordinalul limită, $\alfa$
- unde este al n -lea element al succesiunii fundamentale stabilite pentru un ordinal limită . $\alpha[n]$ $\alfa$
- Există diferite versiuni ale ierarhiei cu creștere rapidă, dar cea mai cunoscută este ierarhia Loeb-Weiner, în care secvențele fundamentale pentru ordinale limită scrise în forma normală Cantor sunt definite de următoarele reguli:
$\omega [n]=n$ ,
$(\omega ^{\alpha _{1)}+\omega ^{\alpha _{2)}+\cdots +\omega ^{\alpha _{k-1))+\omega ^{\ alfa _{k)))[n]=\omega ^{\alpha _{1}}+\omega ^{\alpha _{2}}+\cdots +\omega ^{\alpha _{k-1} }+\omega ^{\alpha _{k}}[n]$
- pentru , $\alpha _{1}\geq \alpha _{2}\geq \cdots \geq \alpha _{k)$
$\omega ^{\alpha +1}[n]=\omega ^{\alpha }n$ ,
$\omega ^{\alpha }[n]=\omega ^{\alpha [n]}$ dacă ordinalul limită, $\alfa$
$\varepsilon _{0}[0]=0$ și . $\varepsilon _{0}[n+1]=\omega ^{\varepsilon _{0}[n]}=\omega \uparrow \uparrow n$

Secvențele fundamentale pentru ordinale limită de mai sus sunt date în articolele despre funcțiile Veblen și funcțiile Buchholz $\varepsilon_{0}$

Exemple

$f_{1}(n)=f_{0}^{n}(n)=\underbrace {f_{0}(f_{0}(\cdots (f_{0}(f_{0}(}) _{n\quad f_{0}}n))\cdots ))=2\times n$ ,

$f_{2}(n)=f_{1}^{n}(n)=\underbrace {f_{1}(f_{1}(\cdots (f_{1}(f_{1}(}) _{n\quad f_{1}}n))\cdots ))=2^{n}\times n$ .

Pentru funcțiile indexate prin ordinale finite , $\alpha >1$

$f_{m}(n)>2\uparrow ^{m-1}n$ .

În special, pentru n =10:

$f_{3}(10)=f_{2}^{10}(10)\aproximativ \underbrace {10^{10^{10^{\cdots {^{10^{10^{3,489}} }}}}}} _{10\quad {\text{ten}}}\aprox 10\uparrow \uparrow 11$ ,

$f_{4}(10)=f_{3}^{10}(10)\aprox \left.{\begin{matrix}&&\underbrace {10^{10^{10^{\cdots {^ {10^{10^{3,489}}}}}}}} \\&&\acodată {10^{10^{10^{\cdots {^{10^{10^{3,489}}}}}} } \\&&\underbrace {\qquad \;\;\vdots \qquad \;\;} \\&&\underbrace {10^{10^{10^{\cdots {^{10^{10^{3.489} )))))))} \\&&10\quad {\text{zece}}\end{matrix}}\right\}{\text{10 acolade inferioare}}\aprox 10\uparrow \uparrow \uparrow 11$ ,

$f_{m}(10)\aproximativ 10\uparrow ^{m-1}11$ .

Astfel, deja primul ordinal transfinit corespunde limitei notației cu săgeți a lui Knuth . $\omega$

Celebrul număr Graham este mai mic de . $f_{\omega +1}(64)$

Datorită simplității și clarității definiției, ierarhia în creștere rapidă este utilizată pentru a analiza diferite notații pentru scrierea numerelor mari .

