Funcția gaussiană

Funcția Gauss ( Gauss , Gauss , Gauss function ) este o funcție reală descrisă de următoarea formulă:

g\left(x\right)=ae^{-{\frac {(xb)^{2}}{2c^{2}}}}

unde parametrii sunt numere reale arbitrare . Introdus de Gauss în 1809 în funcție de densitatea distribuției normale și are cea mai mare importanță în această calitate, în acest caz parametrii sunt exprimați în termeni de abatere standard și așteptare matematică : $a,b,c$ $\sigma$ $\mu$

a={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }))}

. . .

b=\mu

c=\sigma

Graficul funcției gaussiene la și este o curbă în formă de clopot , parametrul determină înălțimea maximă a graficului - vârful clopotului, este responsabil pentru deplasarea vârfului de la zero (la - vârful este la zero), și afectează lățimea (gama) clopotului. $a>0$ $c\neq 0$ $A$ $b$ $b=0$ $c$

Există generalizări multidimensionale ale funcției . Pe lângă aplicațiile în teoria probabilităților , statistică și alte numeroase aplicații în funcție de densitatea distribuției normale, Gaussianul are o valoare independentă în analiza matematică , fizica matematică , teoria procesării semnalului.

Proprietăți

Proprietățile funcției Gauss sunt legate de construcția acesteia dintr -o funcție exponențială și o funcție pătratică concavă , logaritmul Gauss este o funcție pătratică concavă.

Parametrul este legat de jumătatea lățimii clopotului grafic, după cum urmează: $c$

w=2{\sqrt {2\ln 2}}\ c\approx 2{,}35482\cdot c

Funcția Gaussiană poate fi exprimată în termeni de jumătate de lățime a clopotului graficului, după cum urmează: $w$

g(x)=ae^{-{\frac {4\ln(2)(xb)^{2}}{w^{2}}}}

Inflexiunile sunt două puncte în care . $g(x)$ $x=b\pm c$

Funcția Gaussiană este analitică , tinde spre zero în limita ambelor infinitate :

\lim _{x\to \pm \infty }g(x)=0

Fiind compus dintr-o funcție exponențială și operații aritmetice, Gaussianul este elementar , dar antiderivata sa nu este elementară; Integrala funcției gaussiene:

\int \limits _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t

este (până la un factor constant) funcția de eroare , care este o funcție specială . În acest caz, integrala de-a lungul întregii drepte numerice (datorită proprietăților funcției exponențiale) este o constantă [1] :

\int _{-\infty }^{\infty }ae^{-{(xb)^{2} \over 2c^{2}}}\,dx=ac\cdot {\sqrt {2\ pi}}

Această integrală devine unitate numai cu condiția:

a={\frac {1}{c{\sqrt {2\pi }))}

iar acest lucru dă exact cazul când Gaussianul este o funcție a densității distribuției normale a unei variabile aleatoare cu medie și varianță . $\mu=b$ $\sigma ^{2}=c^{2}$

Produsul gaussienilor este o funcție gaussiană; convoluția a două funcții gaussiene dă o funcție gaussică, în plus, parametrul de convoluție este exprimat din parametrii corespunzători ai gaussienilor incluși în ea: . Produsul a două funcții de densitate de distribuție normală, fiind o funcție Gaussiană, în general nu dă o funcție de densitate de distribuție normală. $c$ ${\displaystyle c^{2}=c_{1}^{2}+c_{2}^{2))$

Generalizări multidimensionale

Un exemplu de versiune bidimensională a unei funcții gaussiene:

{\displaystyle g(x,y)=A\cdot e^{\left(-\left({\frac {(x-x_{0})^{2)}{2\sigma _{x}^{ 2}}}+{\frac {(y-y_{0})^{2}}{2\sigma _{y}^{2}}}\right)\right)))

aici setează înălțimea clopotului, determină deplasarea vârfului clopotului de la abscisa zero și este responsabil pentru domeniul de aplicare al clopotului. Volumul sub o astfel de suprafață este: $A$ $(x_0, y_0)$ $(\sigma _{x},\sigma _{y})$

V=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }g(x,y)\,dx\,dy=2\pi A\sigma _{x}\sigma _{y}

În forma sa cea mai generală, un gaussian bidimensional este definit după cum urmează:

g(x,y)=A\exp \left(-\left(a(x-x_{0})^{2}+2b(x-x_{0})(y-y_{0} )+c(y-y_{0})^{2}\dreapta)\dreapta)

unde este matricea:

\left[{\begin{matrice}a&b\\b&c\end{matrice}}\right]

este definită pozitiv .

