Geometria Finsler

Geometria Finsler este una dintre generalizările geometriei riemanniene . Geometria Finsler se ocupă de varietăți cu o metrică Finsler; adică prin alegerea unei norme pe fiecare spațiu tangent care variază lin de la un punct la altul.

Concepte de bază

Fie o varietate netedă conectată -dimensional și să fie un pachet tangent . $M$ $n$ $TM$ $M$

O metrică Finsler este o funcție continuă, astfel încât restricția sa la orice spațiu tangent este o normă. În acest caz, se presupun de obicei următoarele proprietăți suplimentare: $M$ $F\colon TM\rightarrow [0,\infty ),$ $T_{p}M$

(Netezimea) este -funcția netezită nu ; $F$ ${\displaystyle C^{\infty ))$ $(TM\setminus \{0\})$
(Convexitate puternică) Pentru orice pereche, forma biliniară $(x,y)\in TM$

\mathbf {g} _{y}\colon T_{x}M\times T_{x}M\rightarrow \mathbb {R} ,

\mathbf {g} _{y}(u,v)={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t\,\partial s}} \lbrack F^{2}(x,y+su+tv)\rbrack {\Bigl |}_{s=t=0}

definit pozitiv.

Note

Dacă punem

g_{ij}(x,y)={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{i}\partial y^{j}} }[F^{2}(x,y)]

atunci forma poate fi rescrisă ca $\mathbf {g} _{y}(u,v)$ $\mathbf {g} _{y}(u,v)=g_{ij}(x,y)u^{i}v^{j)$

Pentru orice câmp vectorial diferit de zero definit pe , există o metrică Riemanniană pe . $Y$ $U\subset M$ $\mathbf {g} _{Y}(u,v)$ $U$

Pentru o curbă netedă pe o varietate cu o metrică Finsler , lungimea este dată de o integrală . $c:[a,b]\rightarrow M$ $M$ $F$ $L_{F}(c)=\int _{a}^{b}F(c(t),{\dot {c))(t))dt$

Operatorul de diferențiere covariantă Chern (sau Rund) este definit ca unde , și $\nabla :T_{x}M\times \Gamma ^{\infty}(TM)\rightarrow T_{x}M$ $\nabla _{y}U:=\{dU^{i}(y)+U^{j}N_{j}^{i}(x,y)\}{\frac {\partial } {\partial x^{i))}|_{x},$ $y\in T_{x}M$ $U\in \Gamma ^{\infty }(TM)$ $N_{j}^{i}(x,y)={\frac {\partial }{\partial y^{j)}}\left[{\frac {1}{4)}g^{ il}(x,y)\left\{2{\frac {\partial g_{ml}}{\partial x^{k}}}(x,y)-{\frac {\partial g_{mk}} {\partial x^{l))}(x,y)\right\}y^{m}y^{k}\right].$

Legătura pe un colector astfel introdus nu este, în general, o legătură afină. O conexiune este afină dacă și numai dacă metrica Finsler este o metrică Berwald[ specificați ] . Prin definiție, aceasta înseamnă că ecuațiile geodezice au aceeași formă ca în geometria riemanniană sau coeficienții geodezici

$G^{i}(x,y)={\frac {1}{4}}g^{il}(x,y)\left\{2{\frac {\partial g_{jl)} {\partial x^{k))}(x,y)-{\frac {\partial g_{jk)){\partial x^{l))}(x,y)\right\}y^{j }y^{k}$ reprezintă sub formă $G^{i}(x,y)=\Gamma _{jk}^{i}(x)y^{j}y^{k}.$

Pentru un vector , luați în considerare funcțiile . Atunci familia transformărilor se numește curbură riemanniană. Fie un plan bidimensional tangent. Pentru un vector , definim unde este un astfel de vector care . nu depinde de alegere . Numărul se numește curbura steagului în . $y\in T_{x}M\backslash \{0\}$ ${\displaystyle R_{k}^{i}(y)=2{\frac {\partial G^{i}}{\partial x^{k}}} - {\frac {\partial ^{2}G ^{i}}{\partial x^{j}\partial y^{k}}}y^{j}+2G^{j}{\frac {\partial ^{2}G^{i}}{ \partial y^{j}\partial y^{k))}-{\frac {\partial G^{i)){\partial y^{j))}{\frac {\partial G^{j} }{\partial y^{k))))$ $\mathbf {R} =\left\{\mathbf {R} _{y}=R_{k}^{i}(y) {\frac {\partial }{\partial x^{i)} }\otimes dx^{k}|_{x}:T_{x}M\rightarrow T_{x}M,y\in T_{x}M\backslash \{0\},x\in M\right\ }$ $P\subset T_{x}M$ $y\in P\backslash \{0\}$ $K(P,y)={\frac {\mathbf {g} _{y}(\mathbf {R} _{y}(u), u)}{\mathbf {g} _{y} (y,y)\mathbf {g} _{y}(u,u)-\mathbf {g} _{y}(y,u)^{2}}},$ $u\în P$ $P=\mathrm {span} \{y,u\}$ $K(P,y)$ $u\în P$ $K(P,y)$ $(P,y)$ $T_{x}M$

Istorie

Ideea unui spațiu Finsler poate fi văzută deja în prelegerea lui Riemann „Despre ipotezele care stau la baza geometriei” (1854). Alături de metrica dată de rădăcina pătrată pozitivă a unei forme diferențiale pătratice pozitive definite ( metrica riemanniană ), Riemann ia în considerare și metrica dată de rădăcina a patra pozitivă a formei diferențiale de ordinul al patrulea. Metrica Finsler este următoarea generalizare naturală.