	Notația Knuth	Notație Conway	Notație Bowers
limita de notație	$\omega$	$\omega ^{2}$	$\omega^\omega$
exemple	$f_{\omega}(10)\aprox 10\uparrow ^{9}11=10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 11$	$f_{\omega ^{2}}(n)\aprox \underbrace {n\rightarrow n\rightarrow n\cdots \rightarrow n} _{n+1\quad \rightarrow }$	$f_{\omega ^{\omega }}(n)\aprox \underbrace {\{n,n,n,\cdots ,n,n\}} _{n+2\quad n's}$
exemple	$f_{\omega +1}(10)\aprox \left.{\begin{matrix}&&\underbrace {10\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow 11} \\&&\underbrace {10\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow 11} \\&&\underbrace {\quad \quad \;\;\vdots \quad \quad \;\;} \\&&\underbrace {10\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow 11} \\&&{\text{9 săgeți}}\end{matrice}}\right\}{\text{10}}$	$f_{\omega ^{2}+1}(n)\aprox \left.{\begin{matrix}&&\underbrace {n\rightarrow n\rightarrow \cdots n\rightarrow n} \\&&\underbrace {n\rightarrow n\rightarrow \cdots n\rightarrow n} \\&&\underbrace {\quad \quad \quad \;\;\vdots \quad \quad \quad \;\;} \\&&\underbrace {n \rightarrow n\rightarrow \cdots n\rightarrow n} \\&&{\text{n+1 săgeți}}\end{matrix}}\right\}{\text{n}}$	$f_{\omega ^{\omega}+1}(n)\aprox \left.{\begin{matrix}&&\underbrace {\{n,n,n,\cdots ,n,n\)} \\&&\underbrace {\{n,n,n,\cdots ,n,n\)) \\&&\underbrace {\quad \quad \quad \;\;\vdots \quad \quad \quad \;\ ;} \\&&\underbrace {\{n,n,n,\cdots ,n,n\)) \\&&{\text{n+2 n))\end{matrice))\right\}{\ text{n}}$

Definiția de mai sus definește o ierarhie în creștere rapidă până la . Pentru o creștere suplimentară, puteți utiliza funcția Veblen și alte notații și mai puternice pentru ordinale [1] . $\varepsilon _{0}=\omega \uparrow \uparrow n$

Exemple

$f_{0}(n)=n+1$
$f_{1}(n)=2n$
$f_{2}(n)=2^{n}n$
$f_{3}(n)>2\uparrow \uparrow n$ (vezi notația săgeată Knuth )
$f_{4}(n)>2\uparrow \uparrow \uparrow n$
$f_{m}(n)>2\uparrow ^{m-1}n$
$f_{\omega}(n)>2\uparrow ^{n-1}n=\{n,n,n-1\)$ (vezi notația masivă Bowers )
$f_{\omega +1}(n)=\{n,n,1,2\}\aprox G(n)$ (vezi numărul Graham )
$f_{\omega +2}(n)=\{n,n,2,2\)$
$f_{\omega +m}(n)=\{n,n,m,2\)$
$f_{\omega 2}(n)=\{n,n,n,2\)$
$f_{\omega 2+1}(n)=\{n,n,1,3\)$
$f_{\omega 3}(n)=\{n,n,n,3\)$
$f_{\omega {m}}(n)=\{n,n,n,m\}$
$f_{\omega {m+k}}(n)=\{n,n,k,m+1\}$
$f_{\omega ^{2}}(n)=\{n,n,n,n\}$
$f_{\omega ^{3}}(n)=\{n,n,n,n,n\}$
$f_{\omega ^{m}}(n)=\{n,n,n,...,n\}$ (de m ori)
$f_{\omega ^{\omega }}(n)=\{n,n,n,...,n\}$ (de n ori) $=\{n,n(1)2\}$
$f_{\omega ^{\omega +1}}(n)=\{n,n(1)1,2\}$
$f_{\omega ^{\omega +2}}(n)=\{n,n(1)1,1,2\}$
$f_{\omega ^{\omega 2}}(n)=\{n,n(1)1(1)2\}$
$f_{\omega ^{\omega 2+1}}(n)=\{n,n(1)1(1)1,2\}$
$f_{\omega ^{\omega 3}}(n)=\{n,n(1)1(1)1(1)2\}$
$f_{\omega ^{\omega ^{2}}}(n)=\{n,n(2)2\}$
$f_{\omega ^{\omega ^{3}}}(n)=\{n,n(3)2\}$
$f_{\omega ^{\omega ^{m))}(n)=\{n,n(m)2\)$
$f_{\omega ^{\omega ^{\omega ))}(n)=\{n,n[1,2]2\)$ (vezi Notația Bird's Array )
$f_{\omega ^{\omega ^{\omega ^{2)}))(n)=\{n,n[1,1,2]2\)$
$f_{\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega ))))(n)=\{n,n[1[2]2]2\)$
$f_{\epsilon _{0}}(n)=\{n,n[1{\backslash }2]2\}$
$f_{\omega ^{\omega ^{\epsilon _{0}+1))}(n)=\{n,n[1[1{\backslash }2]2{\backslash }2] 2\}$
${\displaystyle f_{\omega ^{\omega ^{\omega ^{\epsilon _{0}+1))))(n)=\{n,n[1[1[1{\backslash }2] 2{\backslash }2]2{\backslash }2]2\))$
$f_{\epsilon _{1}}(n)=\{n,n[1{\backslash }3]2\}$
$f_{\epsilon _{2}}(n)=\{n,n[1{\backslash }4]2\}$
$f_{\epsilon _{\omega }}(n)=\{n,n[1{\backslash }1,2]2\}$
$f_{\epsilon _{\omega ^{\omega }}}(n)=\{n,n[1{\backslash }1[2]2]2\}$
$f_{\epsilon _{\epsilon _{0)}}(n)=\{n,n[1{\backslash}1[1{\backslash}2]2]2\)$
$f_{\epsilon _{\epsilon _{\epsilon _{0))))(n)=\{n,n[1{\backslash}1[1{\backslash }1[1{\backslash }1[1{\backslash }2]2]2]2\}$
$f_{\zeta _{0}}(n)=\{n,n[1{\backslash }1{\backslash }2]2\}$
$f_{\epsilon _{\zeta _{0}+1}}(n)=\{n,n[1{\backslash }2{\backslash }2]2\}$