Varianta funcției gaussiene în spațiul euclidian -dimensional : $n$

g(x)=\exp(-x^{T}Ax)

unde este un vector coloană de componente, este o matrice pozitiv-definită de dimensiune și este operația de transpunere pe . $x=(x_{1},\dots,x_{n})$ $n$ $A$ $n\ ori n$ $x^{T)$ $X$

Integrala unei astfel de funcții gaussiene pe întreg spațiul : $\mathbb {R} ^{n}$

\int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp(-x^{T}Ax)\,dx={\sqrt {\frac {\pi ^{n}}{\det A }}}

Este posibil să se definească o versiune -dimensională cu o schimbare: $n$

g(x)=\exp(-x^{T}Ax+s^{T}x)

unde este vectorul de deplasare și matricea este simetrică ( ) și definită pozitivă. $s=(s_{1},\dots, s_{n})$ $A$ $A^{T}=A$

Funcția super Gaussiană

Funcția supergaussiană este o generalizare a funcției gaussiene în care argumentul exponentului este ridicat la puterea lui: $P$

sg(x)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{o})^{2}}{2\sigma _{x}^{2}}}\ dreapta)^{P}\dreapta)

care a fost folosit pentru a descrie proprietățile fasciculelor gaussiene [2] . În cazul bidimensional, funcția super-gaussiană poate fi considerată cu puteri diferite în argumente și [3] : $P_{x)$ $P_{y)$

sg(x,y)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{o})^{2}}{2\sigma _{x}^{2}} }\right)^{P_{x}}-\left({\frac {(y-y_{o})^{2}}{2\sigma _{y}^{2}}}\right)^ {P_{y}}\right)

Aplicații

Aplicația principală a funcțiilor gaussiene și a generalizărilor multivariate este în rolul funcției de densitate de probabilitate a distribuției normale și a distribuției normale multivariate . Funcția are o semnificație independentă pentru o serie de ecuații ale fizicii matematice , în special, gaussienii sunt funcții lui Green pentru ecuația difuziei omogene și izotrope (respectiv, pentru ecuația căldurii ), iar transformarea Weierstrass este o operație de convoluția unei funcții generalizate care exprimă condițiile inițiale ale ecuației, cu funcție gaussiană. De asemenea, Gaussianul este funcția de undă a stării fundamentale a unui oscilator armonic cuantic .

În chimia computațională , așa-numiții orbitali gaussieni sunt utilizați pentru a determina orbitalii moleculari , care sunt combinații liniare de funcții gaussiene.

Funcțiile gaussiene și omologii lor discreti (cum ar fi nucleul gaussian discret ) sunt utilizate în procesarea semnalului digital , procesarea imaginilor , sinteza sunetului [4] ; în special, filtrul Gaussian și estomparea Gaussian sunt definite în termeni de Gaussians . Funcțiile gaussiene participă și la definirea anumitor tipuri de rețele neuronale artificiale .

Note

↑ Campos, 2014 , p. 1-2.
↑ A. Parent, M. Morin, P. Lavigne. Propagarea distribuțiilor de câmp super-Gauss // Electronică optică și cuantică. - 1992. - Nr 9 . - P. S1071-S1079.
↑ Manual de comenzi software optic GLAD, Intrare pe comanda GAUSSIAN . Cercetare în optică aplicată (15 decembrie 2016). Arhivat din original pe 10 iunie 2017. (nedefinit)
↑ C. R. Popa. Structuri de sintetizator cu funcții neliniare analogice în mod curent . - Springer Elveția, 2013. - P. 59. - 198 p. - ISBN 983-3-319-01035-9.

Literatură

LMBC Campos. 1.1. Evaluarea integralelor funcțiilor gaussiene // Calcul generalizat cu aplicații la materie și forțe. - Boca Raton: CRC Press, 2014. - 823 p. — ISBN 978-1-4200-7115-3 .

Link -uri

Weisstein, Eric W. Gaussian Function (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
Integrarea Curbei Bell / MathPages