Studiul sistematic al varietăților cu o astfel de metrică a început cu disertația lui Paul Finsler , publicată în 1918 , astfel încât numele unor astfel de spații metrice este asociat cu numele său. Factorul care a pus bazele activităților de cercetare în această direcție este introducerea de către Carathéodory a unor noi metode geometrice în calculul variațiilor pentru studiul problemelor în formă parametrică. Miezul acestor metode este conceptul de indicatrice , iar proprietatea de convexitate a indicatricei joacă un rol important în aceste metode, deoarece asigură îndeplinirea condițiilor minime necesare în problema variațională pentru curbele staționare.

Câțiva ani mai târziu, în dezvoltarea generală a geometriei Finsler, a avut loc o întorsătură de la punctul de vedere original al lui Finsler către noi metode teoretice. Finsler, ghidat în principal de conceptele de calcul al variațiilor, nu a folosit metodele de analiză tensorială . În 1925, analiza tensorială a fost aplicată teoriei aproape simultan de Sing , Taylor ( în engleză JH Taylor ) și Berwald ( germană L. Berwald ). În 1927, Berwald a propus o generalizare care nu satisface caracterul pozitiv al metricii, cunoscută mai târziu ca spațiul Berwald-Moor .

Următoarea întorsătură în dezvoltarea teoriei a avut loc în 1934, când Cartan a publicat un tratat despre spațiile Finsler. Abordarea cartaniană a dominat practic toate cercetările ulterioare în geometria spațiilor Finsler și câțiva matematicieni și-au exprimat opinia că teoria a ajuns la forma sa finală ca urmare. Metoda lui Cartan a condus la dezvoltarea geometriei Finsler prin dezvoltarea directă a metodelor geometriei riemanniene.

Mai mulți geometri au criticat în mod independent metodele lui Cartan special Wagner , Busemann și Rund Ei au subliniat că metrica locală naturală a unui spațiu Finsler este metrica Minkowski , în timp ce o impunere arbitrară a metricii euclidiene duce la pierderea celor mai interesante caracteristici ale spațiilor Finsler. Din aceste motive, la începutul anilor 1950 au fost înaintate teorii suplimentare, în urma cărora au apărut dificultăți vizibile, Busemann a remarcat pe acest subiect: „Geometria Finsler din lateral este o pădure în care toată vegetația este formată din tensori ” .

Literatură

In rusa

G. S. Asanov. Spațiu Finsler cu o metrică algebrică determinată de un câmp de cadre - Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Probl. geom., 8, VINITI, M. , 1977, 67-87.
V. I. Bliznikas. Spațiile Finsler și generalizările lor - Itogi Nauki. Ser. Mat. Algebră. Plop. Geom. 1967, VINITI, M. , 1969, 73-125.
V. G. Zhotikov. Introducere în geometria lui Finsler și generalizările acesteia (pentru fizicieni) - M .: MIPT , 2014. ISBN 978-5-7417-0462-2 .
P. K. Raşevski. Geometrie polimetrică, - Lucrările seminarului de analiză vectorială și tensorială cu aplicațiile lor la geometrie, mecanică și fizică. Numărul 5. OGIZ, 1941.
P. K. Raşevski. Teoria geometrică a ecuațiilor cu diferențe parțiale, - Orice ediție.
H. Rund. Geometria diferențială a spațiilor Finsler, - M. : „Nauka”, 1981.

În limba engleză

PL Antonelli. Manual de geometrie Finsler, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2003.
D. Bao, SS Chern și Z. Shen. O introducere în geometria Riemann-Finsler, Springer-Verlag, 2000. ISBN 0-387-98948-X .
SS Chern. Geometria Finsler este doar geometria Riemanniană fără restricție pătratică - Notices AMS, 43, septembrie 1996.
Z Shen. Lectures on Finsler Geometry, - World Scientific Publishers, 2001. ISBN 981-02-4531-9 .
Z Shen. Geometria diferențială a spațiilor de pulverizare și Finsler, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2001.

Link -uri

Pagina de pornire a Geometriei Finsler — site-ul lui Zhongmin Shen despre geometria Finsler. (Engleză)
Fundația nonprofit pentru dezvoltarea cercetării geometriei Finsler.
Chris Moseley (Calvin College), „Finsler and sub-Finsler geometries” (prezentarea lucrării 2013 )
V. G. Zhotikov . „Ce este geometria Finsler și de ce fizicienii trebuie să o înțeleagă” (prezentarea raportului)