$f_{\epsilon _{\zeta _{0}+\omega }}(n)=\{n,n[1{\backslash }1,2{\backslash }2]2\}$

$f_{\epsilon _{\zeta _{0}+\epsilon _{0}}}(n)=\{n,n[1{\backslash }1{[1{\backslash }2]} 2{\backslash }2]2\}$
${\displaystyle f_{\epsilon _{\zeta _{0}2}}(n)=\{n,n[1{\backslash }1{[1{\backslash }1{\backslash }2]}2 {\backslash }2]2\))$
$f_{\epsilon _{\epsilon _{\zeta _{0}+1}}}(n)=\{n,n[1{\backslash }1{[1{\backslash }2{\ backslash }2]}2{\backslash }2]2\}$
$f_{\zeta _{1}}(n)=\{n,n[1{\backslash }1{\backslash }3]2\}$
$f_{\zeta _{\omega }}(n)=\{n,n[1{\backslash }1{\backslash }1,2]2\}$
$f_{\zeta _{\epsilon _{0}}}(n)=\{n,n[1{\backslash }1{\backslash }1[1{\backslash }2]2]2\ }$
$f_{\zeta _{\zeta _{0}}}(n)=\{n,n[1{\backslash }1{\backslash }1[1{\backslash }1{\backslash }2 ]2]2\}$
$f_{\eta _{0}}(n)=\{n,n[1{\backslash }1{\backslash }1{\backslash }2]2\}$
${\displaystyle f_{\varphi (4,0)}(n)=\{n,n[1{\backslash }1{\backslash }1{\backslash }1{\backslash }2]2\))$
${\displaystyle f_{\varphi (m,0)}(n)=\{n,n[1{\backslash }1{\backslash }1{\cdots}1{\backslash }2]2\))$ (m bare oblice inverse)
${\displaystyle f_{\varphi (\omega ,0)}(n)=\{n,n[1[2{\neg }2]2]2\))$
$f_{\epsilon _{\varphi (\omega ,0)+1))(n)=\{n,n[1{\backslash }2[2{\neg }2]2]2\}$
$f_{\zeta _{\varphi (\omega ,0)+1))(n)=\{n,n[1{\backslash }1{\backslash }2[2{\neg }2] 2]2\}$
$f_{\eta _{\varphi (\omega ,0)+1))(n)=\{n,n[1{\backslash }1{\backslash }1{\backslash }2[2{ \neg }2]2]2\}$
${\displaystyle f_{\varphi (\omega,1)}(n)=\{n,n[1[2{\neg}2]3]2\))$
${\displaystyle f_{\varphi (\omega,2)}(n)=\{n,n[1[2{\neg}2]4]2\))$
${\displaystyle f_{\varphi (\omega,\omega)}(n)=\{n,n[1[2{\neg}2]1,2]2\))$
$f_{\varphi (\omega,\epsilon _{0})}(n)=\{n,n[1[2{\neg}2]1[1{\backslash }2]2]2 \}$
$f_{\varphi (\omega ,\zeta _{0})}(n)=\{n,n[1[2{\neg }2]1[1{\backslash }1{\backslash } 2]2]2\}$
$f_{\varphi (\omega ,\varphi (\omega ,0))}(n)=\{n,n[1[2{\neg }2]1[1[2{\neg }2 ]2]2]2\}$
${\displaystyle f_{\varphi (\omega,\varphi (\omega,\varphi (\omega,0)))}(n)=\{n,n[1[2{\neg }2]1[1 [2{\neg }2]1[1[2{\neg }2]2]2]2]2\))$
${\displaystyle f_{\varphi (\omega +1,0)}(n)=\{n,n[1[2{\neg }2]1{\backslash }2]2\))$
