O legătură de vârf a unui poliedru sau a unei figuri de vârf este un poliedru cu o dimensiune mai mică, care se obține într-o secțiune a poliedrului original printr-un plan care decupează un vârf. În special, o legătură cu vârfuri conține informații despre ordinea fețelor poliedrului în jurul unui vârf.
Dacă luați un vârf al poliedrului, marcați un punct undeva pe fiecare dintre muchiile adiacente, desenați segmente pe fețe, conectând punctele obținute, ca rezultat obțineți un ciclu complet (poligon) în jurul vârfului. Acest poligon este legătura de vârf.
Definiția formală poate varia foarte mult în funcție de circumstanțe. De exemplu, Coxeter (1948, 1954) și-a schimbat definiția pentru a se potrivi cu discuția curentă. Cele mai multe dintre definițiile unei legături prezentate mai jos se potrivesc la fel de bine atât pentru tilinguri infinite pe plan, cât și pentru plăci spațiale ale poliedrelor .
Dacă tăiați un vârf al unui poliedru intersectând fiecare dintre marginile adiacente vârfului, suprafața tăiată va fi o legătură. Aceasta este poate cea mai comună abordare și cea mai înțeleasă. Diferiți autori fac o tăietură în locuri diferite. Wenninger [1] [2] decupează fiecare muchie la distanță unitară de la vârf, la fel ca și Coxeter (1948). Pentru poliedre uniforme, construcția lui Dorman Luke intersectează fiecare margine adiacentă din mijloc. Alți autori fac o tăietură prin vârful de pe cealaltă parte a fiecărei muchii [3] [4] .
Cromwell [5] realizează o secțiune sferică centrată la vârf. Suprafața secțiunii sau legătura, deci, este un poligon sferic pe acea sferă.
Multe abordări combinatorii și computaționale (de exemplu, Skilling [6] ) consideră o legătură ca un set ordonat (sau parțial ordonat) de puncte a tuturor nodurilor vecine (conectate de muchii) pentru un vârf dat.
În teoria poliedrelor abstracte, legătura unui vârf dat V constă din toate elementele incidente la vârf — vârfuri, muchii, fețe și așa mai departe.
Acest set de elemente este cunoscut sub numele de steaua de vârf .
Legătura unui vârf al unui n -politop este un ( n - 1) -politop. De exemplu, legătura de vârf a unui 3-politop este un poligon , iar legătura pentru un 4-politop este un 3-politop.
Legăturile sunt cele mai utile pentru politopii uniformi , deoarece toate vârfurile au aceeași legătură.
Pentru poliedre neconvexe, legătura poate fi și neconvexă. Poliedre uniforme, de exemplu, pot avea fețe sub formă de poligoane stelate , legăturile pot fi, de asemenea, stelate.
Fața poliedrului dual este duală la legătura vârfului corespunzător.
Dacă poliedrul este regulat, acesta poate fi descris prin simbolul Schläfli , simbolurile feței și legăturii pot fi extrase din această notație.
În cazul general, un poliedru regulat cu simbolul Schläfli { a , b , c ,..., y , z } are fețe (de cea mai mare dimensiune) { a , b , c ,..., y } și legătura va fi { b , c , ..., y , z }.
Deoarece politopul dual al unui politop obișnuit este, de asemenea, regulat și este reprezentat de indici inversați în simbolul Schläfli, este ușor de înțeles că figura duală la legătura unui vârf este o celulă a politopului dual. Pentru poliedre regulate, acest fapt este un caz special al construcției lui Dorman Luke .
Veriga vârfului fagurilor cubici trunchiați este o piramidă pătrată eterogenă . Un octaedru și patru cuburi trunchiate situate lângă fiecare vârf formează un mozaic spațial .
| Vertex link : Piramidă pătrată neuniformă | Diagrama Schlegel |
perspectivă |
| Format din baza pătrată a octaedrului | (3.3.3.3) | |
| și patru laturi triunghiulare isoscele ale unui cub trunchiat | (3.8.8) |
Un alt concept asociat cu o legătură este o legătură de margine . O legătură de muchie este un politop ( n - 2) reprezentând aranjamentul de n - fețe unidimensionale în jurul unei muchii date (adiacent muchiei date). O legătură de margine este o legătură de vârf a unei legături de vârf [7] . Legăturile de margine sunt utile pentru exprimarea legăturilor dintre elementele poliedrelor regulate și uniforme.
Politopurile obișnuite și uniforme rezultate din reflexiile cu o oglindă activă au un singur tip de legătură de margine, dar, în general, un politop uniform poate avea atâtea legături câte oglinzi sunt active atunci când sunt construite, deoarece fiecare oglindă activă creează o margine în regiunea fundamentală.
Poliedrele obișnuite (și fagurii) au o singură legătură de margine care este, de asemenea, obișnuită. Pentru un politop obișnuit { p , q , r , s ,..., z } legătura de margine va fi { r , s ,..., z }.
În spațiul 4D, o legătură de margine a unui poliedru sau fagure 3D este un poligon care reprezintă aranjarea fețelor în jurul marginii. De exemplu, legătura de margine a unui fagure cubic obișnuit {4,3,4} este un pătrat , în timp ce pentru un poliedru obișnuit cu patru dimensiuni { p , q , r } legătura de margine ar fi { r }.
Este mai puțin evident că fagure cubic trunchiat t 0,1 {4,3,4} are ca vârf de legătură o piramidă pătrată . Există două tipuri de legături marginale aici . Una este legătura pătrată a marginii din vârful piramidei, care corespunde celor patru cuburi trunchiate din jurul marginii. A doua față este triunghiurile de la baza piramidei. Ele reprezintă aranjarea a două cuburi trunchiate și a unui octaedru în jurul altor muchii.