$f_{\varphi (\omega +2,0)}(n)=\{n,n[1[2{\neg }2]1{\backslash }1{\backslash }2]2\}$
${\displaystyle f_{\varphi (\omega 2,0)}(n)=\{n,n[1[2{\neg }2]1[2{\neg }2]2]2\))$
$f_{\varphi (\omega ^{2},0)}(n)=\{n,n[1[3{\neg}2]2]2\)$
${\displaystyle f_{\varphi (\omega ^{3},0)}(n)=\{n,n[1[4{\neg}2]2]2\))$
${\displaystyle f_{\varphi (\omega ^{\omega },0)}(n)=\{n,n[1[1,2{\neg }2]2]2\))$
$f_{\varphi (\omega ^{\omega ^{\omega )),0)}(n)=\{n,n[1[1[2]2{\neg }2]2]2 \}$
$f_{\varphi ({\epsilon _{0)),0)}(n)=\{n,n[1[1[1{\backslash}2]2{\neg }2]2] 2\}$
$f_{\Gamma _{0}}(n)=\{n,n[1[1{\backslash }2{\neg }2]2]2\}$
$f_{\Gamma _{1}}(n)=\{n,n[1[1{\backslash }2{\neg }2]3]2\}$
${\displaystyle f_{\Gamma _{\Gamma _{0))}(n)=\{n,n[1[1{\backslash }2{\neg }2]1[1[1{\backslash } 2{\neg }2]2]2]2\))$
${\displaystyle f_{\varphi (1,1,0)}(n)=\{n,n[1[1{\backslash }2{\neg }2]1{\backslash }2]2\))$
$f_{\varphi (1,2,0)}(n)=\{n,n[1[1{\backslash }2{\neg }2]1{\backslash }1{\backslash }2 ]2\}$
$f_{\varphi (2,0,0)}(n)=\{n,n[1[1{\backslash }2{\neg }2]1[1{\backslash }2{\neg }2]2]2\}$
${\displaystyle f_{\varphi (\omega,0,0)}(n)=\{n,n[1[2{\backslash}2{\neg}2]2]2\))$
${\displaystyle f_{\varphi (\Gamma _{0},0,0)}(n)=\{n,n[1[1[1[1{\backslash }2{\neg }2]2] 2{\backslash }2{\neg }2]2]2\))$
${\displaystyle f_{\varphi (1,0,0,0)}(n)=\{n,n[1[1{\backslash}3{\neg }2]2]2\))$
${\displaystyle f_{\varphi (1,0,0,0,0)}(n)=\{n,n[1[1{\backslash}4{\neg }2]2]2\))$
$f_{\psi (\Omega ^{\Omega ^{\omega ))}}(n)=\{n,n[1[1{\backslash}1,2{\neg }2]2] 2\}\aprox TREE(n)$ (vezi TREE(3) )
${\displaystyle f_{\psi (\Omega ^{\Omega ^{\psi (\Omega ^{\Omega ))))}}(n)=\{n,n[1[1{\backslash }1[ 1[1{\backslash }2{\neg }2]2]2{\neg }2]2]2\))$
$f_{\psi (\Omega ^{\Omega ^{\Omega )))}(n)=\{n,n[1[1{\backslash }1{\backslash }2{\neg }2 ]2]2\}$
${\displaystyle f_{\psi (\Omega ^{\Omega ^{\Omega ^{2))})}(n)=\{n,n[1[1{\backslash }1{\backslash }1{ \backslash }2{\neg }2]2]2\))$
$f_{\psi (\Omega ^{\Omega ^{\Omega ^{\omega ))})}(n)=\{n,n[1[1[2{\neg }2]2{ \neg }2]2]2\}$
${\displaystyle f_{\psi (\Omega ^{\Omega ^{\Omega ^{\psi (\Omega ^{\Omega ^{\Omega ))))})(n)=\{n,n [ 1[1[1[1[1{\backslash }1{\backslash }2{\neg }2]2]2{\neg }2]2{\neg }2]2]2\))$
$f_{\psi (\Omega ^{\Omega ^{\Omega ^{\Omega ))})}(n)=\{n,n[1[1[1{\backslash }2{\neg }2]2{\neg }2]2]2\}$
${\displaystyle f_{\psi (\Omega _{2})}(n)=\{n,n[1[1{\neg }3]2]2\))$
${\displaystyle f_{\psi (\Omega _{2}+1)}(n)=\{n,n[1{\backslash }2[1{\neg }3]2]2\))$
$f_{\psi (\Omega _{2}+\omega )}(n)=\{n,n[1{\backslash }1,2[1{\neg }3]2]2\}$
${\displaystyle f_{\psi (\Omega _{2}+\psi (\Omega ^{\Omega }))}(n)=\{n,n[1{\backslash }1[1[1{\ bară oblică inversă }2{\neg }2]2]2[1{\neg }3]2]2\))$
${\displaystyle f_{\psi (\Omega _{2}+\psi (\Omega ^{\Omega ^{\omega ))))}(n)=\{n,n[1{\backslash }1[ 1[1{\backslash }1,2{\neg }2]2]2[1{\neg }3]2]2\))$
${\displaystyle f_{\psi (\Omega _{2}+\psi (\Omega ^{\Omega ^{\Omega ))))}(n)=\{n,n[1{\backslash }1[ 1[1{\backslash }1{\backslash }2{\neg }2]2]2[1{\neg }3]2]2\))$
${\displaystyle f_{\psi (\Omega _{2}+\psi (\Omega ^{\Omega ^{\Omega ^{\Omega ))})}}(n)=\{n,n[1{ \backslash }1[1[1[1{\backslash }2{\neg }2]2{\neg }2]2]2[1{\neg }3]2]2\))$
${\displaystyle f_{\psi (\Omega _{2}+\psi (\Omega _{2}))}(n)=\{n,n[1{\backslash}1[1[1{\neg }3]2]2[1{\neg }3]2]2\))$
$f_{\psi (\Omega _{2}+\Omega )}(n)=\{n,n[1{\backslash }1{\backslash }2[1{\neg }3]2] 2\}$
$f_{\psi (\Omega _{2}+\Omega ^{2})}(n)=\{n,n[1{\backslash }1{\backslash }1{\backslash }2[ 1{\neg }3]2]2\}$
$f_{\psi (\Omega _{2}+\Omega ^{\omega })}(n)=\{n,n[1[2{\neg }2]2[1{\neg } 3]2]2\}$
$f_{\psi (\Omega _{2}+\Omega ^{\Omega })}(n)=\{n,n[1[1{\backslash }2{\neg }2]2[ 1{\neg }3]2]2\}$
$f_{\psi (\Omega _{2}+\psi _{1}(\Omega _{2}))}(n)=\{n,n[1[1{\neg }3] 3]2\}$
${\displaystyle f_{\psi (\Omega _{2}+\psi _{1}(\Omega _{2}+\psi _{1}(\Omega _{2})))}(n)= \{n,n[1[1{\neg }3]1[1{\neg }3]2]2\))$
${\displaystyle f_{\psi (\Omega _{2}+\psi _{1}(\Omega _{2}+\psi _{1}(\Omega _{2}+1)))}(n )=\{n,n[1[2{\neg }3]2]2\))$
${\displaystyle f_{\psi (\Omega _{2}+\psi _{1}(\Omega _{2}+\psi _{1}(\Omega _{2}+\psi _{1}( \Omega _{2}))))}(n)=\{n,n[1[1[1{\neg }3]2{\neg }3]2]2\))$
${\displaystyle f_{\psi (\Omega _{2}2)}(n)=\{n,n[1[1{\neg }4]2]2\))$
${\displaystyle f_{\psi (\Omega _{2}3)}(n)=\{n,n[1[1{\neg}5]2]2\))$
${\displaystyle f_{\psi (\Omega _{2}\omega )}(n)=\{n,n[1[1{\neg }1,2]2]2\))$
$f_{\psi (\Omega _{2}\psi (0))}(n)=\{n,n[1[1{\neg}1[1{\backslash}2]2]2 ]2\}$
${\displaystyle f_{\psi (\Omega _{2}\psi (\Omega ^{\Omega }))}(n)=\{n,n[1[1{\neg }1[1[1{ \backslash }2{\neg }2]2]2]2]2\))$
$f_{\psi (\Omega _{2}\psi (\Omega _{2}))}(n)=\{n,n[1[1{\neg }1[1[1{\ neg }3]2]2]2]2\}$
${\displaystyle f_{\psi (\Omega _{2}\Omega )}(n)=\{n,n[1[1{\neg }1{\backslash }2]2]2\))$
$f_{\psi (\Omega _{2}\Omega ^{\Omega })}(n)=\{n,n[1[1{\neg }1[1{\backslash }2{\ neg }2]2]2]2\}$
${\displaystyle f_{\psi (\Omega _{2}\psi _{1}(\Omega _{2}))}(n)=\{n,n[1[1{\neg }1[1 {\neg }3]2]2]2\))$
${\displaystyle f_{\psi (\Omega _{2}^{2})}(n)=\{n,n[1[1{\neg }1{\neg }2]2]2\))$
$f_{\psi (\Omega _{2}^{\omega })}(n)=\{n,n[1[1[2{\backslash }_{3}2]2]2] 2\}$
$f_{\psi (\Omega _{2}^{\Omega _{2))}(n)=\{n,n[1[1[1{\backslash }_{2}2{ \ bară oblică inversă }_{3}2]2]2]2\}$
${\displaystyle f_{\psi (\Omega _{3})}(n)=\{n,n[1[1[1{\backslash }_{3}3]2]2]2\))$
${\displaystyle f_{\psi (\Omega _{3}^{\Omega _{3))}}(n)=\{n,n[1[1[1[1{\backslash }_{3} 2{\backslash }_{4}2]2]2]2]2\))$
$f_{\psi (\Omega _{4})}(n)=\{n,n[1[1[1[1{\backslash }_{4}3]2]2]2]2 \}$
${\displaystyle f_{\psi (\Omega _{\omega })}(n)=\{n,n[1[2{\backslash }_{1,2}2]2]2\))$
$f_{\psi (\Omega _{\psi (\Omega )})}(n)=\{n,n[1[2{\backslash }_{1[1{\backslash }2]2 }2]2]2\}$
$f_{\psi (\Omega _{\psi (\Omega _{\psi (\Omega )})})}(n)=\{n,n[1[2{\backslash }_{1 [2{\backslash _{1[1{\backslash }2]2}}2]2}2]2]2\}$
$f_{\psi (\Omega _{\Omega })}(n)=\{n,n[1[2{\backslash }_{1{\backslash }2}2]2]2\} =(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,0)[n]$ (vezi Bashicu Matrix System )
$f_{\psi ({\Omega _{\Omega _{2))})}(n)=(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3 ,1,0)(1,1,0)(2,2,1)(3,2,1)(4,2,0)[n]$
$f_{\psi ({\Omega _{\Omega _{\omega ))})}(n)=(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)( 3,1,0)(1,1,1)[n]$
$f_{\psi ({\Omega _{\Omega _{\Omega ))})}(n)=(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)( 3,1,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,0)[n]$
$f_{\psi (\psi _{I}(0))}(n)=(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,0 )(2,0,0)[n]$

Vezi și

Note

↑ Kerr, Josh Mind blown: ierarhia în creștere rapidă pentru laici - alias numere enorme . Preluat la 7 octombrie 2016. Arhivat din original la 13 iulie 2019. (nedefinit)

Link -uri

Buchholz, W.; Wainer, S. S. (1987). „Funcții care se pot dovedi calculabile și ierarhia în creștere rapidă”. Logic and Combinatorics , editat de S. Simpson, Contemporary Mathematics, Vol. 65, AMS, 179-198.
Cichon, EA & Wainer, SS (1983), The slow-growing and the Grzegorczyk hierarchies , The Journal of Symbolic Logic vol. 48 (2): 399–408, ISSN 0022-4812 , DOI 10.2307/2273557
Gallier, Jean H. (1991), Ce este atât de special la teorema lui Kruskal și ordinalul Γ 0 ? Un studiu asupra unor rezultate în teoria dovezilor , Ann. Măr pur. Logic T. 53(3): 199–260, doi : 10.1016/0168-0072 ( >http://stinet.dtic.mil/oai/oai?verb=getRecord&metadataPrefix=html&identifier=ADA290387, <91)90022-E PDF-uri: partea 1 2 3 . (În special partea 3, Secțiunea 12, pp. 59–64, „O privire asupra ierarhiilor de funcții cu creștere rapidă și lentă”.)
Girard, Jean-Yves (1981), Π 1 2 -logică. I. Dilatatori , Analele logicii matematice vol . 21 (2): 75–219, ISSN 0003-4843 , DOI 10.1016/0003-4843(81)90016-4
Lob, MH; Wainer, S.S. (1970), „Ierarhiile funcțiilor teoretice ale numerelor”, Arh. Matematică. Logica , 13. Corectare, Arh. Matematică. Logik , 14 , 1971 _ _ _ _ _ _ _ _ _
Promel, HJ; Thumser, W.; Voigt, B. „Funcții cu creștere rapidă bazate pe teoremele Ramsey”, Matematică discretă , v.95 n.1-3, p. 341-358, dec. 1991 doi : 10.1016/0012-365X(91)90346-4 .
Wainer, S.S. (1989), „ Creștere lentă versus creștere rapidă ”. Journal of Symbolic Logic 54 (2): 608-614.

Cifre mari
Numerele	googol Numărul Shannon Googlelplex Număr înclinat numărul Moser Numărul Graham TREE(3) Numărul Rayo
Funcții	Funcția Ackermann Funcția Veblen Funcțiile Psi ale lui Buchholz tetrare Pentație Hiperoperator Ierarhie în creștere rapidă Ierarhie în creștere lent Ierarhie Hardy
Notații	Notația Steinhaus-Moser Notație cu săgeată Knuth Notație săgeată Conway Notație masivă Bowers